Les autres théories ou peut être la votre...
PARTIE I — Fondements géométriques et algébriques (Sections 1 à 100)
📘 Chapitre 1 — L’algèbre de Clifford Cl(0,3)Cl(0,3)
Section 1 — Postulat géométrique fondamental : l’éther réel et euclidien
1.1 Énoncé du postulat
Il existe un substrat physique réel, l’éther multivectoriel, dont la structure est entièrement décrite par l’algèbre de Clifford euclidienne à trois générateurs Cl(0,3). Tout phénomène observé — espace, temps, matière, interaction — n’est qu’une manifestation dynamique de cet éther.
1.2 Cadre mathématique immédiat
• L’espace physique est représenté par trois vecteurs orthonormés e₁, e₂, e₃ satisfaisant e_k² = −1.
• La fusion du scalaire (grade 0), du vecteur (grade 1), du bivecteur (grade 2) et du pseudoscalaire J = e₁e₂e₃ (grade 3) fournit une trame géométrique complète de dimension 8, remplaçant le couple « variété + tenseur métrique » des approches habituelles.
1.3 Euclidianité et temps scalaire
Contrairement au schéma de Minkowski, la signature est entièrement euclidienne : le temps propre t₀ est un scalaire positif juxtaposé aux trois directions spatiales, sans signe métrique opposé ni facteur imaginaire. Les boosts relativistes deviennent des rotations euclidiennes réelles dans le plan (t₀,x) : sin θ = β, cos θ = 1/γ.
1.4 Nature et rôle physique de l’éther
L’éther n’est ni fluide matériel ni médium passif : il est la relation active et auto-organisée entre les différents grades de Cl(0,3). Ce réseau d’interactions géométriques confère réalité aux objets ; il n’existe aucune entité ponctuelle « dans » l’espace : l’espace est ce réseau.
1.5 Principes méthodologiques associés
1. Émergence : masses, charges, constantes et lois doivent découler de la dynamique interne de l’onde de matière Ψ, sans ajout ad hoc.
2. Réalisme local : toute évolution est déterministe, régie par des équations différentielles locales dans l’éther euclidien.
3. Géométrisation : ce que l’on nomme « interaction » est une déformation géométrique du champ Ψ (via le gradient multivectoriel et les rotors locaux).
1.6 Instabilité du « vide » et nécessité de la structure
Un « vide » dépourvu de toute onde ou tension serait inconsistant : les générateurs produisent spontanément des termes de grades supérieurs, rendant l’état totalement inerte impossible. Tridimensionnalité, présence du pseudoscalaire et rotations bivectorielles résultent donc d’une instabilité géométrique qui force l’émergence de structure.
1.7 Conditions de cohérence
• Auto-consistance : l’équation d’onde fondamentale (section 12) doit se déduire uniquement de la géométrie de Cl(0,3) et de la conservation du flux multivectoriel.
• Reproductibilité : les phénomènes mesurés (dilatation temporelle, interactions connues, métrique gravitationnelle, etc.) doivent apparaître comme conséquences effectives, non comme axiomes externes.
En résumé, cette section fixe la pierre angulaire : un éther euclidien réel décrit par Cl(0,3) où espace, temps et matière sont unifiés dans une seule entité géométrique dynamique. Toutes les sections suivantes montreront comment ce postulat suffit à reconstruire — et parfois dépasser — la physique contemporaine.
Section 2 — Structure vectorielle de l’espace physique
2.1 Sous-espace de grade 1
Les vecteurs forment un sous-espace de dimension 3 dans Cl(0,3) :
v = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃ avec v₁,v₂,v₃ ∈ ℝ.
2.2 Signature (0,3) et carré négatif
Chaque générateur vérifie eₖ² = -1.
Ainsi le carré géométrique d’un vecteur est strictement négatif :
v² = v·v = -,(v₁² + v₂² + v₃²) < 0.
On définit la norme euclidienne positive par |v|² ≡ -v².
2.3 Addition vectorielle
Pour tout u,v et scalaires réels α,β : αu + βv reste un vecteur. La superposition linéaire décrit déplacements, impulsions, courants.
2.4 Orientation
La triade directe (e₁,e₂,e₃) fixe l’orientation de l’espace ; le produit extérieur e₁∧e₂∧e₃ définit le volume positif.
2.5 Opérations fondamentales
• Produit scalaire : u·v = -,(u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃).
• Produit extérieur : u∧v engendre un bivecteur (plan orienté).
• Projection : l’opérateur ⟨·⟩₁ extrait la partie de grade 1 d’un multivecteur.
2.6 Rotations euclidiennes internes
Un bivecteur unitaire B génère la rotation R = \exp(B θ/2).
L’action sandwichée v′ = R,v,R̃ conserve |v|.
2.7 Dualité vecteur / bivecteur
Multiplier un bivecteur par le pseudoscalaire I = e₁e₂e₃ retourne un vecteur axial : I(e₁∧e₂) = e₃. Cette dualité relie moments angulaires et plans de rotation.
2.8 Résumé
Dans Cl(0,3), tout vecteur a un carré négatif et une norme positive |v| = √(-v²). Cette structure vectorielle sert de charpente aux bivecteurs, rotors et, plus loin, à la dynamique ondulatoire de la matière.
Section 3 — Définition des bases orthonormées e₁, e₂, e₃
3.1 Choix d’une triade génératrice
On fixe trois éléments de grade 1 : e₁, e₂, e₃. Ils constituent la base vectorielle minimale nécessaire pour engendrer tout l’algèbre Cl(0,3).
3.2 Conditions d’orthogonalité et de norme
• Orthogonalité : eᵢ·eⱼ = 0 pour i ≠ j.
• Norme négative : eᵢ² = -1 pour chaque i = 1,2,3.
Le carré est négatif parce que la signature est (0,3) : il n’existe aucune direction « temps » de signe opposé, seulement trois directions d’espace à carré négatif.
3.3 Anticommutation fondamentale
Les générateurs satisfont la relation
eᵢeⱼ = -eⱼeᵢ (i ≠ j).
Cette anticommutation garantit que le produit de deux vecteurs non parallèles est un bivecteur ; elle sous-tend l’orientation interne de l’espace.
3.4 Orientation de la triade
La triade (e₁,e₂,e₃) est choisie directe ; son produit extérieur maximal
e₁ ∧ e₂ ∧ e₃
définit le volume positif et engendre plus tard le pseudoscalaire I = e₁e₂e₃.
3.5 Représentation d’un vecteur quelconque
Tout vecteur spatial s’écrit
v = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃,
et possède un carré négatif : v² = -,(v₁² + v₂² + v₃²). La norme euclidienne usuelle est alors donnée par |v| = √(-v²).
3.6 Importance pour la suite
• Ces trois générateurs suffisent à construire tous les multivecteurs (grades 0 à 3).
• Ils définissent les plans de rotation (bivecteurs) et le volume orienté (trivecteur).
• Leur anticommutation permettra, dès la section 4, d’introduire le produit géométrique unique qui unifie produit scalaire et extérieur.
Ainsi établie, la triade orthonormée e₁,e₂,e₃ sert de charpente à l’ensemble de l’édifice algébrique et physique développé dans le traité.
Section 4 — Produit géométrique : fusion du scalaire et du produit extérieur
4.1 Définition générale
Pour deux vecteurs quelconques a et b de Cl(0,3) on définit le produit géométrique par
ab = a·b + a∧b.
• La partie a·b est un scalaire (grade 0).
• La partie a∧b est un bivecteur (grade 2) représentant l’aire orientée du parallélogramme formé par a et b.
4.2 Projections de grade
On extrait chaque composante par les opérateurs
⟨ ab ⟩₀ = a·b (scalaire)
⟨ ab ⟩₂ = a∧b (bivecteur)
Les grades sont orthogonaux ; ainsi le produit géométrique réunit en une seule opération la métrique (produit scalaire) et la structure orientée (produit extérieur).
4.3 Antisymétrie et commutation
Pour tout couple de vecteurs :
ab + ba = 2,a·b (terme purement scalaire)
ab - ba = 2,a∧b (terme purement bivectoriel)
Le commutateur encode donc l’aire, tandis que l’anticommutateur encode la métrique.
4.4 Exemple sur la base orthonormée
Avec les générateurs e₁² = e₂² = e₃² = -1 et eᵢeⱼ = -eⱼeᵢ pour i ≠ j :
e₁e₂ = e₁·e₂ + e₁∧e₂ = 0 + e₁∧e₂ (pur bivecteur)
e₁e₁ = -1 (pur scalaire négatif)
Ainsi la table complète des produits de base est entièrement déterminée par ces règles d’anticommutation.
4.5 Carré d’un vecteur et norme positive
Pour tout vecteur v : v² = v·v = -(|v|)².
On retrouve la norme euclidienne positive par |v| = √(-v²), cohérente avec la signature (0,3).
4.6 Associativité et distributivité
Le produit géométrique est associatif : ic = a(bc)[/i].
Il est également distributif sur l’addition : a(b + c) = ab + ac.
Ces propriétés garantissent une algèbre complète sans avoir besoin d’introduire des règles externes.
4.7 Importance pour les rotors
En section 6 on montrera que les rotors sont des exponentielles de bivecteurs : R = exp(B θ/2). Leur action sur un multivecteur M utilise la structure associative du produit géométrique : M′ = R M R̃. Sans ce produit unique, la fusion cohérente des rotations et des mesures de longueur serait impossible.
4.8 Résumé
Le produit géométrique fournit le cœur opérationnel de Cl(0,3) :
• il unifie la mesure (scalaire) et l’orientation (bivecteur),
• il encode simultanément la métrique et les aires,
• il rend possible une description compacte des rotations, des boosts et des interactions qui seront développées dans les chapitres suivants.
Section 5 — Définition et propriétés des bivecteurs eᵢ ∧ eⱼ
5.1 Définition
Pour chaque couple d’indices distincts i < j dans {1 ; 2 ; 3}, on définit le bivecteur élémentaire
Bᵢⱼ ≡ eᵢ ∧ eⱼ = eᵢ eⱼ.
Il représente le plan orienté formé par les deux vecteurs de base concernés.
5.2 Antisymétrie
Le produit extérieur est antisymétrique :
eᵢ ∧ eⱼ = − eⱼ ∧ eᵢ.
Ainsi B₁₂ = − B₂₁, etc.
5.3 Carré négatif
Dans la signature (0, 3) où eᵢ² = −1, on obtient
i² = (eᵢ eⱼ)(eᵢ eⱼ) = −eᵢ² eⱼ² = −1.[/i]
Chaque bivecteur possède donc une norme négative et son inverse vaut simplement − Bᵢⱼ.
5.4 Base complète du grade 2
Les trois bivecteurs fondamentaux
B₁₂, B₂₃, B₃₁
constituent une base de l’espace de grade 2. Tout bivecteur quelconque B se décompose ainsi :
B = α B₁₂ + β B₂₃ + γ B₃₁ avec α, β, γ réels.
5.5 Orientation et signe
Le signe de Bᵢⱼ reflète l’orientation directe de la triade (e₁, e₂, e₃). Par exemple, e₁ ∧ e₂ correspond naturellement à la direction e₃ selon la règle de la main droite.
5.6 Dualité vecteur / bivecteur
En multipliant par le pseudoscalaire I = e₁ e₂ e₃ :
I B₁₂ = e₃, I B₂₃ = e₁, I B₃₁ = e₂.
Chaque plan orienté est donc dual d’un vecteur axial orthogonal à ce plan.
5.7 Génération des rotations
Soit Bnorm = B / |B| un bivecteur unitaire. Il engendre la rotation
R = exp(Bnorm θ ⁄ 2).
Le sandwich R v R̃ fait pivoter tout vecteur v dans le plan de Bnorm d’un angle θ.
5.8 Commutation avec les vecteurs
Pour un vecteur arbitraire a :
Bᵢⱼ a = eᵢ(eⱼ a) − (eᵢ·a) eⱼ + (eⱼ·a) eᵢ.
Cette identité sépare a en composantes parallèle et perpendiculaire au plan défini par Bᵢⱼ.
5.9 Projection de grade
L’opérateur ⟨·⟩₂ isole la partie bivectorielle d’un produit géométrique ; pour deux vecteurs a et b :
⟨a b⟩₂ = a ∧ b.
5.10 Résumé
• Les bivecteurs constituent le grade 2, sont antisymétriques et vérifient (Bᵢⱼ)² = −1.
• Leur dualité avec les vecteurs via I lie plans et axes.
• En tant que générateurs de rotations, ils seront essentiels pour décrire le spin, les champs magnétiques et les transformations internes abordées plus loin dans le traité.
Section 6 — Construction du trivecteur I = e₁ e₂ e₃
6.1 Définition
On appelle trivecteur (ou pseudoscalaire) l’élément
I = e₁ e₂ e₃
obtenu en multipliant les trois vecteurs de base dans l’ordre direct.
6.2 Élément central de Cl(0,3)
I commute avec tout autre élément de l’algèbre :
I M = M I pour tout multivecteur M.
Autrement dit, malgré son grade 3, il se comporte comme un vrai scalaire au regard des produits internes.
6.3 Carré unitaire
Dans la signature adoptée (eᵢ² = −1), on obtient
I² = +1.
I est donc idempotent ; son propre inverse est lui-même :
I⁻¹ = I.
