Pour un électron libre l'équation de Dirac admet quatre solutions dont chacune a quatre composantes.
En fait… ça ne se passe pas tout à fait comme ça.
Juste pour rappel, tu dois probablement le savoir, l’équation de Schrödinger est une équation purement classique, il part de l’équation de conservation de l’énergie :
E = énergie cinétique + énergie potentielle
E = ½ mv² + V
Ensuite on fait une quantification canonique de l’équation, en remplaçant chaque observable par un opérateur :
ih d/dt |psi> = -h²/2m laplacien |psi> + V|psi>
L’intérêt de cette équation est le fait de pouvoir expliquer le spectre de l’atome d’hydrogène et d’autres atomes (et bien-sûr d’autres situations), et donc la structure de la classification périodique des éléments. Le gros défaut est que c’est une équation qui ne prend pas en compte la relativité restreinte, et il faut rajouter le spin à la main. (C’est l’équation de Pauli, et la fonction d’onde |psi> devient alors un spineur, bon ce que je dis est très technique, mais difficile de tout expliquer sur le forum, je ne fais que dresser le plan d'ensemble).
La bonne équation à utiliser pour tenir compte de la relativité c’est :
E² = p²c² + m²c^4
Quand on la quantifie canoniquement on obtient l’équation de Klein-Gordon :
-h² d²/dt² |psi> = -h²c² laplacien |psi> + m²c^4 |psi>
(ça c’est pour une particule libre). Le problème est la forme de l’équation (dérivée à l’ordre 2 du temps).
Donc Dirac a eu l’idée de réécrire l’équation en prenant la racine carré :
E = pc + mc²
Sauf que… c’est un peu plus compliqué que ça, on ne peut pas le factoriser trivialement, et du coup, il faut utiliser ce que l’on appelle des matrices :
E = alpha pc + beta mc²
Et du coup, les fonctions d’onde |psi> deviennent des bi-spineurs (il y a 4 composantes).
Dans le cas du vide, on a 4 solutions, 2 à énergie positive, et 2 à énergie négative (interprétées comme des anti-particules).
L’intérêt de l’équation de Dirac est que le formalisme incorpore naturellement le spin.
Dans le cas de l'électron de l'atome d'hydrogène , admet-elle aussi quatre solutions à quatre composantes chacune?
Tout comme l’équation de Schrödinger, l’équation de Dirac admet une infinité de solutions dans le cadre du potentiel coulombien. En effet, les vecteurs propres de l’équation sont infinis (on dit qu’ils sont dénombrables, dans un espace de dimension infini, qui est l’espace de Hilbert).
Le truc est que l’équation de Dirac admet 2 fois plus de solutions (pour chaque solution de Schrödinger, il y a un spin +1/2 et un spin -1/2).
Et si on prend en compte l’interaction spin orbite et l’interaction spin spin, les solutions deviennent non dégénérés (leur niveau d’énergie change).
