Chapitre 31 — Gravitoélectromagnétisme multivectoriel dans Cl₃
301 — Origine bivectorielle du champ dynamique de l’éther
La dynamique de l’éther, dans le cadre de Cl₃, est entièrement encodée dans le champ multivectoriel Ψ(x), dont la structure interne combine une composante scalaire (compression-dilatation), une composante vectorielle (transport), une composante bivectorielle (rotation locale) et éventuellement une composante trivectorielle (chiralité).
Parmi ces composantes, la bivectorielle joue un rôle central dans la structuration locale du champ : elle représente une rotation réelle de l’éther dans un plan orienté eᵢ ∧ eⱼ. Cette rotation est géométriquement distincte d’un simple changement de repère : elle est une propriété physique de l’onde Ψ, pouvant évoluer dans l’espace et dans le temps. L’origine du champ bivectoriel peut être analysée à partir des conditions suivantes.
1. Forme locale de Ψ avec composante bivectorielle
On considère une onde multivectorielle ayant une composante bivectorielle dynamique :
Ψ(x) = S(x) + V(x) + B(x)
où B(x) est un champ bivectoriel réel de type B = β(x) (eᵢ ∧ eⱼ), représentant une rotation locale orientée de l’éther dans le plan (eᵢ, eⱼ). Cette rotation est dite dynamique si β(x) varie dans le temps ou dans l’espace.
2. Gradient multivectoriel de Ψ et apparition du champ bivectoriel dérivé
L’Octogradient ∇ₒ agit sur Ψ selon :
G := (∇ₒΨ) ⋅ Ψ̃⁻¹
Le champ G(x) ainsi obtenu est lui-même un multivecteur, dont la projection bivectorielle capture l’évolution spatiale et temporelle de B(x). En particulier, on a :
⟨G(x)⟩₂ = ⟨(∇ₒB(x)) ⋅ Ψ̃⁻¹⟩₂ + ...
Ce terme représente un champ bivectoriel dynamique effectif, analogue à un champ magnétique tournant, mais qui affecte ici directement la structure métrique locale. Il est à la base de tous les phénomènes gyroscopiques, d’entraînement de référentiel (frame dragging) et de torsion spatiale.
3. Conditions d’apparition du champ bivectoriel dynamique
Une composante bivectorielle effective dans Ψ(x) peut apparaître dans plusieurs cas :
• Par rotation interne stationnaire : cas du spin d’une particule comme l’électron, avec Ψ(x) = ... + B₀ ⋅ exp(iωt)
• Par translation d’une source bivectorielle : l’onde bivectorielle en mouvement engendre un champ bivectoriel décalé, par transformation active.
• Par interaction entre deux ondes vectorielles ou bivectorielles : superposition non linéaire créant un couplage bivectoriel croisé.
• Par dérivée temporelle d’un champ vectoriel : ∂₀V(x) peut contenir une contribution bivectorielle effective dans G(x).
4. Interprétation géométrique
Le champ bivectoriel dynamique représente une torsion locale de l’éther, qui affecte :
• la direction du transport d’une onde incidente,
• l’orientation des repères propres des particules test,
• la métrique effective vue dans une base en rotation locale.
La rotation locale induite est donc géométriquement réelle et mesurable dans le référentiel d’une particule test. Elle se manifeste par un décalage de simultanéité ou une courbure effective des trajectoires.
Conclusion
Le champ bivectoriel issu de G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹ constitue le cœur du gravitoélectromagnétisme multivectoriel. Il est la généralisation géométrique des effets de frame-dragging, des courants de spin et des forces gyroscopiques dans l’éther. Son origine est purement ondulatoire et géométrique, sans appel à une force ou à une métrique imposée.
302 — Tenseur bivectoriel gravitationnel dérivé de G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹
Le champ géométrique G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹, défini à partir du champ multivectoriel Ψ ∈ Cl₃, contient toutes les informations dynamiques sur la structure locale de l’éther. Sa projection bivectorielle ⟨G⟩₂ constitue un tenseur bivectoriel gravitationnel, qui joue un rôle fondamental dans la géométrie effective, les effets de marée, et les interactions dynamiques.