6.4 Dualité interne
Grâce à I, tout bivecteur se transforme en vecteur axial et réciproquement :
I (e₁ ∧ e₂) = e₃,
I (e₂ ∧ e₃) = e₁,
I (e₃ ∧ e₁) = e₂.
De même, la multiplication par I fait passer d’un scalaire à un trivecteur et inversement.
6.5 Orientation et volume élémentaire
I encode le volume unitaire orienté de l’espace réel. Changer l’ordre des générateurs (par exemple e₂ e₁ e₃) change le signe d’I et donc l’orientation globale.
6.6 Aucune fonction de rotation
Contrairement aux bivecteurs de grade 2, I n’engendre pas de rotations ni de boosts ; son rôle est purement scalaire : mesure d’orientation, opérateur de dualité et facteur de normalisation.
6.7 Projection de grade 3
L’opérateur ⟨·⟩₃ extrait la composante trivectorielle d’un multivecteur. Pour trois vecteurs a, b, c :
⟨a ∧ b ∧ c⟩₃ = (a·(b × c)) I.
6.8 Résumé
• I est l’élément unique de grade 3, central, avec I² = +1.
• Il sert à définir l’orientation de l’espace et à établir la dualité entre plans (grade 2) et axes (grade 1).
• Ne jouant aucun rôle de générateur de rotation, il reste un scalaire au sein de la dynamique qui sera développée dans les chapitres suivants.
Section 7 — Signature euclidienne de Cl₃ et intervalle invariant t² + r²
7.1 Norme géométrique : rappel de la section 18
Pour tout multivecteur M, on définit la norme scalaire réelle par :
|M|² = M × M̃
où M̃ est la réversion. Cas particuliers :
– Pour un scalaire a : |a|² = a²
– Pour un vecteur v = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃ : |v|² = v₁² + v₂² + v₃²
– Pour un bivecteur B = b₁e₂e₃ + b₂e₃e₁ + b₃e₁e₂ : |B|² = b₁² + b₂² + b₃²
– Pour le trivecteur I = e₁e₂e₃ : |I|² = +1
7.2 Paravecteur-évènement
On représente un évènement par :
X = t + r,
où t est un scalaire réel (temps propre), et r = x e₁ + y e₂ + z e₃.
La réversion est :
M̃ = t – r.
On en déduit la norme :
|X|² = X × X̃ = t² + r²
7.3 Origine du signe +
La signature est homogène : tous les eₖ satisfont eₖ² = –1, ce qui donne une norme positive pour les vecteurs réels, puisque r² = x² + y² + z².
Le carré total d’un paravecteur t + r est donc bien :
(t + r)(t – r) = t² + r²
7.4 Transformations compatibles avec t² + r²
Un boost actif est une rotation dans le plan (t, ê), avec ê un vecteur unitaire.
Le rotor s’écrit :
L = cos θ + ê sin θ
et agit par :
X′ = L × X
Ce boost conserve la norme :
|X′|² = |X|² = t² + r²
7.5 Lecture physique
– Le temps t est une coordonnée scalaire pure.
– Le vecteur r décrit la position spatiale.
– Leur norme quadratique t² + r² est l’invariant géométrique absolu.
Les phénomènes de dilatation du temps et de contraction des longueurs se déduisent des effets de rotation euclidienne sur ces composantes.
7.6 Avantages du formalisme Cl₃
• Pas de coordonnée à signature opposée : temps et espace ont même statut métrique.
• Pas d’unité imaginaire : le bivecteur remplit ce rôle dans les oscillations internes.
• La norme |M|² = M × M̃ s’applique uniformément à tous les grades : scalaire, vecteur, bivecteur, trivecteur.
7.7 Transition vers la table complète (section 8)
Avec cette structure homogène, nous pouvons maintenant établir la table de multiplication complète de Cl₃, base de toutes les constructions dynamiques du traité.
Section 8 — Table de multiplication complète de Cl₃ (signature eᵢ² = –1, I² = +1)
L’algèbre Cl₃ contient exactement huit éléments linéairement indépendants, répartis selon leur grade :
– Grade 0 : le scalaire 1
– Grade 1 : les vecteurs e₁, e₂, e₃
– Grade 2 : les bivecteurs e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁
– Grade 3 : le trivecteur I = e₁e₂e₃ (aussi appelé pseudoscalaire)
8.1 Règles fondamentales
– Anticommutation : eᵢ × eⱼ = – eⱼ × eᵢ si i ≠ j
– Carrés :
* eᵢ² = –1 (vecteurs)
* (eᵢeⱼ)² = –1 (bivecteurs)
* I² = +1 (trivecteur)
8.2 Exemples de produits directs
– e₁ × e₂ = e₁e₂ (bivecteur pur)
– e₂ × e₁ = – e₁e₂
– e₁ × e₁ = –1 (scalaire)
– e₁e₂ × e₂e₃ = e₁e₃ (bivecteur)
– e₁ × e₂e₃ = I (trivecteur)
– I × e₁ = – e₂e₃
– I × I = +1
– e₂ × I = e₃e₁
– e₃ × e₁ = – e₃e₁
8.3 Structure multiplicative de Cl₃
Chaque produit de deux éléments de base donne soit :
– un élément de même grade,
– un élément de grade supérieur ou inférieur,
– ou un scalaire (si l’on contracte un vecteur avec lui-même).
La multiplication géométrique est associative mais non commutative.
8.4 Comportement du pseudoscalaire
Le trivecteur I = e₁e₂e₃ est central dans l’algèbre :
– Il commute avec tous les éléments de Cl₃
– Il représente l’orientation volumique de l’espace
– Il vérifie : I² = +1
8.5 Synthèse opérationnelle
La connaissance de ces huit produits de base, et des règles d’anticommutation, suffit à reconstruire :
– tout développement algébrique multivectoriel,
– les normes (via la réversion : |M|² = M × M̃),
– les rotors (produits exponentiels de bivecteurs),
– les projecteurs (ex. chiralité, spin, polarisation),
– et toutes les opérations physiques (boosts, rotations, contractions, dynamiques internes).
8.6 Transition vers la suite
Cette structure algébrique complète permet désormais de passer au traitement différentiel des champs multivectoriels, avec l’introduction de l’Octogradient, des opérateurs par grade, et des équations dynamiques qui en découlent.
Section 9 — Interprétation géométrique des multivecteurs
9.1 Décomposition par grades
Tout élément de Cl₃ se sépare en quatre composantes orthogonales :
M = s (scalaire) + v (vecteur) + B (bivecteur) + pI (trivecteur)
avec I = e₁e₂e₃.
9.2 Grade 0 — scalaire (point sans direction)
Valeur réelle pure ; aucune orientation. Sert à coder masses, temps propres, facteurs d’échelle.
Norme : |s|² = s² (positive).
9.3 Grade 1 — vecteur (segment orienté)
v = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃. Représente positions, impulsions, champs directionnels.
Carré géométrique : v × v = −(v₁²+v₂²+v₃²).
Norme euclidienne définie par r² = −v × v = x²+y²+z².
9.4 Grade 2 — bivecteur (surface orientée)
B = β₁e₂e₃ + β₂e₃e₁ + β₃e₁e₂. Représente plans, aires et axes de rotation (spin, champ magnétique).
Carré : B × B = −(β₁²+β₂²+β₃²).
Norme : |B|² = −B × B (positive).
9.5 Grade 3 — trivecteur (volume orienté)
I encode le volume unitaire et l’orientation globale.
Carré : I² = + 1 ; |pI|² = p².
Commute avec tout ; joue le rôle d’opérateur de dualité interne.
9.6 Dualité interne](vecteur ↔ bivecteur)
Multiplier par I échange plans et axes :
I(e₁e₂) = e₃, I(e₂e₃) = e₁, I(e₃e₁) = e₂.
Cette correspondance relie, par exemple, un plan de rotation (spin) au vecteur axial classique.
9.7 Orthogonalité structurelle
Les quatre grades sont mutuellement orthogonaux : la projection ⟨M⟩₀, ⟨M⟩₁, ⟨M⟩₂, ⟨M⟩₃ extrait chaque composante sans mélange.
Produit intérieur de deux grades distincts : nul.
9.8 Signification physique conjointe
– Scalaire : densités et horloges internes.
– Vecteur : flux spatiaux, positions instantanées.
– Bivecteur : rotations internes, champs transverses.
– Trivecteur : mémoire volumique, orientation globale.
9.9 Norme multivectorielle complète
|M|² = M × M̃ = s² − |v|² − |B|² + p²
(contribution positive des grades pairs, négative des grades impairs de dimension 1 et 2).
9.10 Synthèse
Cl₃ offre une représentation unifiée où points, segments, surfaces et volumes coexistent dans un seul objet algébrique. Les chapitres suivants exploiteront cette palette pour décrire dérivées, opérateurs dynamiques et interactions, toujours en termes de projections scalarisées et de normes invariantes établies ici.
Section 10 — Grades et décomposition multivectorielle (0 à 3)
10.1 Les quatre familles fondamentales
Tout élément de Cl₃ se sépare en quatre blocs orthogonaux :
M = ⟨M⟩₀ + ⟨M⟩₁ + ⟨M⟩₂ + ⟨M⟩₃
= s (grade 0) + v (grade 1) + B (grade 2) + pI (grade 3)
Grade Symbole Géométrie Carré géom. « Norme » (positive)
0 s Point / mesure s²
1 v = vᵢeᵢ Segment orienté −r²
2 B = βᵢ Eᵢ Surface orientée −b²
3 p I Volume orienté +p²
(Eᵢ désigne e₂e₃, e₃e₁, e₁e₂ ; r² = x²+y²+z² ; b² = β₁²+β₂²+β₃².)
10.2 Opérateurs de projection ⟨ · ⟩g
Les projecteurs ⟨ · ⟩₀, ⟨ · ⟩₁, ⟨ · ⟩₂, ⟨ · ⟩₃ extraient respectivement scalaire, vecteur, bivecteur et trivecteur ; ils vérifient :
⟨⟨M⟩g⟩h = 0 pour g ≠ h et = ⟨M⟩g pour g = h.
La somme des quatre projections restitue exactement M.
10.3 Orthogonalité structurelle
Le produit intérieur de deux composantes de grades distincts est nul ; ainsi la norme globale
|M|² = M × Ṁ = s² − r² − b² + p²
se décompose sans terme croisé.
10.4 Produit géométrique entre grades (règles rapides)
g₁ × g₂ 0 1 2 3
0 g₂ g₂ g₂ g₂
1 1+2 0+2 1+3 2
2 1+3 1+3 0+2 1
3 g₂ g₂ g₁ 0
Une case « 0+2 » signifie : le produit d’un scalaire (0) et d’un vecteur (1) donne un vecteur (1) ; le produit de deux vecteurs (1×1) donne un scalaire (0) et un bivecteur (2), etc.
10.5 Paires impaires et paires
• Sous-algèbre paire (grades 0 + 2) → rotors, métriques, invariants.
• Sous-algèbre impaire (grades 1 + 3) → opérateurs de courant ou de dualité.
Le découpage pair/impair simplifie la factorisation des équations d’onde : les rotors appartiennent toujours à la partie paire.
10.6 Exemple numérique
Soit Ψ = 3 + 2e₁ + 5e₂e₃ + 7I.
Projections : ⟨Ψ⟩₀ = 3 ; ⟨Ψ⟩₁ = 2e₁ ; ⟨Ψ⟩₂ = 5e₂e₃ ; ⟨Ψ⟩₃ = 7I.
Norme : |Ψ|² = 3² − (2)² − (5)² + 7² = 9 − 4 − 25 + 49 = 29.
10.7 Utilité physique des projections
· grade 0 → mass-énergie scalaire, temps propre ;
· grade 1 → flux espacials, impulsion ;
· grade 2 → spin interne, champs bivectoriels ;
· grade 3 → densité volumique pseudo-scalaire (mémoire gravitationnelle).
10.8 Conservation par grade
Les équations dynamiques se projettent sur chaque grade ; on obtient des lois de conservation distinctes (énergie, courant, spin) tout en travaillant avec un unique champ multivectoriel.
10.9 Pont vers la dynamique
Cette décomposition fixe la palette géométrique du traité : toutes les dérivées (Octogradient), rotors, opérateurs internes et couplages physiques agiront sur les quatre grades en respectant les règles du tableau 10.4.
10.10 Résumé
La structure à quatre grades de Cl₃ fournit un “système de coordonnées internes” plus riche que le quatuor (t, x, y, z). Elle permet d’écrire chaque grandeur physique comme somme de blocs orthogonaux, de définir des invariants clairs et de séparer naturellement les lois de conservation qui gouverneront les parties suivantes du traité.
📘 Chapitre 2 — Topologie de l’espace-temps multivectoriel
Section 11 — Temps scalaire comme axe propre de l’éther
11.1 Notion de temps interne
Le temps est incarné par un scalaire pur t₀ de grade 0 dans Cl₃. Il ne se combine jamais directement avec les générateurs eₖ (grade 1) et commute avec tout élément de l’algèbre. Il constitue l’axe temporel propre de l’éther.
11.2 Séparation temps / espace
Un événement est représenté par un paravecteur :
X = t₀ + r
où r = x e₁ + y e₂ + z e₃ est un vecteur spatial pur.
