0.99999999...=1 : Mathématiques

Un ami m'avais montrer que 0.99999... à l'infini était égal à 1. Tout le monde pensaient qu'il y avait un tuc, qu'il avait trafiqué des calculs mais le fait est qu'il avait raison. Voilà le calcul :

soit x=0.9999999....à l'infini

10x=9.9999999...
<=> 10x=9+x
<=> 10x-x=9
<=> 9x=9
<=> x=1
Donc 0.9999999...=1

Je vous laisse réfléchir à cette démonstration et dites ce à quoi vous pensez en voyant ça ^^.

En mathematique, il y a une explication theorique, de plus il ya une infinité de relation que tu peux construire comme:

0.099999.....=0.1
5.999999.....=6
x.899999.....=x.9 (avec x n' importe quelle entier positif)
etc...

Je ne suis pas mathématicien chevronné mais ce qui me gêne dans cette "démonstration" qui n'en est pas une est de reposer l'égalité x=0,9999... (en ligne 2)
Cette égalité arbitraire intègre de manière sous-jacents le concept infini ce qui ne me semble pas "propre" mathématiquement ce que va nous confirmer Manuelarm ?

L'infini, pendant du concept 0, ne peut pas se manipuler comme un nombre ; rappelez vous les formes dites indéterminées lorsque l'on trouve un infini dans certaines expressions algébriques.

Quand je dis que c'est le pendant du concept 0, cela signifie (à mon sens) que l'infini n'est pas un nombre comme le zéro n'est lui non plus pas un nombre mais l'absence de nombre (comme le noir n'est pas une couleur mais l'absence de couleur).

C'est pour moi une limite asymptotique.

D'ailleurs, si l'infini était un nombre, on pourrait lui ajouter +1 donc...

c'est une demonstration, sauf que theoriquement le nombre 0.9999.... n'existe pas. Il est exclue des nombres réelles car si on admet son existence on retrouve le résultat que 1=0.999...

Par contre, Quantique, il existe une arithmetique des infinis (arithmetique des transfinis), ou tu peut additionner ,multiplier et même des puissances .
Tu prend les entiers naturels tu rajoute le nombre infini, que le note petit omega, et ainsi tu peux additionner 1 à l'infini et ainsi suite et tu remarque qu'il y a une infinité d'infini.

Pour en revenir à 0.999...=1, si un prof demande de le demontrer j'utiliserai la même demonstration, mais c'est une fausse question car pour construire les nombres réelles, on exclu tout les nombres dont une suite infini de 9 apparait dans son developpement décimale.

remarque: petit omega est le plus petit nombre infini contenant les entiers
naturels. Maintenant, ce nombre je le note a.Ainsi tu as:
a<a+1<a+n avec n un entier naturel. Si tu veux en savoir plus cherche sur ce que l'on nomme en mathematique les ordinaux. Avec cela tu peux definir les cardinaux, et tout cela copnduit a l'hypothese du continu (conjecture etonnante).
Et pour allez encore plus loin,Il faut savoir que les operations ne sont pas commutative: c+d n'est pas égal d+c de même pour la multiplication surtout si l'un des deux est un ordinal infini.

on peut aussi la comprendre comme sa:
0.33333...=1/3
Donc:
0.99999...=3/3=1

Bonjour,

J'apporte mon grain de sel ^^

Quand je dis que c'est le pendant du concept 0, cela signifie (à mon sens) que l'infini n'est pas un nombre comme le zéro n'est lui non plus pas un nombre mais l'absence de nombre (comme le noir n'est pas une couleur mais l'absence de couleur).

C'est pour moi une limite asymptotique.

D'ailleurs, si l'infini était un nombre, on pourrait lui ajouter +1 donc...

Il n'est pas correct de considérer que 0 et l'infini ne sont pas des nombres... Certes ils ne sont pas des nombres ordinaires, le second en particulier, mais avant de décider ce qui est ou n'est pas un nombre encore faut-il se mettre d'accord sur la définition du concept de "nombre" ! La difficulté, c'est qu'il n'y en a pas de vraiment satisfaisante...

Le "nombre" est un concept lié à deux besoins : celui d'ordonner un ensemble d'éléments, et celui de comparer des ensembles.
Pour ce premier besoin, on définit les nombres dits ordinaux, pour le second les nombres cardinaux.