1. Définition du tenseur bivectoriel gravitationnel
On considère le champ :
G(x) := ∇ₒΨ(x) ⋅ Ψ̃(x)⁻¹
et sa projection bivectorielle :
B_G(x) := ⟨G(x)⟩₂
Ce bivecteur dérivé mesure directement la variation orientée de la rotation locale portée par Ψ. Il encode la torsion propre du champ multivectoriel, induite par la dynamique des composantes internes de Ψ. Il ne s'agit pas d’un champ imposé de l’extérieur, mais d’un effet différentiel interne de l’onde elle-même.
2. Structure géométrique du tenseur bivectoriel
Le champ B_G est une somme de bivecteurs de type :
B_G = Σ βᵢⱼ(x) ⋅ (eᵢ ∧ eⱼ)
où les coefficients βᵢⱼ(x) sont des fonctions réelles dérivées des composantes différentielles de Ψ et de ses relations internes. Chaque terme eᵢ ∧ eⱼ représente une rotation géométrique réelle de l’éther dans le plan (eᵢ, eⱼ).
La direction de B_G détermine le plan de rotation, et son module ‖B_G‖ détermine l’intensité de la torsion locale. Cette torsion n’est pas une courbure scalaire, mais une rotation intrinsèque de la géométrie au niveau local, analogue à un effet gyroscopique.
3. Lien avec les effets physiques observables
Le tenseur bivectoriel B_G a plusieurs conséquences physiques directes :
• Effet de marée géométrique : il agit sur les particules test par rotation différentielle de leur vitesse, modélisée par une équation de déviation bivectorielle.
• Déformation du cône lumineux : il fait pivoter localement la structure projective de la lumière, affectant la simultanéité apparente.
• Frame-dragging : en cas de rotation stationnaire (type Kerr), B_G encode l’effet d’entraînement d’un référentiel inertiel.
• Spin gravitationnel : dans les zones de forte torsion, B_G interagit avec le spin d’une particule test via un couplage bivectoriel dynamique.
4. Interprétation dynamique : équation dérivée
Le tenseur bivectoriel gravitationnel peut être dérivé directement à partir de la structure de Ψ, sans postulat supplémentaire. Soit :
Ψ(x) = S(x) + V(x) + B(x)
Alors :
G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹ = (∂₀Ψ + ∇Ψ) ⋅ Ψ̃⁻¹
La projection ⟨G⟩₂ contient toutes les dérivées croisées entre composantes scalaires, vectorielles et bivectorielles de Ψ, ce qui en fait une quantité profondément géométrique.
5. Rôle dans la métrique effective
La métrique effective induite par Ψ est :
g(x) := G†(x) ⋅ G(x)
La partie bivectorielle de G contribue donc directement à la structure de g(x), notamment à travers les termes bivectoriels :
g_biv(x) = ⟨G† ⋅ G⟩₂
Ce terme modifie la métrique locale par une torsion géométrique active, liée à l’intensité du champ B_G. Cela correspond à un décalage de simultanéité effectif dans les coordonnées du chuteur libre.
Conclusion
Le champ bivectoriel B_G = ⟨∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹⟩₂ est le tenseur gravitationnel antisymétrique de torsion, fondé sur la structure interne de Ψ. Il remplace les composantes antisymétriques du tenseur de Riemann en Relativité Générale, en fournissant une version ondulatoire, géométriquement dérivée et intrinsèquement dynamique de la gravitation. C’est l’élément central du gravitoélectromagnétisme dans l’éther euclidien de Cl₃.
303 — Interprétation géométrique du champ bivectoriel tournant
Le champ bivectoriel tournant, issu de la projection bivectorielle de G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹, représente l’élément central de la dynamique gravitationnelle dans l’éther géométrique. Contrairement aux champs classiques dérivés d’une courbure imposée, ce champ résulte d’une rotation intrinsèque et localisée de l’espace, portée par l’onde multivectorielle Ψ.
1. Le bivecteur comme plan orienté de rotation
Dans l’algèbre Cl₃, un bivecteur de la forme B = β ⋅ (eᵢ ∧ eⱼ) représente une rotation dans le plan (eᵢ, eⱼ), avec un module ‖B‖ = |β| indiquant l’amplitude de cette rotation. Ce n’est ni un pseudovecteur ni une torsion extrinsèque, mais une géométrie réelle du plan local.
La composante ⟨G⟩₂ = B_G(x) représente donc une rotation locale de l’éther autour d’un plan précis, définie pour chaque point de l’espace-temps.