Le temps t₀ est une coordonnée indépendante, séparée de l’espace, et mesurable universellement.
11.3 Dérivée temporelle pure
L’opérateur
∂₀ ≡ ∂ / ∂t₀
agit uniquement sur les composantes scalaires d’un champ. Il n’engendre aucune composante vectorielle ou bivectorielle.
11.4 Simultanéité absolue
Deux points ayant le même t₀ sont considérés comme simultanés.
Toute rupture apparente de simultanéité vient d’une transformation active (boost euclidien), et non d’une propriété métrique du temps.
11.5 Boosts euclidiens scalaire–vectoriel
Un changement de référentiel dans l’éther est décrit par un rotor :
L = cos θ + ê sin θ
où ê est un vecteur unitaire. L’action :
X′ = L × X × L̃
effectue une rotation dans le plan (t₀, ê), mélangeant le temps et la direction spatiale ê sans changer la norme t₀² + r².
11.6 Formules de transformation
En posant β = tan θ et γ = 1 / √(1 + β²), on obtient :
t₀′ = γ × (t₀ + β × ê·r)
r′ = r + (γ – 1) × (ê·r) × ê + γ × β × t₀ × ê
Ce sont les équivalents géométriques des transformations de Lorentz dans un cadre euclidien réel.
11.7 Mesure des fréquences propres
Une onde stationnaire de forme Ψ = A × exp(B × ω × t₀) conserve la fréquence ω dans tous les référentiels.
Le facteur B est un bivecteur tel que B² = –1, jouant le rôle d’oscillateur interne réel.
11.8 Absence d’unité imaginaire
Aucune unité imaginaire n’est introduite :
la distinction entre espace et temps provient uniquement des grades et de la structure des rotors. Le temps est réel, scalaire, et indépendant du plan spatial.
11.9 Compatibilité avec l’expérience
Les phénomènes comme la dilatation du temps ou la contraction des longueurs se retrouvent dans ce cadre, avec c = 1. Ils résultent directement des boosts internes, sans modification de la norme t₀² + r².
11.10 Transition vers la suite
Ce temps scalaire t₀ deviendra l’axe de référence pour la dérivation dynamique par l’Octogradient. Les sections suivantes établiront les opérateurs complets reliant les quatre grades (scalaire, vecteur, bivecteur, trivecteur) dans la dynamique de l’onde Ψ.
Section 12 — Le volume pseudoscalaire comme mesure du déplacement
12.1 Définition du pseudoscalaire I
Dans Cl₃ le trivecteur
I = e₁e₂e₃
est appelé pseudoscalaire. Il représente simultanément le volume unitaire orienté et la chiralité de l’espace.
12.2 Commutation et dualité
I commute avec tout multivecteur (I M = M I) et vérifie I² = +1.
Il réalise la dualité interne : pour tout bivecteur B, I B renvoie le vecteur axial orthogonal.
12.3 Volume élémentaire orienté
Multiplié par un scalaire p, p I code un volume orienté de « densité » p. Son carré géométrique est positif :
(p I)² = +p².
12.4 Mesure du déplacement volumique
Lorsqu’une onde-matière Ψ se propage, la variation de sa composante p I traduit un déplacement pseudoscalaire, autrement dit un flux volumique local de l’éther.
12.5 Gradient pseudoscalaire ∇·(I·Ψ)
L’opérateur ∇₀ agit sur p I par dualité :
⟨∇₀ Ψ⟩₃ = ∂₀ p + ∇·(I v)
mesure la création ou l’annihilation locale de volume pseudoscalaire.
12.6 Conservation de volume interne
Pour une dynamique sans création volumique, on impose
∂₀ p + ∇·(I v) = 0.
C’est l’équivalent multivectoriel de la continuité de masse.
12.7 Rôle physique dans la gravitation interne
Les chapitres ultérieurs montreront que p I module la constante effective de gravitation en créant une « mémoire volumique » ; une variation de p I équivaut à un champ gravitationnel centré.
12.8 Interaction avec les autres grades
Le pseudoscalaire couple naturellement au scalaire (s → s+p) et aux vecteurs via I v, étendant les transformations actives au volume ainsi qu’à la phase.
12.9 Projection de grade 3
La projection ⟨Ψ⟩₃ isole p I. Dans toute équation d’onde, ce canal capture les effets volumétriques (pression interne, gravitation).
12.10 Transition
Ayant défini I et son rôle de mesure de déplacement volumique, la section 13 construira la table de dualité complète entre grades et établira les opérateurs fondamentaux (Octogradient et conjuguais) sur tous les grades.
Section 13 — Orientation des composantes : signes et chiralité
13.1 Triade directe et base orientée
La triade (e₁, e₂, e₃) est dite directe si
e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ = +I
et inversée si
e₂ ∧ e₁ ∧ e₃ = –I
Ce choix fixe le sens positif des volumes et détermine la chiralité de tout multivecteur.
13.2 Signes des permutations
Pour tout triplet (i, j, k) de {1, 2, 3}, la permutation cyclique (1→2→3) conserve le signe de I, tandis qu’une permutation transposée l’inverse :
eᵢ ∧ eⱼ ∧ eₖ = sgn(i, j, k) × I
avec sgn(i, j, k) = +1 pour une permutation paire, –1 pour une permutation impaire.
13.3 Chiralité des bivecteurs
Chaque bivecteur Bᵢⱼ = eᵢ ∧ eⱼ possède un dual axial
I × Bᵢⱼ = ± eₖ
dont le signe dépend de l’orientation de la base. Cette dualité relie le plan de rotation à l’axe orthogonal orienté, définissant la chiralité interne des rotations.
13.4 Commutation et double inversion
Le pseudoscalaire I commute avec les scalaires et bivecteurs, mais anticommute avec les vecteurs :
I × eᵢ = – eᵢ × I
Donc I² × eᵢ = eᵢ.
Une double inversion (inversion de triade suivie de I → –I) ramène à la configuration initiale.
13.5 Chiralité et inversion de parité
L’opération de parité P se réalise par :
P(M) = I × M × I⁻¹
Elle laisse invariants les scalaires et les trivecteurs, mais inverse le signe des vecteurs et des bivecteurs, ce qui reproduit la notion classique de symétrie spatiale inversée.
13.6 Signes dans le produit géométrique
Quand on échange deux facteurs a et b dans le produit géométrique, on obtient :
b × a = (–1)^(grade(a) × grade(b)) × a × b
où grade(a) est le grade (0 à 3) de l’élément a. Cette règle garantit la cohérence des signes dans toutes les combinaisons multivectorielles.
13.7 Chiralité et dynamique physique
– Un rotor de spin chirale (bivecteur × I) permet de distinguer les rotations horaires et antihoraires.
– Les interactions faibles sélectionnent une seule chiralité, notamment dans les champs vectoriels et les spinors. Cette sélection repose entièrement sur les conventions d’orientation définies ici.
13.8 Projection sur la composante chirale
On peut extraire la chiralité droite avec l’opérateur :
Γ = (1 + I) / 2
et la chiralité gauche avec :
(1 – I) / 2
Ces projecteurs permettent de séparer les deux modes dynamiquement et géométriquement.
13.9 Cohérence interne
Toutes les formules algébriques reposent sur les conventions de chiralité et le fait que I² = +1. Cela assure la compatibilité des signes, la stabilité des projections et l’unicité des comportements physiques sous transformation.
13.10 Transition
Ces conventions d’orientation et de chiralité étant établies, nous allons maintenant construire l’Octogradient, qui agit différemment selon le grade, et introduire ses opérateurs conjugués essentiels.
Section 14 — Notion de dualité (grade complémentaire)
14.1 Définition de la dualité interne
Dans Cl₃, on définit l’opérateur de dualité D comme la multiplication par le pseudoscalaire I = e₁e₂e₃. Pour tout élément M,
D(M) = M I.
Cela transforme un élément de grade g en un élément de grade 3–g.
14.2 Effets sur chaque grade
· Scalaire (grade 0) ↔ trivecteur (grade 3)
D(s) = s I et D(p I) = p I² = p
· Vecteur (grade 1) ↔ bivecteur (grade 2)
D(vᵢeᵢ) = (vᵢeᵢ) I ∈ span{eⱼeₖ}
D(bⱼ eₖeₗ) = (bⱼ eₖeₗ) I ∈ span{eₘ}
14.3 Propriétés algébriques
· Centralité partielle : I commute avec les scalaires et bivecteurs, anticommute avec vecteurs.
· Involution : appliquer deux fois redonne l’élément initial, à un signe près selon la signature :
D(D(M)) = M I² = +M.
14.4 Dualité et normes
La norme géométrique |M|² = M Ṁ reste inchangée sous dualité, puisque I Ṝ = Ṝ I et I²=+1 :
|D(M)|² = (M I)(Ṁ I) = M Ṁ I² = |M|².
14.5 Lecture géométrique
· Prendre le dual d’un vecteur revient à passer du segment orienté à la surface orthogonale.
· Prendre le dual d’un scalaire le transforme en volume élémentaire orienté.
14.6 Applications physiques
· Spin ↔ moment magnétique : un bivecteur de spin dualisé produit le vecteur moment magnétique axial.
· Champ E ↔ champ B : dualiser les composantes spatiales d’un champ électrique donne les composantes magnétiques, et inversement.
14.7 Projection par dualité
On peut extraire directement la composante duale de M via
⟨M⟩{3–g} = D(⟨M⟩{g}).
Cela permet, après projection sur un grade, de construire ses effets complémentaires sans recourir à l’opérateur géométrique complet.
14.8 Cohérence topologique
La dualité crée un lien bijectif entre les sous-espaces de grades g et 3–g, assurant que l’algèbre est auto-complète : aucun grade ne reste isolé.
14.9 Neutralité dynamique
Comme D commute avec la réversion et préserve la norme, elle ne modifie aucune loi de conservation : on peut toujours reformuler une équation d’onde en termes du dual de ses composantes.
14.10 Transition vers les opérateurs
La dualité étant établie, la section suivante définira explicitement l’Octogradient et montrera comment ses projections et ses conjugués interagissent grade par grade, en tirant parti de cette complémentarité.
Section 15 — Temps, espace, rotation, volume : quatre types de dimensions
15.1 Les quatre grades fondamentaux comme dimensions internes
L’algèbre de Clifford Cl₃ possède quatre types de composantes irréductibles, appelées "grades", qui définissent les quatre dimensions internes de toute entité physique :
– Grade 0 : scalaire (temps propre, phase, énergie)
– Grade 1 : vecteur (espace, position, impulsion)
– Grade 2 : bivecteur (rotation, spin, champ magnétique)
– Grade 3 : trivecteur ou pseudoscalaire (volume orienté, mémoire, gravitation)
15.2 Chacun exprime un mode fondamental d’évolution
– Le temps scalaire défile comme une phase locale.
– L’espace vectoriel structure la position et le mouvement.
– La rotation bivectorielle encode les oscillations internes et la simultanéité.
– Le volume pseudoscalaire accumule la mémoire ondulatoire et la tension géométrique.
15.3 Irréductibilité géométrique des grades
Chaque grade est orthogonal aux autres. On ne peut pas exprimer une rotation comme une position, ni un volume comme un temps. Ces composantes sont indépendantes et fondamentales.
15.4 Tableau de correspondance physique
· Scalaire (grade 0) : temps propre, masse, énergie
· Vecteur (grade 1) : position spatiale, vitesse, direction
· Bivecteur (grade 2) : spin, champ magnétique, simultanéité
· Trivecteur (grade 3) : volume orienté, courbure, mémoire gravitationnelle
15.5 Toute onde physique active les quatre dimensions
Une onde réelle dans Cl₃ ne vit pas seulement dans l’espace et le temps :
elle possède une extension spatiale (vecteur), une fréquence (scalaire), une rotation interne (bivecteur), et une composante volumique (trivecteur).
15.6 La métrique complète doit inclure les quatre grades
Une métrique réduite (ex. temps + espace) est toujours partielle. Une métrique fondée sur Cl₃ inclut obligatoirement les quatre formes d’évolution : scalaire, vectorielle, bivectorielle et trivectorielle.
15.7 Unicité géométrique de Cl₃
Cl₃ est la seule algèbre réelle de dimension 8 qui :
– contient un scalaire,
– trois directions spatiales,
– trois plans de rotation,
– un volume orienté global,
le tout dans un seul objet unifié.
15.8 Répartition des interactions physiques
– Interaction électromagnétique : agit sur les vecteurs (champ E) et bivecteurs (champ B)
– Interaction gravitationnelle : agit sur les scalaires (masse) et trivecteurs (courbure)
– Interaction faible : sensible à la chiralité (liaison bivecteur–vecteur)
– Interaction forte : agit sur les combinaisons bivectorielles croisées
15.9 Structure quadridimensionnelle réelle
Le monde physique n’est pas simplement 3D + temps :
il est quadridimensionnel au sens réel de Cl₃ :
(temps scalaire, espace vectoriel, rotation bivectorielle, volume pseudoscalaire)
15.10 Transition vers les opérateurs dérivatifs
Les prochaines sections définiront les opérateurs différentiels fondamentaux (Octogradient, conjugaison, réversion) et leur action spécifique sur chacun de ces quatre types de dimension.