Maintenant que nous avons une "idée générale" de ce qu'est un nombre, nous pouvons définir rigoureusement ce qu'est un nombre ordinal, à l'aide de deux autres concepts : celui d'ensemble et celui d'ensemble des parties. La définition est un peu formelle (désolé pour les allergiques), mais elle à l'avantage de bien montrer qu'un nombre peut ne pas ressembler du tout à l'idée qu'on s'en fait...

Tout d'abord, on nomme "nombre ordinal 0" l'ensemble vide noté {}.
Le nombre ordinal suivant, 1, est l'ensemble des parties de {}, c'est à dire l'ensemble qui ne contient que {}. On le note {{}}.
Le nombre ordinal suivant, 2, est l'ensemble des parties de {{}}, c'est à dire {{},{{}}}. Il contient "0" l'ensemble vide {} et "1" l'ensemble de ses parties {{}}...
Et on continue, l'ordinal suivant, 3, est {{},{{}},{{},{{}}}}.
Et ainsi de suite...

C'est vite fastidieux, mais on a définit rigoureusement les nombres entiers ordinaux. Ils forment un ensemble ordonné, qui nous permet donc de compter de façon ordonnée (chaque ensemble définissant un ordinal contient les ordinaux précédents).

Les nombres dont manuelarm a fait mention sont les ordinaux transfinis et ils permettent de définir rigoureusement l'ordinal infini. On les définit comme ceci :
le plus petit ordinal infini est l'ensemble de tous les ordinaux finis {{},{{}},{{},{{}}},...}, on le note ω (petit omega).
L'ordinal infini suivant est l'ensemble {ω,{ω}} noté ω+1, puis viens ω+2, etc...
On peut continuer autant que l'on veut cela devient vertigineux !

Pour résumer, un nombre ordinal est l'ensemble de ses prédécesseurs.

Maintenant, venons en aux nombres cardinaux. Ceux-ci peuvent être rigoureusement définis à l'aide des ensembles, et du concept d'équipotence, ou de bijection. Deux ensembles sont en bijection si l'on peut faire correspondre à chaque élément du premier exactement un élément du second. S'ils ont le même nombre d'éléments en gros.
On les définis à l'aide des ordinaux :
Le nombre cardinal 0 est le nombre d'éléments de {} l'ordinal 0.
Le nombre cardinal 1 est le nombre d'éléments de {{}} l'ordinal 1.
Le nombre cardinal 2 est le nombre d'éléments de {{},{{}}} l'ordinal 2.
etc.

Remarquons que les nombres cardinaux finis et les nombres ordinaux finis sont identiques ! Rien de surprenant là-dedans, sauf que ce ne sera plus le cas pour les transfinis...

En effet, on définit ainsi les nombres cardinaux transfinis :
Le nombre cardinal infini אo (aleph zero) est le nombre d'éléments de {{},{{}}},...} l'ordinal ω. Mais c'est aussi le nombre d'éléments de l'ordinal ω+1, ou de ω+2, ou de ω^a+x avec a et x des ordinaux finis. Pourquoi ? parce que l'infini +1 est encore "le même infini".
Le nombre cardinal infini אI (aleph un) est le nombre d'éléments de l'ensemble des parties de ω, ou de ω^a+x avec a et x des ordinaux finis. On ne peut pas obtenir אI par des opérations sur אo. D'une certaine manière, comme entre le cardinal des nombres entiers et le cardinal des nombres réels, on peut dire que cet infini n'est "plus le même infini"...
etc.

Pour résumer, un nombre cardinal est le plus petit ordinal parmi tous ceux ayant le même nombre d'éléments.

L'hypothèse du continu est que אI =2^אo, qui est un résultat... indémontrable ! Mais c'est une autre histoire.


Bon c'est bien beau mais où est l'infini que l'on note ∞ dans tout ça ?
Il y a bien des nombres infinis, les omega et les aleph, mais le symbole ∞ désigne un troisième concept, encore différent !
Cette fois-ci, je rejoins l'affirmation de quantique : il s'agit d'une limite. On note x -> ∞ pour dire que x tend vers l'infini, ou que x croit au delà de toute borne, qu'il devient aussi grand que l'on veut. Sauf que celui-ci reste fini ! Il ne faut donc pas confondre la limite ∞ (qui n'est pas un nombre) avec les nombres infinis ω et א.