2. Champ tournant et vorticité spatiale
Le bivecteur tournant possède une dynamique propre. S’il est spatialement constant, il représente une rotation uniforme. Mais dès que B_G(x) varie dans l’espace, il engendre une vorticité du champ de vitesse apparent.
Ce champ peut être interprété comme un tourbillon géométrique intégré dans l’éther. La dynamique de rotation affecte directement la propagation des ondes, le transport de l’impulsion, et la structure du champ de matière.
3. Action sur une particule test : rotation différentielle
La présence d’un champ bivectoriel tournant B_G(x) engendre une rotation locale des vitesses. Une particule test située dans une région où B_G ≠ 0 subit un effet différentiel :
d(δv)/dt = ε ⋅ B_G ⋅ δx
où δx est un vecteur de séparation initial, δv la variation relative de vitesse, et ε un facteur de couplage. Cette formule représente un effet de marée bivectoriel, analogue à celui du tenseur de Riemann mais exprimé directement par la géométrie interne de Ψ.
4. Rotation du cône lumineux et simultanéité
Un champ bivectoriel tournant modifie la structure locale du cône lumineux projeté. Cette rotation affecte l’angle de simultanéité entre événements voisins. Elle explique géométriquement :
• La précession des orbites liées (par rotation différentielle du plan de l’onde)
• Le décalage temporel dans les référentiels en rotation (effet Sagnac généralisé)
• L’apparition d’un champ de type frame-dragging en rotation stationnaire
La rotation du cône n’est pas imposée, mais résulte de la dynamique bivectorielle de Ψ.
5. Couplage avec le spin et la dynamique interne
Les particules dotées d’un spin bivectoriel S = ⟨Ψ ⋅ Ψ̃⟩₂ réagissent directement au champ B_G(x) par un couplage géométrique. Ce couplage est responsable :
• Du moment cinétique gravitationnel
• De la précession du spin autour du champ bivectoriel tournant
• D’un transfert dynamique entre l’onde de matière et la torsion de l’éther
Ce couplage spin–torsion est un mécanisme fondamental dans la dynamique ondulatoire gravitationnelle du modèle.
Conclusion
Le champ bivectoriel tournant B_G = ⟨∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹⟩₂ représente une rotation réelle et dynamique de l’éther, affectant localement la métrique effective, les trajectoires, et les interactions. Il ne résulte pas d’un tenseur externe mais d’une géométrie propre induite par Ψ. C’est l’analogue géométrique du champ magnétique dans le cadre gravitationnel, mais fondé sur une rotation intrinsèque du plan de l’espace-temps. Ce champ est le cœur du gravitoélectromagnétisme dans Cl₃.
304 — Rotation du référentiel local : effet de frame-dragging multivectoriel
L’effet de frame-dragging — ou entraînement des référentiels — décrit la rotation locale de l’espace-temps induite par une masse en mouvement ou en rotation. Dans le formalisme multivectoriel fondé sur Cl₃, cet effet émerge naturellement comme une conséquence directe de la composante bivectorielle du champ géométrique G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹.
1. Définition du champ de rotation local
Soit B_G(x) = ⟨G(x)⟩₂ la projection bivectorielle locale du champ géométrique. Ce champ encode à chaque point une rotation active du plan espace-temps. Si Ψ est une onde stationnaire localisée décrivant une masse en rotation (ex. un électron ou un astre), alors B_G contient un terme de rotation bivectorielle non nul.
Cette rotation locale du plan (e₀ ∧ e_φ) ou (e_r ∧ e_θ) induit une variation orientée du repère local : le référentiel se met à tourner autour de la source.
2. Définition du différentiel bivectoriel dB
La variation spatiale du champ bivectoriel s’exprime par le différentiel :
dB = ∂_k B_G ⋅ e_k
C’est un multivecteur orienté, de grade 2, qui combine les dérivées partielles du champ de rotation dans les directions spatiales. Il représente le taux de variation angulaire du référentiel local.
3. Expression canonique du frame-dragging
Le carré du champ bivectoriel différentiel i²[/i] apparaît naturellement dans l’expression de la métrique effective :
ds² = gₛ dt² + gᵥ dr² + g_b (dB)²
où g_b(r, θ) mesure l’intensité du frame-dragging en chaque point. L’orientation de dB définit le plan de rotation induit sur le référentiel local, et son module encode la vitesse de cette rotation.