Section 16 — Distinction entre bivecteurs de spin et de boost
16.1 Deux rôles géométriques du grade 2
Les bivecteurs (éléments de grade 2 de Cl₃) ont deux usages géométriques distincts :
– Ils peuvent engendrer des rotations spatiales internes (spin),
– Ou générer des boosts euclidiens lorsqu’ils agissent en combinaison avec un scalaire.
16.2 Bivecteur de spin pur
Un bivecteur de spin Bₛ = eᵢ ∧ eⱼ représente une rotation dans le plan (eᵢ, eⱼ). Il engendre un rotor :
Rₛ = cos(θ) + Bₛ sin(θ)
Ce rotor agit uniquement dans le sous-espace spatial, en conservant les composantes scalaires et trivectorielles. Il réalise une rotation interne sans impliquer le temps.
16.3 Bivecteur de boost pur
Un bivecteur de boost B_b intervient dans un rotor mixte avec un scalaire :
L_b = cos(θ) + B_b sin(θ)
avec la condition de normalisation : S² + B_b² = 1.
Ce bivecteur n’est plus un plan spatial pur mais une combinaison scalaire–vectorielle. Il induit un mélange entre le temps propre (scalaire) et une direction spatiale (vecteur), modifiant la simultanéité et les distances.
16.4 Origine de la distinction
La différence vient du contexte d’application :
– Bₛ est utilisé seul pour générer des rotations internes (spin), dans des rotors purement pairs.
– B_b intervient dans des rotors mixtes (scalaire + bivecteur) ou dans des opérateurs d'évolution dynamique, impliquant une interaction entre temps et espace.
16.5 Effets sur les grades
– Pour un rotor de spin Rₛ, on a :
⟨ Rₛ ⋅ v ⋅ Rₛ̃ ⟩₁ ∈ grade 1
la composante reste purement vectorielle (rotation spatiale).
– Pour un boost L_b appliqué à un paravecteur X = t + r, on a :
⟨ L_b ⋅ X ⋅ L_b̃ ⟩₁ contient un mélange de scalaire et de vecteur.
La transformation modifie les composantes temporelles et spatiales.
16.6 Dualité et interchangeabilité
Par la dualité interne définie par D(M) = M × I, on peut :
– Associer à un bivecteur un vecteur axial dual (et inversement),
– Représenter un boost en tant que rotation dans le plan (t, I), interprété comme un spin "temporel".
16.7 Lecture physique
– Le bivecteur de spin encode la rotation interne d’une particule (moment angulaire, oscillation de phase).
– Le bivecteur de boost traduit le passage d’un référentiel au repos vers un référentiel en mouvement (redéfinition locale du temps propre, contraction des distances, décalage de simultanéité).
16.8 Transition vers la section suivante
Ayant clarifié le rôle géométrique et dynamique des bivecteurs selon leur usage (spin ou boost), la section 17 établira l’analyse dimensionnelle de Cl₃, en fixant les unités et les échelles naturelles pour les rotors, les vitesses, les fréquences et les intensités de champ.
Section 17 — Commutateurs entre composantes différentielles
17.1 Opérateurs différentiels de base
Dans l’algèbre Cl₃, on dispose de deux opérateurs fondamentaux :
– ∂₀ : dérivée scalaire pure, notée ∂/∂t₀
– ∇ : dérivée vectorielle, définie par ∇ = e₁∂₁ + e₂∂₂ + e₃∂₃
L’opérateur complet appelé Octogradient est ∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇, mais nous examinons ici les commutateurs élémentaires.
17.2 Définition du commutateur
Pour deux opérateurs A et B, on définit :
[A, B] = A B − B A
Ce commutateur mesure la non-commutativité locale des dérivées dans l’éther.
17.3 Commutateur temps-espace
Les opérateurs ∂₀ (temps) et ∇ (espace) agissent sur des variables indépendantes. On a donc :
[∂₀, ∇] = ∂₀ ∇ − ∇ ∂₀ = 0
17.4 Commutateur espace-espace
En composantes, on a :
[∇ᵢ, ∇ⱼ] = (eᵢ ∂ᵢ)(eⱼ ∂ⱼ) − (eⱼ ∂ⱼ)(eᵢ ∂ᵢ)
Les vecteurs eᵢ anticommute (eᵢ eⱼ = − eⱼ eᵢ), mais les dérivées ∂ᵢ commutent entre elles. Par conséquent :
[∇ᵢ, ∇ⱼ] = 0
17.5 Conséquence géométrique
Toutes les dérivées partielles de l’espace-temps commutent. Cela signifie que l’éther est localement euclidien, sans torsion ni courbure implicite à ce niveau différentiel.
17.6 Implication pour l’Octogradient
L’Octogradient ∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇ vérifie :
[∇₀, ∇₀] = 0
Il est donc nilpotent au sens formel : son carré n’introduit pas de couplage géométrique inattendu.
17.7 Cas des opérateurs conjugués
La réversion commute avec ∂₀ et ∇. Ainsi,
[∼∇₀, ∇₀] = 0
La conjugaison ne brise pas la compatibilité des dérivations dans l’algèbre.
17.8 Loi de compatibilité
La commutation complète de toutes les dérivées permet de factoriser les équations d’onde multivectorielles, sans introduction de termes de torsion ou de courbure additionnelle.
17.9 Application physique
Cette structure justifie l’usage direct de l’équation fondamentale :
∇₀ Ψ = 0
comme équation du mouvement d’un champ multivectoriel Ψ, assurant à la fois conservation des flux, cohérence géométrique et stabilité numérique.
17.10 Transition
La section suivante introduira les opérateurs spécifiques Op_S, Op_V et Op_B, en précisant leur action sur les différentes composantes (grades) du champ Ψ, fondée sur la structure multivectorielle locale.
Section 18 — Scalaires invariants et normes multivecteurielles
18.1 Norme des scalaires
Pour un scalaire a (grade 0) dans Cl₃ :
|a|² = a²
C’est la mesure pure sans orientation.
18.2 Norme des vecteurs
Pour un vecteur v = vᵢ eᵢ (grade 1) :
|v|² = − (v₁² + v₂² + v₃²)
Le signe « − » vient de eᵢ² = −1 ; cette norme est un scalaire invariant.
18.3 Norme des bivecteurs
Pour un bivecteur B = b₁ e₂e₃ + b₂ e₃e₁ + b₃ e₁e₂ (grade 2) :
|B|² = − (b₁² + b₂² + b₃²)
De même, le produit interne géométrique donne un scalaire.
18.4 Norme du trivecteur
Pour le pseudoscalaire I = e₁e₂e₃ (grade 3) :
|I|² = +1
c’est le volume unité orienté, de norme positive.
18.5 Norme d’un multivecteur complet
Pour M = a + v + B + p I (grades 0–3), la norme globale est
|M|² = M Ṁ
où Ṁ est la réversion de M.
18.6 Expression développée
En décomposant M :
|M|² = a² − |v|² − |B|² + p²
chaque contribution de grade 1 et 2 entre avec signe négatif.
18.7 Invariance sous transformation
Pour tout rotor R unitaire (grade 0+2) :
|R M Ṙ|² = M Ṁ
La norme reste strictement inchangée.
18.8 Utilisations physiques
• Densités d’énergie locales : |E + B|²
• Normalisation des ondes : |Ψ|² = constante
• Identification des contributions de chaque grade par projections
18.9 Métrique interne
Cette construction remplace tout tenseur métrique externe : le seul produit géométrique fournit la signature et la norme.
18.10 Synthèse
Cl₃ établit un cadre unifié où toute grandeur (scalaire, vecteur, plan, volume) possède une norme scalaire invariante, fondement des lois de conservation et des équations dynamiques.
19 — Justification géométrique du choix Cl(0,3)
La structure algébrique retenue dans ce traité repose sur l’algèbre de Clifford Cl(0,3), c’est-à-dire une algèbre géométrique à trois vecteurs de carré négatif (eᵢ² = –1). Ce choix n’est pas arbitraire : il correspond à un postulat géométrique fondamental, directement inspiré de la vision originale de Clifford.
Contrairement à la physique moderne (Gibbs, Heaviside, Hestenes), qui exploite généralement Cl(3,0) comme simple support d’un espace vectoriel plat, l’algèbre Cl(0,3) possède une structure intrinsèquement elliptique. Cette géométrie est encodée directement dans la nature du produit géométrique, et surtout dans la propriété du pseudoscalaire :
• I = e₁e₂e₃
• I² = +1
Ce carré positif n’est pas un détail technique : il signifie que l’espace modélisé possède une courbure globale positive, comme une sphère tridimensionnelle. Clifford l’a introduit pour représenter des rotations, des translations, et des ondes définies sur une géométrie fermée, non plate. Ce cadre donne naissance à des phénomènes tels que la périodicité en 4π, l’holonomie, et les effets topologiques de torsion.
Cl(0,3) ne décrit donc pas un espace euclidien plat, mais une variété sphérique où les grandeurs physiques sont naturellement courbées. Cela contraste radicalement avec l’approche contemporaine, qui impose la courbure extérieurement via une métrique, sans la faire émerger de l’algèbre elle-même.
Ainsi :
• L’espace réel est elliptique, non plat.
• Les dynamiques d’onde et de spin se déploient sur une structure sphérique.
• Le pseudoscalaire I encode la courbure effective de l’espace, et non une simple orientation.
Le choix de Cl(0,3) est donc motivé par une exigence de cohérence géométrique totale. Il permet d’intégrer courbure, rotation, spin et propagation ondulatoire dans un seul cadre formel, sans recours à une métrique extérieure ni à une signature mixte.
Ce n’est pas un outil : c’est une fondation.
Section 20 — Interprétation physique rigoureuse des grades dans Cl₃
20.1 Grade 0 — Scalaire : temps propre et phase de repos
La composante scalaire s = ⟨Ψ⟩₀ représente exclusivement le temps propre local de l’onde Ψ.
– Elle fixe le repère temporel interne t₀ de l’éther.
– Une onde stationnaire de forme Ψ = s ⋅ exp(B ω t₀) utilise s comme amplitude de repos.
– Cette composante est présente même en absence de mouvement.
– Elle ne porte pas d’énergie en elle-même, mais définit la référence temporelle absolue.
20.2 Grade 1 — Vecteur : contraction spatiale et impulsion apparente
La partie vectorielle v = ⟨Ψ⟩₁ code deux effets :
– Contraction des longueurs due à la compression locale de l’onde sous boost.
– Impulsion apparente dans un référentiel immobile : l’amplitude spatiale augmente.
– En coordonnées : v = x e₁ + y e₂ + z e₃.
– Le carré géométrique est r² = x² + y² + z², avec v² = –r².
– Elle reflète l’effet de redressement spatial dans le cône lumineux local.
20.3 Grade 2 — Bivecteur : simultanéité, spin, rotation interne
Le bivecteur B = ⟨Ψ⟩₂ génère et décrit :
– Le décalage de simultanéité entre référentiels.
– Le spin interne des ondes stationnaires (rotation dans un plan bivectoriel).
– Les champs de rotation autour des particules (frame-dragging, torsion).
– La structure dynamique de l’onde via B² = –|B|².
– Cette composante est responsable de l’orientation de l’espace-temps local.
20.4 Grade 3 — Trivecteur : déplacement réel, volume et gravitation macroscopique
La composante trivectorielle p I = ⟨Ψ⟩₃ encode des effets non présents chez les objets immobiles :
– Le déplacement réel dans l’éther.
– La densité volumique orientée dans l’éther.
– La mémoire volumique : accumulation topologique persistante.
– La source gravitationnelle macroscopique : en cosmologie (pseudoscalaire diffus).
– Elle est nulle pour un objet statique et active uniquement pour les objets dynamiques.
20.5 Structure complète d’un état multivectoriel Ψ
Un état général s’écrit :
Ψ = s + v + B + p I
avec les significations suivantes :
– s : temps propre (grade 0)
– v : contraction et impulsion (grade 1)
– B : rotation interne et simultanéité (grade 2)
– p I : mouvement réel et gravité macroscopique (grade 3)
20.6 Couplages dynamiques entre les grades
Les couplages par l’Octogradient et le produit géométrique induisent :
– Spin-orbite (couplage bivecteur–vecteur)
– Effet de mémoire (p I couplé à B ou s)
– Transfert d’énergie (de p I vers s par compression ou dilatation)
– Effet gravitationnel interne (via variation spatiale de p I)
20.7 Conséquences expérimentales et physiques
– La contraction mesurable est portée par ⟨Ψ⟩₁.
– Le spin est observé dans les modes bivectoriels ⟨Ψ⟩₂.
– La gravitation macroscopique dépend de la densité de ⟨Ψ⟩₃.
– La fréquence propre se lit dans l’évolution scalaire ⟨Ψ⟩₀.
– Les ondes de déplacement (ex : chuteur libre) ont p ≠ 0.
20.8 Transition vers la Partie II
Cette lecture rigoureuse établit la base physique complète de chaque composante multivectorielle. La Partie II exploitera cette structure pour construire la dynamique ondulatoire complète de la matière, par projection des équations d’onde sur chaque grade.
