E=mc² : Mathématiques

Salut.

Alors pour être clair, comme tout le monde je connais cette célèbre formule mais je ne sais pas trop à quoi elle sert.

Je sais que E désigne l'énergie, que m désigne la masse, et que c désigne la vitesse de la lumière (célérité).

D'après ce que j'ai pu comprendre, cette formule peut servir pour calculer la force d'impacts d'objet (accidents de voiture, accélération que subit un pilote d'avion de chasse, etc) mais elle doit aussi servir à un niveau astronomique non ?

Et puis qu'est-ce que la vitesse de la lumière vient faire là dedans ? et pourquoi au carré ?
Et quelles sont ces applications concrètent ?

Bref, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer cette formule ?

[MIMATA]

Quelques informations dans ces deux sujets :
- Je souhaiterais savoir si j'ai bien compris E=mc²
- Question sur E=mc²

Merci Mimata, j'ai compris pas mal de chose mais il me manque encore des exemples concrets où utiliser cette formule...

D'après ce que j'ai pu comprendre, cette formule peut servir pour calculer la force d'impacts d'objet (accidents de voiture, accélération que subit un pilote d'avion de chasse, etc) mais elle doit aussi servir à un niveau astronomique non ?

Et puis qu'est-ce que la vitesse de la lumière vient faire là dedans (ça j'ai compris)? et pourquoi au carré ?
Et quelles sont ces applications concrètent ?

Merci.

[MIMATA]

Cette formule exprime une équivalence entre l'énergie et la matière.

La vitesse indique un lien entre la masse et sa vélocité, sa vitesse de déplacement.

Très concrètement, imagine un projectile. Si ce projectile a une vitesse de déplacement faible, la quantité d'énergie qu'il "contient" sera faible. Si par contre ce même objets se déplace à très grande vitesse, alors son énergie est très importante.
Par exemple, prends une balle de pistolet. Si tu la lances à la main contre un mur, l'énergie dégagée quand la balle heurtera le mur sera faible et l'impact ne laissera que peu de trace, même si tu lance fort.
Par contre, si tu as le pistolet et que tu tires au pistolet contre le mur, la vitesse de la balle sera beaucoup plus importante et l'énergie dégagée lors de l'impact sur le mur sera bien plus grande.

Pourtant le projectile est le même, il n'est pas plus gros mais pourtant la quantité d'énergie qu'il représente est en étroite relation avec sa vitesse relative.

Pour le coup du carré...je ne suis pas très sûr. Je crois que ça signifie que l'augmentation d'énergie n'est pas linéaire mais exponentielle et que si tu doubles la vitesse, en fait, tu augmentes l'énergie non pas par 2 mais au carré.

La vitesse de la lumière indique la limite de vitesse, la vitesse de la lumière étant une vitesse maximale.

Donc, une masse qui se déplace à la vitesse de la lumière devient en fait de l'énergie pure, il y a une équivalence entre les deux.

A moi les matheux !!!

OKay, merci bien, je commence à cerner le truc.

Encore une question (plus facile celle-là, quoi que...) : dans quel contexte Einstein a t-il "écrit" cette formule ?

Le contexte historique est fort intéressant le monde physique à de grande théorie pour expliquer le monde physique la mécanique de newton et électromagnétisme, elle ne sont aucunement unifiable, et la mécanique de newton à des incohérences car on supposait l'existence de l'éther mis en défaut par une certaines expériences de Michelson-Morley.

Einstein va chambouler tout cela avec sa théorie de la relativité restreinte, ou l'on trouve la démonstration de E=mc²

Très concrètement, imagine un projectile. Si ce projectile a une vitesse de déplacement faible, la quantité d'énergie qu'il "contient" sera faible. Si par contre ce même objets se déplace à très grande vitesse, alors son énergie est très importante.
Par exemple, prends une balle de pistolet. Si tu la lances à la main contre un mur, l'énergie dégagée quand la balle heurtera le mur sera faible et l'impact ne laissera que peu de trace, même si tu lance fort.
Par contre, si tu as le pistolet et que tu tires au pistolet contre le mur, la vitesse de la balle sera beaucoup plus importante et l'énergie dégagée lors de l'impact sur le mur sera bien plus grande.

Pourtant le projectile est le même, il n'est pas plus gros mais pourtant la quantité d'énergie qu'il représente est en étroite relation avec sa vitesse relative.

Oui, je suis d'accord avec ça, au détail près que ceci ne nous est pas donné par l'équivalence masse/énergie, mais plutôt par la formule de l'énergie cinétique (c-a-d acquise par le mouvement) qui dépend de la masse m (toujours mesurée au repos) et de la vitesse v :
Ec =½ mv².