En régime stationnaire, cette rotation est constante dans le temps mais dépendante de la position : c’est une torsion géométrique de l’éther.
4. Cas de Kerr multivectoriel : effet rotationnel équatorial
Dans le cas d’un champ généré par une masse centrale en rotation (champ de type Kerr), le champ bivectoriel B_G présente une dépendance directionnelle en θ, et l’orientation de dB est centrée sur le plan équatorial. Cela induit un effet de frame-dragging maximal dans cette zone, avec :
g_b(r, θ) = 2G_N M a r / ρ²
où a est le paramètre de rotation bivectorielle de la source. Ce terme modifie directement la métrique effective dans la direction azimutale, traduisant la rotation du référentiel local.
5. Conséquences physiques : rotation des gyroscopes et des orbites
Ce phénomène multivectoriel a des effets directs sur la dynamique des objets :
• Précession des gyroscopes : un gyroscope placé en orbite voit son axe de rotation dévié par le champ bivectoriel tournant.
• Précession des orbites polaires : les orbites proches d’un astre en rotation subissent une rotation du périgée induite par la torsion bivectorielle.
• Modification des conditions de synchronisation locale : les horloges se décalent en fonction de leur position dans le champ B_G.
Conclusion
L’effet de frame-dragging est une manifestation locale du champ bivectoriel tournant dans Cl₃. Il est défini par la variation différentielle du champ B_G(x), représentée par dB, et produit une rotation effective du référentiel local. Ce phénomène géométrique est entièrement contenu dans la structure multivectorielle de Ψ, sans recourir à une courbure externe. Il constitue une composante essentielle de la dynamique gravitationnelle avancée dans l’éther.
305 — Équivalence gravitoélectromagnétique formelle dans Cl₃
La structure du champ géométrique G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹ permet une analogie rigoureuse avec l’électromagnétisme, donnant naissance à une forme de gravitoélectromagnétisme multivectoriel. Cette analogie ne repose pas sur un postulat formel, mais émerge directement de la dynamique interne de l’onde multivectorielle Ψ ∈ Cl₃.
1. Décomposition formelle du champ géométrique
Le champ G peut être décomposé par grade :
G = S + V + B + I P
avec :
• V = ⟨G⟩₁ : champ vectoriel de gravitation (analogue au champ électrique),
• B = ⟨G⟩₂ : champ bivectoriel de rotation locale (analogue au champ magnétique),
• S = ⟨G⟩₀ : dilatation scalaire (potentiel de gravité),
• I P = ⟨G⟩₃ : composante pseudoscalaire (torsion de volume).
Les deux composantes principales du champ dynamique sont donc :
• V(x) : champ gravitoélectrique,
• B(x) : champ gravitomagnétique bivectoriel.
2. Structure équivalente aux équations de Maxwell
En projetant l’équation dynamique ∇ₒΨ = G Ψ, on obtient deux équations différentielles couplées :
• ⟨∇ₒ ⋅ G⟩₁ = J_V (équation de type Gauss–Ampère),
• ⟨∇ₒ ∧ G⟩₂ = J_B (équation de type Faraday–Maxwell bivectorielle),
où J_V et J_B sont des courants géométriques projetés. Ces équations prennent exactement la même forme que les équations de Maxwell, mais dans un cadre purement gravitationnel, sans charge.
3. Interprétation physique des termes
• Le champ V(x) est issu de la variation scalaire de Ψ. Il agit comme un champ de force centripète.
• Le champ B(x) provient de la rotation bivectorielle de Ψ. Il représente une torsion locale de l’éther, équivalente à un effet de frame-dragging.
• Le couplage V ∧ B induit un transport de structure (équivalent à un flux de moment angulaire).
4. Équivalence dynamique : force géométrique induite
Un objet en mouvement dans un champ G ressent une accélération géométrique équivalente à :
F_geo = m (V + v × B)
où v est la vitesse de l’objet, V le champ gravitoélectrique, et B le champ gravitomagnétique bivectoriel. Cette équation est identique en structure à la force de Lorentz, mais toutes les quantités sont purement géométriques.