Rang
Spationaute interplanétaire
Inscription
lundi 4 avril 2022 à 00:47
Section 21 — Dérivée spatiale : ∇⃗ = ∑ eₖ ∂ₖ
21.1 Définition opérateur
On définit la dérivée spatiale ou gradient multivectoriel par
∇⃗ ≡ e₁ ∂₁ + e₂ ∂₂ + e₃ ∂₃,
où ∂ₖ ≡ ∂/∂xₖ agit sur la coordonnée xₖ du vecteur r = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃.
21.2 Action sur un scalaire
Pour f(x) scalaire,
∇⃗ f = ∑ₖ eₖ ∂ₖ f
est un vecteur dont la composante k est ∂ₖ f.
21.3 Action sur un vecteur
Pour v(x) = vₖ(x) eₖ,
∇⃗ ⋅ v = ∑ₖ ∂ₖ vₖ (divergence, scalaire)
∇⃗ ∧ v = ∑_{i<j} (eᵢ∧eⱼ)(∂ᵢ vⱼ − ∂ⱼ vᵢ) (rotation, bivecteur).
21.4 Action sur un bivecteur
Pour B(x) = B_{ij}(x) eᵢeⱼ,
∇⃗ ⋅ B = ∑ₖ eₖ (eₖ ⋅ B)′
détaille la contraction menant aux composantes vectorielles.
21.5 Linéarité et Leibniz
∇⃗ est linéaire et satisfait la règle de Leibniz pour le produit géométrique :
∇⃗ (AB) = (∇⃗ A) B + ∇⃗ ⋅_L (A) B
où l’opérateur agit sur A puis multiplie à gauche.
21.6 Commutation avec ∂₀
Comme ∂₀ agit sur t₀ et ∇⃗ sur xₖ,
[∂₀, ∇⃗] = 0.
21.7 Propriétés métriques
Le carré du gradient vaut
∇⃗² = −(∂₁² + ∂₂² + ∂₃²)
en cohérence avec eₖ² = −1.
21.8 Interprétation physique
· ∇⃗ f mesure la pente spatiale d’un scalaire (ex. potentiel).
· ∇⃗ ⋅ v donne la source ou puits (continuité).
· ∇⃗ ∧ v génère le champ de rotation (vorticité, champ magnétique).
21.9 Utilisation dans l’Octogradient
Combiné à ∂₀, il définit
∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇⃗,
opérateur central des équations d’onde multivectorielles.
21.10 Transition
Après avoir posé ∇⃗ et ses propriétés, la section suivante définira la dérivée temporelle ∂₀ et montrera comment ces deux opérateurs s’associent pour former les rotors dynamiques du chapitre 3.
Section 22 — Dérivée scalaire : ∂∕∂t₀
22.1 Définition de l’opérateur temporel
On introduit la dérivée scalaire
∂₀ ≡ ∂ / ∂t₀
qui agit uniquement sur la composante temporelle t₀ (grade 0) d’un multivecteur.
22.2 Action sur un scalaire
Pour toute fonction scalaire f(t₀, x, y, z),
∂₀ f = dérivée de f par rapport à t₀
mesure le taux de changement de f le long de l’axe propre du temps.
22.3 Action sur un multivecteur
Si Ψ = s + v + B + p I, alors
∂₀ Ψ = (∂₀ s) + (∂₀ v) + (∂₀ B) + (∂₀ p) I
c’est-à-dire que la dérivée conserve le grade de chaque composante.
22.4 Linéarité et Leibniz
L’opérateur ∂₀ est linéaire et vérifie la règle de Leibniz pour le produit géométrique :
∂₀ (A B) = (∂₀ A) B + A (∂₀ B)
22.5 Commutation avec le gradient spatial
Comme ∂₀ agit sur t₀ et que le gradient spatial agit sur (x, y, z),
[∂₀, ∇] = 0
c’est-à-dire que les deux dérivées commutent.
22.6 Intégration dans l’Octogradient
En combinant avec le gradient spatial, on forme
∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇
qui est l’opérateur central de l’équation d’onde multivectorielle.
22.7 Propriétés métriques
Le terme ∂₀ n’introduit aucun signe supplémentaire ; seul le gradient spatial fait intervenir des signes négatifs via ek au carré = –1.
22.8 Interprétation physique
L’opérateur ∂₀ gouverne l’évolution de phase d’une onde :
• ∂₀ s rythme la variation d’énergie
• ∂₀ v suit le déplacement de l’impulsion
• ∂₀ B mesure la précession du spin
• ∂₀ p traduit l’évolution volumique pseudoscalaire
22.9 Utilisation dans les opérateurs Op_S, Op_V, Op_B
Les composantes temporelles de ces opérateurs sont données par les dérivées (1/c) ∂₀ appliquées à chaque grade de Ψ.
22.10 Transition vers la suite
Ayant défini ∂₀ et ses propriétés, la section suivante (23) présentera l’Octogradient complet et étudiera les interférences entre ses composantes scalaire et vectorielle dans la dynamique ondulatoire.
Section 23 — Définition de l’Octogradient ∇₀
23.1 Définition opérateur
On définit l’Octogradient comme la combinaison des dérivées temporelle et spatiale :
∇₀ = (1/c) ∂₀ – ∇
où ∂₀ = dérivée par rapport à t₀ et ∇ = somme sur k de eₖ fois dérivée par rapport à xₖ.
23.2 Action multivectorielle
Pour un multivecteur Ψ = s + v + B + p I :
∇₀ Ψ = (1/c) ∂₀ s – ∇·v
+ [ (1/c) ∂₀ v – ∇ s – ∇·B ]
+ [ (1/c) ∂₀ B – ∇ ∧ v ]
+ (1/c) ∂₀ p I
Chaque terme est projeté sur le grade correspondant (scalaire, vecteur, bivecteur, pseudoscalaire).
23.3 Nilpotence partielle
Grâce à la commutation [∂₀, ∇] = 0 et à la règle eₖ au carré = –1, on a :
(∇₀)² = (1/c²) ∂₀² – ∇² = opérateur d’Alembertienne euclidienne (onde).
23.4 Linéarité et Leibniz
L’Octogradient ∇₀ est linéaire et suit la règle de Leibniz pour le produit géométrique :
∇₀ (A B) = (∇₀ A) B + (∇₀~ B) A
où ∇₀~ = (1/c) ∂₀ + ∇ (le conjugué).
23.5 Conjugué et reversion
Le conjugué (réversion) de l’Octogradient est
∇₀~ = (1/c) ∂₀ + ∇
et on a ∇₀~ ∇₀ = opérateur d’Alembertienne (onde).
23.6 Propriétés métriques
L’Alembertien (∇₀)(∇₀~) encapsule la signature euclidienne sur le temps et l’espace, remplaçant la métrique externe.
23.7 Rôle dans l’équation d’onde
La condition
∇₀ Ψ = 0
produit le système couplé d’équations Op_S = 0, Op_V = 0, Op_B = 0 (voir section 19), et implique (∇₀)² Ψ = 0.
23.8 Invariance sous rotors
Pour tout rotor R dans Cl₃⁺ (sous-algèbre paire),
∇₀′ (R Ψ R~) = R (∇₀ Ψ) R~
ce qui garantit la covariance géométrique des équations.
23.9 Interprétation physique
L’Octogradient ∇₀ unit la variation temporelle (1/c ∂₀) et la variation spatiale (–∇), unifiant la propagation ondulatoire et l’évolution de phase dans l’éther.
23.10 Transition
Cette définition permet, dans le chapitre suivant, d’étudier les conjugués, inverses et opérateurs dérivés (Op_S, Op_V, Op_B), pour développer la dynamique ondulatoire complète de la matière.
Section 24 — Action multivectorielle de ∇₀
24.1 Opérateur linéaire sur Cl₃
L’Octogradient
∇₀ = (1/c) ∂₀ – ∇
s’étend linéairement à tout multivecteur M dans Cl₃, sans changer le grade de M dans chaque dérivée partielle.
24.2 Décomposition en grades
Pour M = s + v + B + p I, on a naturellement :
∇₀ M = ∇₀ s + ∇₀ v + ∇₀ B + ∇₀ (p I)
Chaque terme reste respectivement de grade 0, 1, 2, 3.
24.3 Action sur un produit géométrique
La règle de Leibniz multivectorielle s’écrit :
∇₀ (A B) = (∇₀ A) B + (∇₀~ B) A
avec ∇₀~ = (1/c) ∂₀ + ∇.
24.4 Commutation avec la réversion
L’opérateur ∇₀ commute à la réversion :
∇₀ (Ṁ) = (∇₀ M)̃
ce qui garantit que l’invariant |M|² = M Ṁ est préservé.
24.5 Relations de commutateur
Pour tout multivecteur constant N :
[∇₀, N] = ∇₀ N – N ∇₀ = (∇₀ N)
ceci permet de calculer facilement l’action sur les commutateurs de champs.
24.6 Interaction avec la dualité
Comme l’élément I commute avec ∇₀,
∇₀ (D(M)) = D(∇₀ M)
c’est-à-dire que dualité et dérivation multivectorielle sont interchangeables.
24.7 Effet sur les rotors
Si R = exp(B θ) est un rotor,
∇₀ (R M Ṙ) = R (∇₀ M) Ṙ
car ∇₀ R = 0 pour B constant, ce qui assure la covariance.
24.8 Nilpotence et propagation
L’opérateur vérifie
∇₀² = opérateur d’onde (Alembertien),
donc ∇₀ (∇₀ M) = 0 implique □ M = 0, qui est la condition d’onde.
24.9 Interprétation physique
L’Octogradient ∇₀ encode simultanément la variation temporelle et spatiale ; son action multivectorielle répartit ces variations sur chaque canal (énergie, impulsion, spin, volume).
24.10 Transition
Avec l’action multivectorielle de ∇₀ précisée, la section suivante (25) présentera la structure complète des opérateurs conjugués (tilde, reverse, conjugaison
Section 25 — Commutateurs entre composantes différentielles
25.1 Opérateurs fondamentaux dans Cl₃
On introduit deux opérateurs dérivatifs essentiels :
• ∂₀ : dérivée temporelle scalaire, définie par ∂₀ = ∂ / ∂t₀
• ∇ : dérivée vectorielle, définie par ∇ = e₁ ∂₁ + e₂ ∂₂ + e₃ ∂₃
Ils s’appliquent indépendamment sur chaque grade d’un champ multivectoriel Ψ ∈ Cl₃.
25.2 Définition du commutateur
Le commutateur de deux opérateurs A et B est donné par :
[A, B] = A B − B A
Il mesure le défaut de symétrie des dérivées et indique une éventuelle torsion locale.
25.3 Commutateur entre ∂₀ et ∇
Les opérateurs ∂₀ (temps) et ∇ (espace) agissent sur des variables indépendantes.
Ainsi :
[∂₀, ∇] = ∂₀ ∇ − ∇ ∂₀ = 0
Il n’y a donc aucun couplage géométrique direct entre les dérivées temporelles et spatiales.
25.4 Commutateurs internes des composantes de ∇
On considère les termes élémentaires :
∇ᵢ = eᵢ ∂ᵢ ∇ⱼ = eⱼ ∂ⱼ
Alors :
[∇ᵢ, ∇ⱼ] = eᵢ eⱼ ∂ᵢ ∂ⱼ − eⱼ eᵢ ∂ⱼ ∂ᵢ
Or ∂ᵢ et ∂ⱼ commutent, tandis que eᵢ eⱼ = − eⱼ eᵢ
D’où :
[∇ᵢ, ∇ⱼ] = 0
L’algèbre vectorielle est donc sans torsion.
25.5 Commutateur de l’Octogradient avec lui-même
L’Octogradient s’écrit :
∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇
Son commutateur avec lui-même est nul :
[∇₀, ∇₀] = 0
Il n’introduit donc aucune courbure géométrique.
25.6 Commutateurs avec les opérateurs conjugués
La réversion commute avec ∂₀ et ∇, donc :
[∼∇₀, ∇₀] = 0
Ce résultat garantit que les versions conjuguées de l’équation restent dynamiquement compatibles.
25.7 Interprétation physique
La commutativité intégrale des dérivées montre que l’éther modélisé par Cl₃ est localement euclidien.
Il ne présente ni courbure, ni torsion implicite. Cela assure une base rigide pour la construction des équations différentielles multigrades.
25.8 Conséquences pour les équations d’onde
L’équation d’onde ∇₀ Ψ = 0 peut être projetée grade par grade sans ambiguïté,
chacun étant indépendant :
• Grade 0 : conservation de l’énergie
• Grade 1 : conservation de l’impulsion
• Grade 2 : conservation du moment angulaire
• Grade 3 : conservation volumique
25.9 Justification géométrique
L’indépendance des opérateurs différentiels confirme que la dynamique ondulatoire peut être construite sans recours à une connexion affine ni à une métrique externe.
L’algèbre Cl₃ contient déjà l’information structurelle suffisante.
25.10 Transition
Nous pouvons désormais introduire les opérateurs internes Op_S, Op_V et Op_B,
qui ciblent spécifiquement les effets dynamiques portés respectivement par les composantes scalaire, vectorielle et bivectorielle de Ψ.
