bongo a écrit : ↑mardi 28 août 2018 à 15:17Exercice 2 : L'on considère deux points O et A au repos dans R' de coordonnées x'(O) = 0, et x'(A) = xA.
1) Exprimer la longueur OA dans R' en fonction des coordonnées dans R'.
Rien de plus facile, dans R', le point O ne bouge pas, et le point A ne bouge pas non plus. La longueur de OA s'écrit :
L0 = x'(A) - x'(O) = xA - 0 = xA
bongo a écrit : ↑mardi 28 août 2018 à 15:172) Quelle est la longueur de OA dans le référentiel R ?
C'est ici que les choses se corsent un peu, mais procédons comme tout à l'heure. Le point O se déplace à la vitesse v dans le référentiel R, à t=0 le point est à l'origine. Alors on connaît la loi de transformation :
x(O) = vt' / sqrt (1 - v²/c²)
De même le point A est donné par :
x(A) = (xA + vt') / sqrt (1-v²/c²)
Bon... comment fait-on pour calculer la longueur du segment OA dans R ? Il faut considérer un instant t quelconque, et chercher où se trouvent le point O et le point A.
Autrement dit, on cherche les deux événements simultanés dans R : E1 et E2, tels que :
- E1 (t,x(O)) : c'est le point atteint par l'extrémité O du segment à l'instant t
- E2 (t,x(A)) : c'et le point atteint par l'autre extrémité A du segment au même instant t
On a l'expression de x(O) et x(A), mais... ils sont exprimés à l'instant t' qui ne correspond pas à t. On doit écrire la loi de transformation du temps t :
t = (t' + vx'/c²) / sqrt(1-v²/c²)
On cherche donc les différent t'_O et t'_A qui correspondent aux point O et A tels qu'ils sont simultanés dans R, soit :
t'_O + v * x'_O / c² = t'_A + v * x'_A / c²
soit : t'_O = t'_A + v*xA /c²
A l'instant t'_O on sait où se trouve O dans le référentiel R :
x(O) = vt'_O / sqrt (1 - v²/c²) = v * (t'_A + v*xA /c²) / sqrt (1 - v²/c²)
Et :
x(A) = (xA +v* t'_A) / sqrt (1-v²/c²)
La longueur du segment OA dans le référentiel R s'écrit donc :
x(A) - x(O) = (xA + t'_A) / sqrt (1-v²/c²) - v * (t'_A + v*xA /c²) / sqrt (1 - v²/c²)
On peut factoriser par le facteur gamma :
x(A) - x(O) = (xA + v * t'_A - v * t'_A - v²*xA /c²)) / sqrt (1 - v²/c²)
On remarque qu'on peut simplifier par v* t'_A, et on peut factoriser par xA
x(A) - x(O) = xA(1 - v² /c²)) / sqrt (1 - v²/c²)
Soit :
x(A) - x(O) = xA*sqrt (1 - v²/c²)
Donc si on réécrit l'équation, avec L0 la longueur au repos de la règle et L sa longueur mesurée dans un référentiel en mouvement, l'on obtient :
L = L0 * sqrt (1-v²/c²)
Ca veut dire qu'une règle en mouvement a une longueur mesurée plus courte qu'une règle au repos. Ceci ne veut pas dire que la règle est raccourcie physiquement, ça veut dire que la règle mesurée dans un référentiel en mouvement est plus courte.
L'origine provient de la relativité de la simultanéité... à méditer avec un diagramme d'espace-temps.
Bon bilan de tout ça ?
Une horloge en mouvement bat moins vite (mesurée dans le référentiel en mouvement) qu'une horloge au repos.
Une règle en mouvement est plus courte que la même règle mesurée dans le référentiel ou elle est au repos.
Je ne dis pas qu'il leur arrive quelque chose, je dis que si les mesures sont faites par des observateurs en mouvement les uns par rapport aux autres, ils ne trouveront plus la même chose.
On peut alors comprendre ce qu'il se passe pour les muons.
Les rayons cosmiques bombardent en permanence la terre, (principalement composés de protons et d'électrons), la collision avec les particules de la haute atmosphère, ces rayons provoquent la création de gerbe (d'autres particules sont créées) engendrant des muons.
Les muons sont des particules de la famille de l'électron, il est bien plus lourd, et se désintègre rapidement ( de l'ordre de la µs ils peuvent parcourir quelques centaines de mètres au plus).
Bien qu'ils sont créés dans la haute atmosphère, vers les 10 km, ils sont tout de même détectés à la surface de la terre, 10 km plus bas.
La relativité répond à la question.
Si on attachait une horloge aux muons, un observateur terrestre verrait à cause de la dilatation des durées que l'horloge bat moins vite entre 10 et 100 fois moins vite, et donc... ces muons ont le temps de parcourir une distance 10 à 100 fois plus importante (ramenant les 100 mètres à 1 à 10 km).
Si on mettait un observateur dans le référentiel des muons, il verrait que les muons vivent environ quelques µs, mais qu'ils parcourent une distance plus élevée... mesurée dans le référentiel terrestre car, la règle utilisée pour mesurer la distance parcourue est raccourcie, et donc pour mesurer une distance donnée, il faut plus de règles, et donc c'est pour ça que les terriens mesurent une distance plus grande (entre 10 à 100 fois plus grande).
Bon ben... on est prêt pour aborder le paradoxe ? Mais lodeli, je pense que tu as abandonné...