5. Validité en rotation faible : champ de type Kerr multivectoriel
Dans un régime de rotation lente (paramètre de spin a ≪ r), les composantes V et B reproduisent exactement les champs gravitoélectriques et gravitomagnétiques de la solution de Kerr :
• V(x) = -∇φ₀(x) avec φ₀(x) potentiel newtonien effectif,
• B(x) = ∇ ∧ (a ⋅ V(x)) représente la rotation du champ vectoriel autour de l’axe a.
Cela établit une correspondance directe avec le formalisme post-newtonien du gravitoélectromagnétisme.
Conclusion
Le gravitoélectromagnétisme n’est pas une analogie dans Cl₃, mais une structure exacte résultant de la décomposition par grade du champ géométrique G. L’ensemble du comportement gravitationnel dynamique, y compris les effets de rotation, les forces sur les corps en mouvement, et le transport d’information géométrique, est intégré dans cette structure. Le formalisme Cl₃ unifie donc entièrement les effets gravitationnels statiques et dynamiques dans un langage multivectoriel cohérent.
306 — Déformation de la trajectoire : force gyroscopique bivectorielle
Lorsqu’un objet se déplace dans un champ multivectoriel Ψ, la structure bivectorielle du champ géométrique G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹ engendre une déviation spécifique de la trajectoire, analogue à une force gyroscopique. Cette force n’est pas due à une courbure intrinsèque de l’espace, mais à une rotation locale du référentiel transportée par la composante bivectorielle de G.
1. Origine géométrique de la force
La composante bivectorielle B = ⟨G⟩₂ définit une rotation locale du champ, interprétée comme un effet de torsion géométrique de l’éther. Un corps en déplacement subit une déviation lorsqu’il traverse une région où B(x) ≠ 0.
L’effet de cette rotation sur un vecteur position δx est donné par :
d(δx)/dt = B ⋅ δx
Ce terme produit une rotation effective du vecteur δx, qui dévie la trajectoire inertielle de la particule.
2. Déviation géodésique équivalente à une rotation bivectorielle
La déviation géodésique δx(t) dans un champ de marée purement bivectoriel s’écrit :
δx(t) = exp(B(t)) ⋅ δx(0)
Cela signifie que la trajectoire initiale est continûment réorientée sous l’effet d’un rotor bivectoriel. La force effective est une rotation infinitésimale à chaque instant, générée par B(t).
3. Interprétation dynamique : force gyroscopique
Le terme v × B, connu du formalisme gravitoélectromagnétique, s’interprète ici comme une force gyroscopique bivectorielle dans Cl₃. Sa direction est perpendiculaire à la fois à la vitesse v et au plan défini par B.
La force géométrique complète s’écrit :
F_geo = m (V + v × B)
• V agit comme une accélération radiale centripète,
• v × B dévie la trajectoire dans un plan orthogonal au mouvement, provoquant une précession gyroscopique.
4. Cas des orbites courbes et précession du périhélie
La force gyroscopique bivectorielle explique naturellement la précession des trajectoires elliptiques. Pour une orbite planétaire, la présence d’un champ B(r,θ) induit une rotation lente de la trajectoire, avec une avance angulaire par révolution proportionnelle à la composante bivectorielle projetée sur le plan de l’orbite.
Cette précession est une conséquence géométrique directe de la structure multivectorielle du champ Ψ, sans recours à une courbure espace-temps.
5. Interprétation dans un référentiel local en rotation
Du point de vue du référentiel local, l’objet semble subir une force fictive de Coriolis, équivalente à la force gyroscopique bivectorielle. Cette force est réelle dans Cl₃, car elle provient d’une torsion objective du champ Ψ, et non d’un effet de coordonnées.
Conclusion
La déformation de trajectoire induite par B(x) est l’effet géométrique d’un champ bivectoriel tournant. Elle correspond à une force gyroscopique universelle, intégrée dans la structure même du champ multivectoriel. Cette force produit des effets mesurables (comme la précession du périhélie) et unifie les phénomènes de marée, de torsion, et de déviation inertielle dans un cadre purement géométrique.
307 — Champ de Kerr bivectoriel comme solution stationnaire à flux de spin constant
Le champ de Kerr bivectoriel constitue une solution stationnaire exacte de l’équation géométrique G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹, décrivant un système de masse en rotation uniforme. Il représente le cas particulier d’un champ multivectoriel Ψ dont la composante bivectorielle génère un flux de spin constant dans l’éther, donnant lieu à une géométrie dynamique asymétrique et à un effet de frame-dragging.