Section 26 — Structure des opérateurs Opₛ, Opᵥ et Opᴮ
26.1 Définition des opérateurs
À partir de l’Octogradient
∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇
on définit trois projections qui extraient respectivement les composantes scalaire, vectorielle et bivectorielle de ∇₀Ψ :
• Opₛ(Ψ) = ⟨∇₀Ψ⟩₀
• Opᵥ(Ψ) = ⟨∇₀Ψ⟩₁
• Opᴮ(Ψ) = ⟨∇₀Ψ⟩₂
26.2 Expression en composantes
Soit Ψ = s + v + B + p I, alors :
• Opₛ(Ψ) = (1/c) ∂₀ s − ∇·v
• Opᵥ(Ψ) = (1/c) ∂₀ v − ∇ s − ∇·B
• Opᴮ(Ψ) = (1/c) ∂₀ B − ∇∧v
26.3 Propriétés algébriques
• Chaque Op_g est linéaire.
• Chacun est nilpotent sur sa plage de grades : Opₛ²=0, Opᵥ∘Opᵥ=0, Opᴮ∘Opᴮ=0.
• Ils anticommuntent deux à deux :
{Opₛ, Opᵥ}=0, {Opₛ, Opᴮ}=0, {Opᵥ, Opᴮ}=0.
26.4 Interprétation physique
• Opₛ décrit la conservation de l’énergie-scalaire (continuité) ;
• Opᵥ encode la dynamique de l’impulsion et du courant vectoriel ;
• Opᴮ rend compte de la variation du spin et de la génération du champ bivectoriel.
26.5 Loi d’équation d’onde multivectorielle
L’équation unique
∇₀ Ψ = 0
est équivalente au système couplé
Opₛ(Ψ)=0, Opᵥ(Ψ)=0, Opᴮ(Ψ)=0,
chacune correspondant à une loi physique distincte.
26.6 Invariance sous rotor
Pour tout rotor unitaire R (partie paire de Cl₃), on a
Op_g(R Ψ Ṙ) = R Op_g(Ψ) Ṙ,
garantissant la covariance géométrique de chaque composante.
26.7 Utilisation dans la Lagrangienne
Dans la formulation lagrangienne, on combine Ψ, Op_g(Ψ) et leur réversion pour écrire des termes scalaires d’action :
ℒ = ⟨Ṗsi B_s Opₛ(Ψ) + Ṗsi B_v Opᵥ(Ψ) + Ṗsi B_B Opᴮ(Ψ)⟩₀.
26.8 Projection et analyse par grade
La décomposition grade par grade permet d’isoler et d’étudier séparément :
– équation d’énergie,
– équation de mouvement,
– équation de spin,
tout en restant dans un seul formalisme unifié.
26.9 Transition vers les couplages
Armés de ces opérateurs, les chapitres suivants introduiront les couplages internes (spin–orbite, électromagnétique, gravitationnel) en modulant les Op_g par des champs multivectoriels dérivés de Ψ.
26.10 Résumé
Les opérateurs Opₛ, Opᵥ et Opᴮ forment la trame différentielle du modèle : ils projettent la dynamique ondulatoire sur quatre canaux géométriques (énergie, impulsion, spin, volume) et garantissent la cohérence et l’invariance de l’ensemble des lois physiques.
Section 27 — Conjugaisons multivectorielles : tilde, reverse, involution, conjugaison principale
27.1 Trois types de conjugaison
Dans l’algèbre Cl₃, on distingue trois opérations d’involution fondamentales sur un multivecteur M :
• Tilde ou réversion : notée M̃
• Involution de grade : notée M*
• Conjugaison principale : notée M̄ = (M̃)*
Ces opérations modifient les signes des différentes composantes de M selon leur grade.
27.2 Réversion (tilde)
La réversion inverse l’ordre des produits géométriques. Elle agit ainsi :
• grade 0 (scalaire) : +
• grade 1 (vecteur) : +
• grade 2 (bivecteur) : −
• grade 3 (trivecteur I) : −
On a donc, pour M = s + v + B + p I :
M̃ = s + v − B − p I
27.3 Involution de grade (étoile)
L’involution de grade change le signe des composantes impaires :
• grade 0 (scalaire) : +
• grade 1 (vecteur) : −
• grade 2 (bivecteur) : +
• grade 3 (trivecteur I) : −
Ainsi :
M* = s − v + B − p I
27.4 Conjugaison principale (barre)
La conjugaison principale est la composition des deux précédentes :
M̄ = (M̃)* = (M*)̃
Ce qui donne :
M̄ = s − v − B + p I
27.5 Règles de conjugaison du produit géométrique
Soient deux multivecteurs A et B, on a :
• (AB)̃ = B̃ Ã
• (AB)* = A* B*
• (AB)̄ = B̄ Ā
La conjugaison renverse donc l’ordre pour la réversion et la conjugaison principale.
27.6 Conservation des normes
Toutes les conjugaisons laissent inchangé le carré scalaire |M|² défini par :
|M|² = M M̃
Cette propriété garantit que les conjugaisons respectent la structure géométrique de Cl₃.
27.7 Application aux équations physiques
La réversion est essentielle pour définir les équations d’onde comme :
∇₀ Ψ + Ψ̃ = 0
La conjugaison principale permet d’écrire des équations réelles symétriques, utiles dans les principes variationnels.
27.8 Exemple pratique
Soit Ψ = s + v + B + p I, avec :
s = 1, v = e₁, B = e₁∧e₂, p = 1
Alors :
Ψ̃ = 1 + e₁ − e₁∧e₂ − I
Ψ* = 1 − e₁ + e₁∧e₂ − I
Ψ̄ = 1 − e₁ − e₁∧e₂ + I
27.9 Symétrie du Lagrangien
Un Lagrangien multivectoriel correctement formulé est toujours réversible :
L[Ψ] = L[Ψ̃]
Cette symétrie permet de dériver des équations du mouvement cohérentes par variation de Ψ̃.
27.10 Transition vers la suite
La compréhension précise des conjugaisons est nécessaire pour la formulation des dynamiques internes (spin, charge, interactions), que nous aborderons dans les sections suivantes par projection sur les grades.
Section 28— Norme et inverse d’un multivecteur
28.1 Définition de la norme géométrique
Pour tout multivecteur M ∈ Cl₃, on définit sa norme au carré par
|M|² = M Ṁ
où Ṁ est la réversion de M. Cette quantité est toujours un scalaire réel.
28.2 Expression développée
Écrivant
M = a + v + B + p I
avec a scalaire, v vecteur, B bivecteur et p I trivecteur, on obtient :
|M|² = a² − |v|² − |B|² + p²
où |v|² = v₁²+v₂²+v₃² et |B|² = b₁²+b₂²+b₃².
28.3 Exemples de normes particulières
· Scalaire a : |a|² = a²
· Vecteur v : |v|² = −(v₁²+v₂²+v₃²) (scalaire négatif)
· Bivecteur B : |B|² = −(b₁²+b₂²+b₃²)
· Trivecteur p I : |p I|² = p²
28.4 Critère d’inversibilité
Si |M|² ≠ 0, alors M est inversible et
M⁻¹ = Ṁ / |M|².
Cet inverse est unique et respecte les règles de Cl₃.
28.5 Invariance sous rotor
Pour tout rotor unitaire R (élément paire),
|R M Ṙ|² = (R M Ṙ)(Ṁ) = M Ṁ = |M|²,
la norme reste inchangée par toute rotation active ou passive.
28.6 Projection de la norme par grade
On peut isoler la contribution de chaque grade g par
|⟨M⟩g|² = ⟨M⟩g Ṡ⟨M⟩g.
Cela permet d’analyser séparément énergie (g=0), impulsion (g=1), spin (g=2) et volume (g=3).
28.7 Rôle dans la normalisation
La condition |Ψ|² = 1 sert à normaliser une onde multivectorielle Ψ, garantissant l’unité de la densité d’énergie ou de probabilité.
28.8 Usage pour les opérateurs unitaires
On construit un opérateur unitaire U à partir de M par
U = M / √|M|²,
utile pour définir rotors et transformations préservant la norme.
28.9 Importance pour les équations dynamiques
La conservation de |Ψ|² sous ∇₀Ψ = 0 exprime la stabilité énergétique et la cohérence globale du modèle multivectoriel.
28.10 Transition vers la section 31
Cette notion de norme et d’inverse étant posée, la section suivante (31) débutera le Chapitre IV en explorant les surfaces d’onde et les hyperplans de phase dans le cadre multivectoriel.
Section 29 — Transformation active vs passive
29.1 Définitions
• Transformation active : on applique un rotor R pour modifier réellement un multivecteur M, dans la base fixe.
M′ = R M R~
• Transformation passive : on fait tourner la base {e_k}, avec M inchangé formellement :
e_k′ = R e_k R~
M = ∑ M^k e_k′
29.2 Équivalence numérique
Les deux points de vue donnent les mêmes coordonnées pour M dans la nouvelle configuration :
M′ = ∑ M^k (R e_k R~) ⟺ M′ = R M R~
29.3 Exemples de rotors
• Rotation spatiale dans le plan e₁ ∧ e₂ :
R = exp[(e₁ ∧ e₂) θ⁄2]
• Boost scalaire–vectoriel (rotation euclidienne entre t et une direction v̂) :
L = cos ϕ + v̂ sin ϕ, avec v̂² = –1
29.4 Impact sur les composantes
• Active : chaque coefficient M^k change, la base reste fixe.
• Passive : les coefficients restent constants, mais la base e_k pivote.
29.5 Invariance des scalaires
Toute quantité scalaire S = [⟨M⟩₀] ou norme |M|² = M R~ reste inchangée, qu’on utilise R activement ou qu’on change la base.
29.6 Usage physique
• La transformation active sert à décrire l’évolution d’un champ réel dans l’éther.
• La transformation passive sert à changer de référentiel sans altérer la forme intrinsèque du champ.
29.7 Commutativité avec l’Octogradient
Les rotors unitaires R satisfont la relation :
∇₀ (R M R~) = R (∇₀ M) R~
Ce qui garantit la covariance des équations d’onde.
29.8 Choix de convention
Dans la suite du traité, on adopte en général la vue active (champ qui bouge), tout en pouvant passer à la vue passive (observateur mobile) si besoin.
29.9 Passage mixte
On peut combiner :
M →[actif] M′ →[passif] M′ = ∑ (M′)^k e_k′
pour décrire simultanément un champ et une base en mouvement.
29.10 Transition
Cette double interprétation étant clarifiée, la section 30 terminera le Chapitre III en traitant la reversion, l’involution de grade et la conjugaison principale, avant de passer à la Partie II.
\Section 30 — Gradient appliqué à une onde Ψ\
\30.1 Présentation de l’onde multivectorielle\
On considère une onde de matière décrite par le multivecteur Ψ(x, t₀) ∈ Cl₃, décomposée en
Ψ = s(x, t₀) + v(x, t₀) + B(x, t₀) + p(x, t₀)·I
\30.2 Application de l’Octogradient\
Le gradient complet agit ainsi sur Ψ :
∇₀ Ψ = (1/c) ∂₀ Ψ − ∇ Ψ
Chaque dérivée agit sur chaque composante **sans changer le grade**.
\30.3 Projection scalaire\
La composante scalaire de ∇₀ Ψ donne :
⟨∇₀ Ψ⟩₀ = (1/c) ∂₀ s − div v
\30.4 Projection vectorielle\
La partie vectorielle :
⟨∇₀ Ψ⟩₁ = (1/c) ∂₀ v − grad s − div B
\30.5 Projection bivectorielle\
Le terme bivectoriel :
⟨∇₀ Ψ⟩₂ = (1/c) ∂₀ B − rot v
\30.6 Projection trivectorielle\
La composante trivectorielle :
⟨∇₀ Ψ⟩₃ = (1/c) ∂₀ p·I
\30.7 Condition d’onde stationnaire\
Pour une onde stationnaire Ψ₀(r) = A(r) exp(B\_s ω₀ t₀), on impose
∇₀ Ψ₀ = 0
ce qui donne les équations de Klein–Gordon et Dirac multivectorielles.
\30.8 Interprétation physique\
* Scalaire : continuité de probabilité
* Vecteur : conservation du courant
* Bivecteur : précession du spin
* Trivecteur : variation volumique
\30.9 Conservation multicanal\
L’annulation de chaque projection assure la conservation simultanée de l’énergie, du courant, du spin et du volume.
\30.10 Transition\
La prochaine section exposera la surface d’onde et l’hyperplan de phase, bases de la topologie ondulatoire dans Cl₃.
📘 Chapitre 4 — Structures géométriques fondamentales
Section 31 — Surface d’onde et hyperplan de phase
31.1 Définition de la phase
Pour une onde multivectorielle Ψ, on écrit la partie oscillatoire sous la forme
Ψ = A exp(B_s φ)
où φ(x,t₀) ∈ ℝ est la phase scalaire et B_s² = –1 le bivecteur de rotation.
31.2 Surface d’onde
La surface d’onde Σ(φ₀) est l’ensemble des points (x,t₀) tels que
φ(x,t₀) = φ₀
(cste). Elle représente le front constant de phase dans l’éther.
31.3 Octogradient de phase
Le gradient multivectoriel de φ est
∇₀φ = (1/c) ∂₀φ − ∇φ,
combinant variation temporelle et spatiale.
31.4 Hyperplan de phase
Au point P, l’hyperplan de phase H_P est l’ensemble des petits déplacements δX = δt₀ + δr vérifiant
⟨∇₀φ, δX⟩ = 0
(c’est le plan tangent à Σ).