C'est justement cette limite ∞ que met en jeu le nombre 0,99999... En réalité, la plupart des nombres dits réels nous seront à jamais inconnaissables ! Le fameux pi, le nombre e, le nombre 0,333333333333 ou n'importe quel nombre possédant une infinité de nombres (aleph zero nombres), sauf exceptions. Nous savons qu'ils "existent" car nous pouvons les définir mathématiquement, mais nous ne pouvons pas les connaître entièrement.
Quelles sont ces exceptions ?
Eh bien justement 0,99999... ou bien 0,580479999999999999999... puisqu'ils valent respectivement 1 et 0,58048.

Une jolie propriété de ces nombres est que tout nombre periodique est égal à leur periode divisée par autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la periode. Par exemple 0.48484848...=48/99.
Dans notre cas 0.999...=9/9=1

Je vais mettre mon grain de poivre, bien que ce sujet soit ancien, mais je connais ce forum depuis moins d'une semaine.

x = 0.99999... = 1 - 10^-n
9 + x = 10 - 10^-n
10x = 10 - 10^1-n
Si 9 + x = 10 x alors 9 + x - 10 x = 0 .
10 - 10^-n - 10 + 10^1-n
= 10^1-n - 10^-n
=(10-1)10^-n
=(9)10^-n valeur tendant vers zéro, mais néanmoins différente de zéro.
La proposition 0.999999...= 1 est donc fausse

Le piège à éviter est que l'on accepte souvent une relation comme vraie sans la vérifier. Point
n'est besoin de faire apparaitre des nombres exotiques, nous sommes ici dans les réels tout ce qui a de plus banal, et ils fonctionnent bêtement comme des réels.

je viens de m'apercevoir, en rédigeant ce post, d'une simplification possible dans la démarche .
Que cherche-t'on en fait ? Ce n'est pas la valeur de x puisque on l'a ! En effet x = 0.99999...., la condition 9 + x - 10x =0 n'est vraie que si x = 1, or x = 0.9999999..., donc elle est fausse et ne sert à rien ! A quoi peut bien être utile un système dans lequel on ajoute des conditions fausses ?
Généralement, on cherche plutôt à rajouter des conditions vraies !

Saint-Exupéry a dit :" la vérité n'est pas ce qui démontre, mais ce qui simplifie".

Allez, à plus, pas fâchés du grain de poivre ?

9 + x = 10 - 10^-n
10x = 10 - 10^1-n
Si 9 + x = 10 x alors 9 + x - 10 x = 0 .

N'est-ce pas là, somme toute, que se trouve ton erreur ? Tel que c'est écrit, 9 + x - 10 x = 10^1-n - 10^-n et non 0....

Puisque je parle de somme, la notation décimale avec une partie décimale pouvant comportée un nombre infinie de chiffres, comme 1/3 = 0,333... est en fait comprise comme une somme, il en est d'ailleurs de même de toutes les notations de nombre. Par exemple 1/8 = 0, 125 = 0 + 1 x 10^-1 + 2 x 10^-2 + 5 x 10 ^-3.
On peut "aisément" vérifier la convergence de ces séries (somme pour les non matheux), c'est même ainsi que l'ensemble des réels est construit (pour les matheux c'est le caractère complet de R)

Pour 1/3 on obtient 1/3 = ∑ 3 . 10^-n pour n allant de 1 à l'infini.

Revenant à notre problème, il vient, en économisant l'écriture n allant de 0 à l'infini :
x = 0,9999... = ∑ 9 . 10^-n d'où 10 x = ∑ 9 .10 ^1-n = 9.10⁰ + ∑ 9 . 10^-n = 9 + x.

A partir de là le raisonnement initial du post est totalement rigoureux....n'en déplaise à certains

Une autre façon de le dire est que 0.99999... est la limite en +infini de la suite u_n telle que :
u_n = 1 - 10^{-n}

Ou bien dit autrement :
u_n = 9 * Somme 10^{-k}, k = 1 à n
u_n = 9 * 10^{-1} * (1-10^{-n})/0.9 = 1-10^{-n}

La limite se calcule aisément, puisque pour tout epsilon > 0, l'on a 1 - epsilon < u_n < 1 à partir d'un certain rang donné.

En effet, il suffit de prendre :
1 - epsilon < 1 - 10^{-n}
10^{-n} < epsilon
-n < log epsilon
n > - log epsilon
Donc on prend N = partie entière de (-log epsilon) + 1