1. Forme générale du champ Ψ de type Kerr
On considère une onde multivectorielle stationnaire de la forme :
Ψ(x) = S₀(r) + V₀(r) + B₀(r,θ) + ...
où la composante bivectorielle B₀(r,θ) est orientée dans le plan eₜ ∧ e_φ et dépend à la fois de la distance radiale r et de l’angle polaire θ. Le paramètre de spin a = J/Mc encode l’amplitude de cette composante, qui détermine l’intensité du flux de spin dans le champ.
2. Flux de spin constant : conservation du courant bivectoriel
La constance du flux de spin implique que le courant bivectoriel associé à B₀(r,θ) conserve son intensité sur des sphères de rayon constant. Le flux à travers une surface sphérique fermée est :
Φ_B = ∫∫ ⟨B₀(r,θ) ⋅ (e_r ∧ e_θ)⟩ dΩ = constante
Cette conservation reflète l’absence de source ou de dissipation du spin dans l’éther : la rotation est uniforme et stationnaire, comme pour un trou noir de Kerr.
3. Expression du champ bivectoriel tournant
La composante bivectorielle du champ géométrique G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹ est donnée explicitement par :
B(x) = ⟨G⟩₂ = (2G_N M r / ρ²) (eₜ ∧ e_φ)
avec ρ² = r² + a² cos²θ, structure canonique du champ de Kerr. L’amplitude maximale est atteinte à l’équateur (θ = π/2), où le flux bivectoriel est concentré dans le plan de rotation.
4. Interprétation géométrique : rotation stationnaire de l’éther
Le champ bivectoriel B(x) définit une rotation de l’éther local autour de l’axe e_z. Cette rotation est stationnaire et axiale, conférant à l’espace environnant une structure spiralée. Les trajectoires des particules libres sont alors modifiées par ce champ tournant, qui induit une déviation latérale du mouvement — le frame-dragging.
5. Propriétés métriques induites
La métrique multivectorielle effective dérivée de Ψ(x) contient une composante bivectorielle non nulle :
ds² = g_scal dt² + g_vec dr² + g_bivec (dt ∧ dφ) + ...
La composante g_bivec = 2G_N M r / ρ² décrit l’effet de décalage de simultanéité dû à la rotation, qui devient significatif pour des objets proches de la source en rotation rapide.
Conclusion
Le champ de Kerr bivectoriel est une solution exacte et stationnaire d’un champ multivectoriel Ψ décrivant une source en rotation uniforme. Sa structure repose sur un flux constant de spin dans l’éther, porté par une composante bivectorielle orientée. Cette solution reproduit tous les effets attendus du modèle de Kerr classique (frame-dragging, asymétrie rotationnelle, horizon externe), mais les interprète comme des manifestations directes d’une rotation bivectorielle géométrique. Elle offre ainsi une description unifiée du champ gravitationnel en rotation dans le cadre de Cl₃.
308 — Champ bivectoriel ondulatoire tournant
288.1 Définition géométrique de l’onde bivectorielle dans Cl₃
On considère un champ multivectoriel Ψ(x) ∈ Cl₃ dont la structure interne est dominée par une composante bivectorielle purement dynamique. Ce champ n’est pas de genre lumineux, mais correspond à une solution localisée dans l’éther, à norme non constante, décrivant une onde stationnaire bivectorielle en rotation autour d’un axe fixe.
La forme canonique de l’onde dynamique bivectorielle est :
Ψ(x) = Ψ₀ ⋅ R(x)
où :
• Ψ₀ est un multivecteur fixe (valeur initiale),
• R(x) = exp(B ⋅ f(x)) est un rotor bivectoriel pur,
• B = eᵢ ∧ eⱼ est un bivecteur constant de rotation,
• f(x) est une fonction réelle dépendant uniquement des coordonnées spatiales x, décrivant la phase locale de rotation.
288.2 Propriété d’onde stationnaire en rotation
La phase f(x) est choisie de manière à reproduire un motif périodique en rotation autour d’un axe :
f(x) = k ⋅ x = kᵢ xᵢ
où k est un vecteur d’onde réel dans l’espace. L’onde bivectorielle ainsi définie est purement spatiale. Il n’y a pas d’évolution dans un paramètre de type t ou t₀. La rotation est figée dans l’espace, et correspond à une solution statique à flux de spin constant.