31.5 Vecteur normal de phase
L’Octogradient ∇₀φ est normal à Σ et à H_P. Ses composantes donnent la direction de propagation locale.
31.6 Vitesse de phase et de groupe
– vitesse de phase v_p :
v_p = − (∂₀φ)/(⟨∇φ, n⟩)
avec n = ∇φ/|∇φ|.
– vitesse de groupe v_g : obtenue par dispersion de φ.
31.7 Onde plane
Pour φ = k·r − ω t₀, on a
∇₀φ = (−ω/c) + k
et Σ sont des plans k·r − ω t₀ = cste se déplaçant orthogonalement à k.
31.8 Courbure des fronts
La variation spatiale du vecteur normal donne la courbure des surfaces :
κ = ∇·(∇φ/|∇φ|)
relie géométrie des fronts et potentiels.
31.9 Interférences et diffraction
L’intersection de plusieurs Σ(φᵢ) produit des motifs d’interférence. L’analyse locale de H_P détermine les directions diffuses et focales.
31.10 Rôle dans la propagation ondulatoire
La structure Σ et H_P sert de support géométrique à :
· la méthode des rayons géométriques,
· la formulation des conditions aux limites,
l’étude des ondes stationnaires et guidées dans l’éther multivectoriel.
Section 32 — Volume local et orientation du pseudoscalaire
32.1 Définition du pseudoscalaire I
Le trivecteur I = e1 e2 e3 est l’unique élément de grade 3 de Cl₃. Il représente le volume unitaire orienté et vérifie I² = +1.
32.2 Élément de volume différentiel
Un volume infinitésimal se note dV = dx dy dz. On peut l’écrire comme le produit du pseudoscalaire I par la mesure scalaire dV_scalaire = dx·dy·dz, autrement dit dV = I dV_scalaire.
32.3 Orientation et chiralité
Le signe de I dépend de l’ordre de la base (e1, e2, e3) :
· base directe → I positif
· base inversée → I négatif
Ce choix fixe la chiralité locale du volume.
32.4 Densité volumique locale
Dans un champ multivectoriel Ψ, sa composante grade 3 s’écrit Ψ₃ = p(x,t0) I, où p(x,t0) est la densité volumique pseudoscalaire en chaque point.
32.5 Volume total d’une région
Le volume global d’une région V se calcule par
Volume = ∫_V p(x,t0) dV_scalaire
et l’élément I assure que l’on tient compte de l’orientation.
32.6 Dualité scalaire–trivecteur
La dualité interne transforme un scalaire p en volume orienté p I, et réciproquement. Cette correspondance relie quantité volumique et densité simple.
32.7 Courant volumique et loi de continuité
On définit le courant volumique J_V = divergence de (p I). La loi de conservation du volume s’écrit :
∂₀ p + divergence(J_V) = 0,
garantissant que toute variation locale de p est compensée par un flux volumique.
32.8 Conservation intégrale
En intégrant sur V :
d/dt₀ ∫V p dV_scalaire = − ∮∂V J_V·dS,
cette formule relie la variation du volume interne au flux sortant par la frontière.
32.9 Couplage gravitationnel interne
Les fluctuations de p modifient la métrique effective via le terme I ∇p, ce qui génère un champ gravitationnel interne proportionnel à la densité volumique orientée.
32.10 Transition vers la dualité bivecteur–vecteur
La compréhension du volume local et de sa chiralité prépare la section suivante, qui portera sur la dualité entre bivecteurs et vecteurs, complétant ainsi la topologie de l’espace de Clifford.
Section 33 — Théorème de Stokes en géométrie de Clifford
33.1 Énoncé général
Pour tout champ multivectoriel Ω de grade k–1 défini sur une région V orientée, l’intégrale de sa dérivée extérieure sur V égale l’intégrale de Ω sur la frontière ∂V :
∫₍V₎ dΩ = ∮₍∂V₎ Ω
33.2 Dérivée extérieure d’une forme
La dérivée extérieure d’une forme de grade k–1 est le wedge du gradient :
dΩ = ∇ ∧ Ω
qui produit une forme de grade k.
33.3 Cas d’un vecteur
Si Ω est un vecteur v, alors ∇ ∧ v est un bivecteur et l’on retrouve :
∫₍V₎ ∇ ∧ v = ∮₍∂V₎ v
équivalent du théorème du rotationnel.
33.4 Cas d’un bivecteur
Si Ω est un bivecteur B, alors ∇ ∧ B est un trivecteur et
∫₍V₎ ∇ ∧ B = ∮₍∂V₎ B
generalise la divergence externe.
33.5 Orientation et vecteur normal
La frontière ∂V porte un vecteur normal unitaire n. L’intégrale de Ω sur ∂V s’écrit
∮₍∂V₎ Ω = ∫₍∂V₎ n ⌟ Ω dS
où n⌟Ω est la contraction de Ω avec n.
33.6 Preuve élémentaire
On découpe V en petits parallélépipèdes, on applique le théorème fondamental du calcul sur chaque direction, et on somme ; les contributions internes se compensent, ne restent que celles de la frontière.
33.7 Extension à l’Octogradient
En remplaçant ∇ par l’Octogradient ∇₀, on obtient un théorème de Stokes temporel :
∫₍V₎ ∇₀ ∧ Ψ = ∮₍∂V₎ Ψ
incluant flux temps-espace.
33.8 Application aux lois de conservation
Projeter ∇₀ ∧ Ψ = 0 sur chaque grade donne les bilans locaux :
– énergie (grade 0),
– quantité de mouvement (grade 1),
– spin (grade 2),
– volume (grade 3).
33.9 Usage pour conditions aux limites
Le théorème permet de traduire les équations différentielles locales en conditions d’égalités de flux sur ∂V, essentiel pour résoudre problèmes d’ondes et d’interaction.
33.10 Transition
Fort de ce théorème, la section 34 établira la notion de conservation géométrique dans Cl₃ et introduira explicitement les formes de courant associées à chaque grade.
Section 34 — Conservation géométrique dans Cl(0,3)
34.1 Principe général
La conservation géométrique exprime qu’un certain courant multivectoriel J(x,t₀) de grade k vérifie
∇₀ · J = 0
dans tout volume, assurant l’invariance du flux à travers sa frontière.
34.2 Courant multivectoriel
On définit J pour chaque grade g par
J_g = ⟨Ψ ṠOP_g(Ψ)⟩_g
où OP_g est l’opérateur différentiel de grade g et Ṡ la réversion de Ψ.
34.3 Loi locale de conservation
La condition ∇₀ · J_g = 0 signifie
∂₀ρ_g + divergence(j_g) = 0
avec ρ_g = composante scalaire de J_g et j_g = partie vecteur de J_g.
34.4 Formulation intégrale
Grâce au théorème de Stokes, on a
d/dt₀ ∫V ρ_g dV = − ∮∂V j_g · dS
le flux sortant j_g sur la frontière compense la variation de ρ_g.
34.5 Énergie et quantité de mouvement
· Pour g=0, ρ₀ est la densité d’énergie et j₀ le flux d’énergie.
· Pour g=1, ρ₁ est la densité de moment linéaire et j₁ le courant d’impulsion.
34.6 Spin et moment interne
· Pour g=2, ρ₂ associe la densité de spin et j₂ décrit la précession ou transport du moment angulaire.
34.7 Mémoire volumique
· Pour g=3, ρ₃ = p encode la densité volumique et j₃ représente le flux volumique interne, garantissant la conservation du volume.
34.8 Invariance sous rotations
Chaque J_g construit à partir de Ψ et OP_g est covariant : pour tout rotor R
J'_g = R J_g Ṙ
et la loi ∇₀·J'_g = 0 reste valide.
34.9 Couplages entre grades
Les corrélations entre différents J_g (par produit géométrique croisé) expliquent les effets spin–orbite ou le couplage entre flux d’énergie et gravitation interne.
34.10 Synthèse
La conservation géométrique dans Cl(0,3) unifie toutes les lois de conservation (énergie, quantité de mouvement, spin, volume) sous la même forme ∇₀·J = 0, pierre angulaire de la dynamique multivectorielle.
Section 35 — Dualité bivecteur-vecteur : rotation et axe
35.1 Définition de la dualité interne
On définit la dualité intérieure D par la multiplication à droite (ou à gauche) par le pseudoscalaire I = e1 e2 e3. Pour tout bivecteur B de la forme B = b1 e2e3 + b2 e3e1 + b3 e1e2, on pose
D(B) = B I = v
où v est un vecteur axial.
35.2 Passage bivecteur → vecteur axial
Concrètement :
· e2 e3 → I e2 e3 = e1
· e3 e1 → e2
· e1 e2 → e3
Les coefficients b1,b2,b3 deviennent les composantes du vecteur v = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3.
35.3 Passage vecteur axial → bivecteur
La dualité inverse ramène un vecteur v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 sur le bivecteur
D⁻¹(v) = v I⁻¹ = v I = B
avec B = v1 e2e3 + v2 e3e1 + v3 e1e2.
35.4 Relation au sens de rotation
Le bivecteur B définit un plan et une orientation de rotation : la dualité en fait un axe v sur lequel s’effectue la rotation. Le signe de v indique le sens (horaire/antihoraire).
35.5 Normes conservées
Comme I² = +1 et I commute avec les bivecteurs, on a
|B|² = |D(B)|² = |v|²,
la norme du plan (intensité de rotation) égale celle de l’axe.
35.6 Opérateurs de rotation
Un rotor de spin s’écrit
R = exp(B θ/2)
et, via dualité, peut être interprété comme
R = exp(v θ/2)
agissant par rotation autour de l’axe v.
35.7 Dualité et commutation
Pour tout multivecteur M,
D(∇∧M) = ∇·D(M)
convertit un rotationnel (bivecteur) en divergence d’un vecteur axial.
35.8 Projection duale
On peut extraire la partie bivecteur ou son axe par
⟨M⟩₂ et D(⟨M⟩₂)
permettant d’isoler plan de rotation et vecteur axial dans tout produit géométrique.
35.9 Usage physique
· Spin : on passe du bivecteur de spin au moment magnétique axial.
· Champ magnétique : B→H, vecteur axial orienté.
35.10 Transition
Avec la dualité plan ↔ axe établie, la section suivante décrira les rotors de rotation multivectorielle, leur composition et l’analyse des angles et plans de rotation dans Cl₃.
Section 36 — Rotations multivectorielles : rotors et boosteurs
36.1 Rotors spatiaux : rotation dans un plan bivectoriel
Un rotor R est un élément de la sous-algèbre paire Cl₃⁽ᵉᵛᵉⁿ⁾, défini par
R = exp(–B·θ/2)
où B est un bivecteur unitaire (B² = –1). Il agit sur un multivecteur M par conjugaison active :
M′ = R·M·Ṙ
et conserve la norme |M′|² = |M|².
36.2 Exemples de rotors bivectoriels
• Rotation autour de l’axe z :
– B = e₁∧e₂
– R = exp(–e₁e₂·θ/2)
• Rotation dans un plan arbitraire :
– B = v̂∧ŵ (v̂ et ŵ vecteurs unitaires)
36.3 Boosteurs vectoriels : rotation réelle entre S et V
Dans Cl(0,3), les boosts ne sont pas des rotors spinoriels. On définit un boosteur L_b par
L_b = exp(θ V) = cos θ + V sin θ
où V est un vecteur unitaire (V² = –1) et S = 1 le scalaire unité.
36.4 Action directe du boost
Le boost agit par multiplication directe :
Ψₘₒᵥ = L_b·Ψᵣₑₚ
Il mélange les composantes de grades divers sans recourir à la conjugaison.
36.5 Redistribution des grades
Soit Ψ = s + v + B + p I, alors
L_b·Ψ = cos θ·Ψ + sin θ·(V·Ψ)
avec
• V·s ∈ Cl₁
• V·v ∈ Cl₀ + Cl₂
• V·B ∈ Cl₁ + Cl₃
• V·I ∈ Cl₂
36.6 Comparaison : spin vs boost
• Rotor (spin)
– Générateur : bivecteur B
– Action : M′ = R·M·Ṙ
– Grades préservés
• Boosteur
– Générateur : vecteur V
– Action : Ψ′ = L_b·Ψ
– Grades non préservés
36.7 Propriétés du boosteur
• Unitarité : L_b·ṖL_b = 1
• Composition simple : exp(θ₁ V)·exp(θ₂ V) = exp((θ₁+θ₂) V)
• Directions différentes : composition non triviale si V₁ ≠ V₂
36.8 Interprétation physique
Le boosteur vectoriel encode :
• dilatation du temps propre
• contraction des longueurs
• génération de composantes bivectorielles et trivectorielles
36.9 Conséquences pour la dynamique
Le boosteur permet de passer de l’onde au repos à l’onde en mouvement :
Ψₘₒᵥ = exp(θ V)·Ψᵣₑₚ
tout en préservant la compatibilité avec l’Octogradient et la métrique euclidienne.
Section 37 — Nature des boost euclidiens
37.1 Définition d’un boost euclidien
Un boost euclidien est une transformation linéaire de l’éther qui mélange la composante scalaire t et une direction spatiale donnée sans recourir à un plan bivectoriel.
