Les espaces hyperboliques

Qu'est que l'espace hyperbolique à courbure négative et l'espace hyperbolique à courbure positive ?

En s'appuyant sur l' espace de Poincaré, Einstein définit l' Univers comme une sphère, un hyper dodécaèdre donnant dans sa topologie une fausse impression d'infini, un mirage, la ligne d'horizon étant donnée tout autour de nous (vision) en tant qu'observateur, ce que l'on peut très facilement observer autour de soi.

Je ne comprends pas cette remarque après avoir lu que Einstein se prononçait en faveur d'un espace euclidien infini ? Comment pouvait il alors s'appuyer sur un espace euclidien et dire que la topologie de l'espace donnait une fausse impression d'infini ? Y'a contradiction entre sa théorie et le verbe ?

Il existerait un sous groupe de 120 éléments transitifs sur les cellules d'un dodécaèdre. Est ce que ces cellules dans le dodécaèdre peuvent encore se décliner dans un autre sous-groupe ?

Un espace hyperbolique est à courbure négative : en schématisant, au lieu de tendre à se refermer sur lui même (comme un espace sphérique), il tend à "s'éloigner" de lui même ce qu'on représente souvent par une selle de cheval qui s'évaserait à l'infini.

Pour Einstein, l'univers était statique et sous la forme d'une hypersphère qui est effectivement fini mais sans bords donc donnant l'illusion d'un infini comme pour quelqu'un qui marcherait éternellement à la surface de la Terre.

Je mets juste deux images et je laisse le soin à Quantique de nous les commenter :

Pas grand chose à ajouter, cf mon post plus haut, un dessin vaut mieux qu'un long discours.

A noter tout de même que l'espace plat est finalement un cas très particulier bien qu'il nous semble être par défaut le seul intuitif.

La somme des angles d'un triangle est inférieure, égale ou supérieure à 180 degrés suivant que l'espace est hyperbolique, plat ou sphérique.

Ne vous jetez pas sur vos rapporteurs, vous trouverez bien 180 degrés, à peu près, car de toute manière, la courbure éventuelle de notre espace n'est perceptible qu'à des distances conséquentes ; si on savait tracer un triangle de 100 millions d'AL, alors nous pourrions tout de suite savoir, par la mesure de ses angles, laquelle des 3 courbures correspond à celle de notre Univers.