288.3 Gradient bivectoriel du champ multivectoriel
Le champ géométrique associé est défini par :
G(x) := ∇ₒΨ(x) ⋅ Ψ̃(x)⁻¹
où l’Octogradient ∇ₒ est donné par :
∇ₒ = (1/c) ∂/∂τ + e₁ ∂₁ + e₂ ∂₂ + e₃ ∂₃
La dérivation du rotor R(x) = exp(B ⋅ f(x)) donne :
∇ₒΨ = Ψ₀ ⋅ B ⋅ (∇f(x)) ⋅ R(x)
Donc :
G(x) = B ⋅ ∇f(x)
Le champ G est un bivecteur orienté selon B, de norme proportionnelle au gradient spatial de la phase f(x).
288.4 Champ bivectoriel tournant à flux constant
Si la phase est de type hélicoïdal ou circulaire autour d’un axe de symétrie (par exemple f(x) = kz), alors :
• Le champ G est constant en norme,
• Il correspond à une rotation locale uniforme de l’éther,
• Son effet géométrique est celui d’un champ de torsion bivectorielle stationnaire.
Ce champ agit sur les trajectoires géodésiques en induisant une rotation différentielle locale — analogue à un effet de frame-dragging — sans propagation à c et sans structure lumineuse.
288.5 Interprétation physique et distinction avec les ondes photoniques
Contrairement à une onde lumineuse (modèle pseudoscalaire + bivecteur avec phase k ⋅ x), cette onde bivectorielle :
• Ne transporte pas de lumière ni d’énergie à vitesse c,
• Ne possède pas de composante trivectorielle,
• Ne dépend pas du temps d’un observateur,
• Exprime une torsion géométrique interne de l’éther, responsable d’effets gravitationnels rotationnels.
Ce champ peut être vu comme la limite locale d’un champ de Kerr multivectoriel lorsque la masse tourne à vitesse constante autour de l’axe du bivecteur B.
309 — Expression intégrale de l’effet bivectoriel global d’une source étendue
289.1 Définition du champ bivectoriel total
Soit une source massive étendue occupant un domaine spatial Ω, dont chaque point x' possède une contribution locale au champ bivectoriel de l’éther. On note :
Ψ(x') = Ψ₀(x') ⋅ R(x')
G(x') = ∇ₒΨ(x') ⋅ Ψ̃(x')⁻¹
où R(x') est un rotor bivectoriel local de la forme exp(B(x') ⋅ f(x')), avec B(x') un bivecteur local orienté selon le moment cinétique ou le flux de spin interne en x'.
Le champ bivectoriel global G_total(x) à un point d’observation x est défini comme la superposition géométrique pondérée de toutes les contributions locales :
G_total(x) = ∫_Ω K(x, x') ⋅ G(x') d³x'
289.2 Noyau de transport géométrique
Le noyau K(x, x') est un opérateur de transport multivectoriel, orientant chaque contribution de G(x') vers le point x en respectant la structure de Cl₃. Il doit satisfaire les contraintes suivantes :
• Respect de la conservation du flux bivectoriel,
• Transport bivectoriel sans torsion supplémentaire (rotation parallèle dans l’éther),
• Dépendance uniquement de la distance r = |x − x'| et de la direction e_r = (x − x')/|x − x'|.
Une forme admissible est :
K(x, x') = (1/|x − x'|²) ⋅ P_{B}(x, x')
où P_{B}(x, x') est un projecteur bivectoriel qui conserve l’orientation du bivecteur B(x') par transport parallèle vers x.
289.3 Expression intégrale canonique
En supposant que la densité locale de spin bivectoriel est ρ_B(x'), et que le champ local est proportionnel à B(x'), on obtient :
G_total(x) = ∫Ω ρ_B(x') ⋅ (B(x') ⋅ P{B}(x, x')) / |x − x'|² d³x'
Ce champ est un bivecteur total, dépendant de la structure interne de la source, et générant une rotation effective locale du référentiel à x.
289.4 Lien avec le champ bivectoriel de Kerr à grande distance
Lorsque la source est approximée par un moment angulaire global J = ∫_Ω ρ_B(x') ⋅ (x' × v(x')) d³x', et que le champ B(x') est aligné globalement avec l’axe de rotation, alors pour |x| ≫ |x'|, le champ bivectoriel global devient :
G_total(x) ≈ (1/r³) ⋅ (J ∧ e_r)
où e_r = x / |x|, et J ∧ e_r est le bivecteur orienté du couple moment angulaire / direction d’observation. Cela reproduit exactement la structure bivectorielle du champ de Kerr dans Cl₃ à grande distance.