Pour le coup du carré...je ne suis pas très sûr. Je crois que ça signifie que l'augmentation d'énergie n'est pas linéaire mais exponentielle et que si tu doubles la vitesse, en fait, tu augmentes l'énergie non pas par 2 mais au carré.

Pas tout à fait . L'exponentielle est en effet l'unique fonction f telle que f(a+b)=f(a)f(b).
Mais si on note E(v)=½ mv², on a que E(v+v)=½ m(2v)²=2mv² qui n'est pas le carré de E(v). L'énergie n'a donc pas un comportement exponentiel.
Il existe bien un lien entre le carré et l'exponentielle, mais il est plus compliqué. Pour les curieux qui ne sont pas allergiques aux maths v²=exp(2ln(v)), mais ceci n'explique pas le 2 en exposant dans la formule de l'énergie.

Le carré vient simplement du fait que l'énergie s'exprime comme une masse multipliée par le carré d'une vitesse. Pour une masse m on a une énergie au repos
E0=mc².
Comme pour l'énergie en mouvement Ec, une masse fois une vitesse au carré.

Maintenant, une masse en mouvement aura une énergie mécanique totale E=E0+Ec

Concernant le comportement relativiste de la masse en mouvement, celle-ci n'augmente pas (elle est définie au repos !), mais c'est la masse inerte mi qui augmente. L'inertie augmente avec la vitesse. Ceci se traduit par la formule mi =m/racine(1-v²/c²).

Donc, une masse qui se déplace à la vitesse de la lumière devient en fait de l'énergie pure, il y a une équivalence entre les deux.

Une masse ne se déplace JAMAIS à la vitesse de la lumière. Aucun corps ne peut accélérer jusqu'à atteindre la vitesse c. Il lui faudrait vaincre une inertie infinie (d'après la formule précédente), ce qui est impossible !
Les seuls corps autorisés à se déplacer à la vitesse maximale sont ceux qui n'ont pas de masse "dès le départ", comme la lumière.
Donc même si une partie de la masse d'un corps peut se transformer en énergie, sa masse ne peut pas disparaître complètement, et l'équivalence masse=énergie est valable au repos. En mouvement, la masse/énergie est augmentée d'énergie cinétique car en se déplaçant elle "créé" de l'inertie d'une certaine manière.

[MIMATA]

Ok, merci pour ces précisions

Mais sachant que dans l'Univers, rien est immobile, tout ce qui le compose a une certaine vitesse...par rapport tout ce qui l'entoure, comment peut-on considérer qu'un objet est "au repos" et donc connaitre sa masse ?

Autre chose, quelle vitesse maximale peut atteindre un objet massif ? 99,999999999999999999 % de la vitesse de la lumière ?
Par exemple, le lanceur Saturne des missions Apollo pesant 3000 tonnes, quelle vitesse maximale théorique pourrait-il atteindre et à quelles conditions ?

Ah bonne question ! On retourne sur le terrain de la relativité restreinte...

Une masse "au repos" signifie "mesurée dans un référentiel où elle est au repos". Quel est ce référentiel si la masse en question est toujours en mouvement ?
...
Et bien le sien ! son référentiel propre !

Tout objet est au repos si on l'observe de son propre référentiel (ie si on se déplace avec lui), de même que tout objet est en mouvement si on l'observe depuis un autre référentiel ! même un objet au repos peut paraître en mouvement si on se déplace par rapport à lui...


Pour ce qui est de la vitesse maximale que peut prendre un corps massif, il n'y en a pas ! La valeur possible de sa vitesse v appartient à l'ensemble que l'on note [0,c[. Cela signifie que v peut être égal à 0, à tout nombre inférieur à c, mais pas à c lui-même. Et il y a autant de nombre que l'on veut qui soit proche de c sans lui être égal.
Sa vitesse maximale peut donc être 99,999999...% de la vitesse de la lumière c, mais avec un nombre fini de 9 après la virgule (autant qu'on veut, cela coutera simplement de plus en plus d'énergie mais une quantité finie).

En pratique, il y a certainement une limite à la quantité d'énergie que l'on peut donner par exemple au lanceur saturne, du à nos capacités technologiques, mais cette limite peut changer indéfiniment, et il faudrait la demander à un physicien expérimental, un ingénieur ou autre, mais ils donneront probablement tous une valeur différente, c'est difficile à estimer.

Un moyen de vérifier le v² dans l'énergie cinétique est de voir l'effet de la chute de bille plomb (de plusieurs hauteur) sur une surface malléable (comme de la pâte à modeler).