A titre d'exercice, on peut faire le calcul de la RG en dimension 1+1.
On constate, comme cela est écrit partout, que le tenseur d'Einstein est identiquement nul. Cependant, rien n'empêche de chercher une éventuelle solution en annulant le tenseur de Ricci, solution pouvant avoir une validité dans le vide. Si le tenseur de Ricci est nul, le tenseur de Riemann, dans ce cas, est aussi nul, ce qui exclut la possibilité d'avoir une solution avec courbure non nulle.
Cependant, il existe bel et bien une solution, et il y a même une solution pour une métrique statique et une solution pour une métrique dynamique.
A/Pour la métrique statique, on obtient l' équation finale:d^2L/dT^2 + c^2K^2L=-c^2K
avec une solution possible: L=(-1+cos c K T)/K
avec L: distance réelle, T : temps réel, c: vitesse de la lumière, et K=constante.
On constate que cette solution peut avoir au moins deux significations physiques:
1/ moyennant une définition convenable de K, la solution proposée décrit bien la valeur de l'abscisse (ou de l'ordonnée) d'une planète décrivant un cercle dans le plan de l'écliptique, avec un système d'axes orthonormé centré sur le soleil.
2/ moyennant une définition convenable de K=a0/c^2, où a0 est la constante d'accélération de Milgrom, la solution décrit un filament sur lequel l'accélération est quasiment constante (sur des distances inter-galactiques, compte tenu de la faible valeurs de a0). Dans ce cas, ce filament pourrait-il constituer un élément physique réel ( petite cousine d'une corde ?), décrit par la RG ?
B/ La métrique dynamique présente aussi des caractéristiques intéressantes. On trouve en particulier une solution où les coefficients de la métrique eux-mêmes se propagent à la vitesse de la lumière. Pour les solutions pratiques, on retrouve une solution voisine de la solution statique, mais aussi d'autres solutions. Ce qui amène une question:
-Est-ce que, dans le cas de la métrique de Schwarzschild, le fait qu'on ne trouve qu'une solution statique ne viendrait pas de l'hypothèse de symétrie sphérique, qui empêcherait de prendre en compte un phénomène de propagation 3D+1 des coefficients de la métrique ?