289.5 Conséquence sur les géodésiques proches
Ce champ bivectoriel global induit une rotation locale du référentiel, qui agit différentiellement sur les trajectoires voisines. L’effet observé est un décalage géométrique entre deux géodésiques proches, analogue à un cisaillement rotationnel, donnant lieu à :
δv = G_total(x) ⋅ δx
où δv est la variation différentielle de vitesse entre deux points séparés de δx dans le champ G_total.
310 — Unification des effets de courbure et de rotation via le champ G
290.1 Décomposition géométrique du champ multivectoriel G
Le champ géométrique G(x), défini comme :
G(x) = ∇ₒΨ(x) ⋅ Ψ̃(x)⁻¹
est un multivecteur complet appartenant à Cl₃. Il contient les dérivées actives de l’onde Ψ par l’Octogradient dans l’éther, et encode à la fois :
• une composante scalaire : variation de densité d’onde (compression),
• une composante vectorielle : gradient spatial de norme (courbure),
• une composante bivectorielle : rotation locale du champ (frame-dragging),
• une composante trivectorielle : chiralité dynamique.
Son carré géométrique :
g(x) := G†(x) ⋅ G(x)
définit la métrique effective locale. Mais c’est la structure même de G, non son carré, qui unifie les effets dynamiques de courbure et de rotation.
290.2 Équation de déviation géodésique complète dans Cl₃
Considérons deux trajectoires proches X₁(t) et X₂(t) = X₁(t) + δx(t), plongées dans un champ G(x). La vitesse propre v(t) est donnée par :
v(t) = dX₁/dt = Ψ(X₁(t)) ⋅ C₀
Le champ différentiel qui agit sur la variation de position δx(t) est alors défini par :
δv(t) = G(X₁(t)) ⋅ δx(t)
Cette équation relie la déviation de la vitesse à la structure du champ multivectoriel G, sans recourir à un tenseur de courbure externe.
290.3 Structure des effets géométriques induits par G
Chaque grade du champ G agit différemment sur δx :
• La composante scalaire de G modifie la norme globale de δx, et agit comme une dilatation locale (effet de compression de l’éther).
• La composante vectorielle agit par transport directionnel et génère une accélération différentielle (analogue au tenseur de Riemann).
• La composante bivectorielle agit comme un générateur de rotation : elle fait tourner δx dans le plan bivectoriel actif, c’est l’effet gyroscopique ou de marée bivectoriel.
• La composante trivectorielle peut agir comme une source de chiralité de l’effet.
290.4 Cas particulier : onde plane bivectorielle
Pour une onde de type :
Ψ(x) = T(x) ⋅ [I ⋅ cos(k ⋅ x) + B ⋅ sin(k ⋅ x)]
où B est un bivecteur constant, le champ G possède une composante purement bivectorielle :
G(x) = k ⋅ B
et on a :
δv(t) = k ⋅ B ⋅ δx(t)
Cette équation décrit une rotation différentielle de δx dans le plan de B, d’angle θ(t) = k ⋅ f(t). L’amplitude de l’effet est proportionnelle à |B| et au gradient k.
290.5 Synthèse : unification géométrique des forces apparentes
Dans le formalisme Cl₃, il n’existe pas de séparation conceptuelle entre :
• les forces d’inertie (liées aux gradients spatiaux),
• les forces de marée (liées aux différences de trajectoires voisines),
• les forces gyroscopiques (liées aux rotations du référentiel local).
Toutes émergent d’un seul objet différentiel : le champ G = ∇ₒΨ ⋅ Ψ̃⁻¹.
• La gravitation est portée par la projection vectorielle de G,
• Le frame-dragging est porté par la projection bivectorielle de G,
• La métrique effective est portée par le carré G†G,
• La dynamique locale des particules est pilotée par G ⋅ δx.
Le champ G réalise donc l’unification complète entre métrique, force, inertie et géométrie multivectorielle.
Dernière modification par externo le dimanche 6 juillet 2025 à 10:51, modifié 2 fois.