37.2 Générateur vectoriel unique
Le boost est engendré par un vecteur unitaire V (V² = –1) seul, et non par un bivecteur :
L_b = exp(θ V) = cos θ + V sin θ
37.3 Absence de composante bivectorielle
Contrairement aux rotors, le boost n’inclut aucun terme de grade 2 : il agit par multiplication directe sur Ψ et conserve la forme du générateur.
37.4 Paramétrisation par angle réel
Le paramètre θ est un angle réel de rotation entre le scalaire et V, compris entre 0 et π. Il n’y a ni rapidité, ni substitution hyperbolique.
37.5 Composition de boosteurs
La composition de deux boosts L_b(θ₁,V) et L_b(θ₂,V) sur le même V donne un boost de paramètre θ₁+θ₂. Si les vecteurs diffèrent, la composition n’est pas un simple boost.
37.6 Effet sur un paravecteur
Pour X = t + r :
t′ = cos θ·t + sin θ·(V·r)
r′ = r + (cos θ–1)(V·r)V + sin θ·t V
sans créer de composante bivectorielle dans l’image.
37.7 Invariants préservés
Le boost euclidien préserve l’invariant t² + r², car L_b·ṖL_b = 1 et |X′|² = |X|².
37.8 Relation avec la métrique
La métrique effective demeure euclidienne : aucun changement de signature, le boost ne fait que réorienter la coordonnée scalaire dans l’espace interne de Cl(0,3).
37.9 Usage physique
Ces boosts décrivent la dilatation du temps propre et la contraction dans la direction V pour une onde de matière, sans introduire d’unités imaginaires ou de plans mixtes.
37.10 Conclusion succincte
Les boosts euclidiens sont des rotations vectorielles réelles, non bivectorielles, qui complètent les rotors spatiaux pour offrir un formalisme unifié de la cinématique dans Cl(0,3).
Section 38 — Transport actif et covariance du champ multivectoriel
38.1 Définition du transport actif
Le transport actif applique directement un opérateur (rotor ou boosteur) sur le champ multivectoriel Ψ, sans modifier les vecteurs de base. Il modélise une transformation physique réelle du champ dans l’éther.
38.2 Formule générale
• Pour un rotor spatial R (spin ou rotation) :
Ψ′(x) = R · Ψ(x)
• Pour un boosteur vectoriel L_b (changement d’état inertiel) :
Ψ′(x) = L_b · Ψ(x)
38.3 Transformation covariante du champ
Pour qu’un observateur transformé lise le champ dans son repère, on combine transport actif et changement de variables passif :
Ψ′(x′) = R · Ψ(R⁺ x′ R)
· Le champ est modifié activement par R · Ψ
· Les coordonnées x′ sont celles du nouvel observateur
· On reparamètre l’argument : x = R⁺ x′ R
38.4 Distinction actif / passif
• Transformation active : Ψ change réellement, la base reste fixe.
• Changement de variables (passif) : on relit x′ dans la base initiale, sans toucher à Ψ.
38.5 Covariance des opérateurs
L’Octogradient ∇_O reste covariant sous transport actif :
∇_O′(x′) Ψ′(x′) = R [∇_O(x) Ψ(x)]
38.6 Application à la dynamique ondulatoire
Pour décrire l’évolution d’une onde de matière :
1. On transforme activement Ψ par un rotor ou un boosteur
2. On reparamètre passivement les coordonnées si nécessaire
3. On applique ∇_O′ à Ψ′ dans le nouveau repère
38.7 Récapitulatif
Type Transformation Coordonnées Base
Active Ψ → R Ψ ou L_b Ψ inchangées inchangée
Passive x → R⁺ x′ R changées inchangée
Covariante Ψ′(x′) = R Ψ(R⁺ x′ R) x′ inchangée
Cette section établit le cadre du transport actif par simple multiplication sur Ψ, garantissant la cohérence géométrique et la covariance des équations multivectorielles.
39 — Transformation active vs passive
39.1 Définition
Une transformation est dite active lorsqu’elle modifie réellement un objet géométrique (comme une onde Ψ ou un vecteur), sans changer le système de coordonnées.
Elle est dite passive lorsqu’on change seulement de repère (les coordonnées), sans modifier l’objet lui-même.
39.2 Transformation active
Une transformation active applique un opérateur (rotor ou boosteur) directement à l’onde Ψ, ce qui modifie réellement ses composantes.
· Exemple : appliquer un boosteur L_b à Ψ modifie son contenu multivectoriel réel.
· Elle correspond à un changement physique réel dans l’éther.
· Les coordonnées restent inchangées.
39.3 Transformation passive
Une transformation passive change le repère dans lequel on exprime les coordonnées, sans toucher à l’onde Ψ elle-même.
· Exemple : exprimer Ψ dans un repère tourné ou boosté.
· L’objet géométrique ne change pas, seules les composantes sont relues différemment.
· Il s’agit d’une relecture du même objet dans une base différente.
39.4 Forme covariante
Dans le formalisme multivectoriel, on combine souvent :
· Une transformation active sur Ψ (changement réel dans l’éther),
· Et une transformation passive des coordonnées (changement de repère),
pour obtenir une écriture covariante des lois physiques.
39.5 Application au modèle
Dans le cadre de Cl(0,3) :
· Le boost L_b est toujours une transformation active réelle, qui transforme directement l’onde Ψ.
· Le rotor est aussi actif dans le cas du spin.
· Les transformations passives sont utilisées uniquement pour relire l’onde dans un nouveau repère d’observation.
39.6 Conclusion
La distinction entre transformation active et transformation passive est essentielle pour comprendre la dynamique géométrique réelle dans l’éther.
Les transformations actives modifient réellement le champ, tandis que les transformations passives ne font que changer la lecture des composantes.
Seules les transformations actives traduisent des phénomènes physiques concrets (rotation, boost, changement d’état inertiel).
Section 40 — Gradient appliqué à une onde Ψ
40.1 Définition du gradient spatial
Le gradient spatial est l’opérateur
∇⃗ = e₁∂₁ + e₂∂₂ + e₃∂₃
Il agit sur chaque composante scalaire ou multivectorielle de Ψ sans changer son grade.
40.2 Dérivée temporelle
La dérivée temporelle est
∂₀ = ∂/∂t₀
Elle s’applique à la composante scalaire du temps propre de Ψ.
40.3 Octogradient complet
En combinant les deux, on définit l’Octogradient :
∇₀ = (1/c) ∂₀ − ∇⃗
C’est l’opérateur principal des équations d’onde.
40.4 Application à Ψ
Pour Ψ = s + v + B + p I, on trouve :
∇₀ Ψ
= (1/c) ∂₀ s − ∇⃗·v
+ [(1/c) ∂₀ v − ∇⃗ s − ∇⃗·B]
+ [(1/c) ∂₀ B − ∇⃗∧v]
+ [(1/c) ∂₀ p] I
40.5 Projections par grade
• Grade 0 (scalaire) :
⟨∇₀ Ψ⟩₀ = (1/c) ∂₀ s − ∇⃗·v
• Grade 1 (vecteur) :
⟨∇₀ Ψ⟩₁ = (1/c) ∂₀ v − ∇⃗ s − ∇⃗·B
• Grade 2 (bivecteur) :
⟨∇₀ Ψ⟩₂ = (1/c) ∂₀ B − ∇⃗∧v
• Grade 3 (trivecteur) :
⟨∇₀ Ψ⟩₃ = (1/c) ∂₀ p I
40.6 Condition d’onde multivectorielle
L’équation ∇₀ Ψ = 0 se décompose en l’annulation simultanée de ces quatre projections.
40.7 Nilpotence et propagation
Grâce à ∇₀² = □, on obtient automatiquement
□ Ψ = 0
qui décrit la propagation ondulatoire libre.
40.8 Interprétation physique
• Grade 0 : conservation d’énergie
• Grade 1 : évolution de l’impulsion
• Grade 2 : dynamique du spin
• Grade 3 : conservation volumique
40.9 Covariance géométrique
L’action de ∇₀ sur Ψ est covariante sous rotors et boosteurs, préservant la structure multivectorielle.
40.10 Vers les interactions
Cette décomposition du gradient appliqué à Ψ sert de base pour projeter les termes d’interaction (électromagnétiques, gravitationnels, spin–orbite) sur chaque grade.
Rang
Spationaute interplanétaire
Inscription
lundi 4 avril 2022 à 00:47
Chapitre 4 — Structures géométriques fondamentales
Section 41 — Surface d’onde et hyperplan de phase
41.1 Définition de la phase
On représente une onde plane multivectorielle Ψ par
Ψ = A exp(Bₛ φ)
où φ(x,t₀) est la phase scalaire et Bₛ² = –1 le bivecteur de rotation associé.
41.2 Forme canonique de la phase
Dans Cl(0,3) avec temps scalaire, la phase d’une onde plane s’écrit :
φ(x,t₀) = k·r + ω t₀
(correction par rapport à la convention Minkowskienne “k·r−ωt”). Le signe “+” garantit que, quand t₀ croît, le front progresse dans la direction de k.
41.3 Surface d’onde
La surface d’onde Σ(φ₀) est l’ensemble des points (x,t₀) tels que
k·r + ω t₀ = φ₀
c’est-à-dire le front de phase constant qui avance pour t₀ croissant.
41.4 Octogradient de phase
Le gradient de la phase est
∇₀ φ = (1/c) ∂₀ φ − ∇⃗ φ
avec ∂₀ = ∂/∂t₀ et ∇⃗ = Σ eₖ∂ₖ.
41.5 Hyperplan de phase
Au point P, l’hyperplan de phase H_P est défini par
⟨∇₀ φ, δX⟩ = 0
pour tout déplacement infinitésimal δX = δt₀ + δr tangent à Σ.
41.6 Vecteur normal de phase
∇₀ φ est normal à Σ et à H_P. Il donne la direction locale de propagation et rythme du front.
41.7 Vitesse de phase
Si n = ∇⃗ φ / |∇⃗ φ|, la vitesse de phase v_p est
v_p = (1/|∇⃗ φ|) ∂₀ φ
assurant v_p>0 quand t₀ croît et k·n>0.
41.8 Onde plane explicite
Pour φ = k·r + ω t₀, on a
∇₀ φ = (ω/c) + k
et Σ sont les plans k·r + ω t₀ = const se déplaçant selon +k.
41.9 Courbure des fronts
La courbure locale κ des fronts s’exprime par
κ = ∇⃗·(∇⃗ φ / |∇⃗ φ|)
41.10 Interférences et diffraction
L’intersection de plusieurs Σ(φᵢ) génère des motifs d’interférence. L’analyse locale de H_P détermine les directions de diffraction et de focalisation.
Section 42 — Volume local et orientation du pseudoscalaire
42.1 Définition du pseudoscalaire I
Le trivecteur I = e₁·e₂·e₃ est l’unique élément de grade 3 de Cl(0,3). Il représente le volume élémentaire orienté et vérifie I² = +1.
42.2 Élément de volume différentiel
Un volume infinitésimal se note dV_scalaire = dx·dy·dz. On associe à ce scalaire le pseudoscalaire dV = I·dV_scalaire, codant l’orientation.
42.3 Chiralité spatiale
Le signe de I dépend de l’ordre de la base (e₁,e₂,e₃) :
• base directe → I positif
• base inversée → I négatif
Cette convention fixe la chiralité locale du volume.
42.4 Densité volumique locale
Dans un champ multivectoriel Ψ, la composante grade 3 s’écrit Ψ₃ = p(x,t₀)·I, où p(x,t₀) ∈ ℝ est la densité volumique pseudoscalaire en chaque point.
42.5 Volume total d’une région
Le volume global d’une zone V se calcule par
Volume = ∫_V p(x,t₀)·dV_scalaire
et le facteur I encode la direction orientée du volume.
42.6 Dualité scalaire ↔ trivecteur
La dualité D relie un scalaire p au volume orienté p·I, et inversement :
D(p) = p·I
D(p·I) = p
42.7 Courant volumique et loi de continuité
On définit le courant volumique J_V = divergence(p·I). La loi de conservation s’écrit :
∂₀ p + divergence(J_V) = 0
assurant que toute variation locale de p est compensée par un flux volumique.
42.8 Formulation intégrale
En intégrant sur V :
d/dt₀ ∫V p dV_scalaire = – ∮∂V J_V·dS
la perte/gain volumique interne est égale au flux sortant par la frontière.
42.9 Couplage gravitationnel
Les variations de la densité pseudoscalaire p modulent la métrique effective via le terme I·∇p, générant un champ gravitationnel interne proportionnel à p·I.
42.10 Projection et mesures physiques
La projection grade 3 ⟨Ψ⟩₃ = p·I permet d’extraire et de mesurer localement :
• la densité volumique p,
• le flux volumique J_V,
pour étudier la dynamique gravitationnelle et la mémoire volumique de l’éther.
Section 43 — Théorème de Stokes en géométrie de Clifford
43.1 Énoncé général
Pour toute forme multivectorielle Ω de grade k–1 définie sur une région V orientée, on a
∫₍V₎ (∇ ∧ Ω) = ∮₍∂V₎ Ω
43.2 Dérivée extérieure (wedge)
La dérivée extérieure d’une forme Ω se définit par
∇ ∧ Ω = ∑_{i<j} e_i ∧ e_j (∂_i Ω_j – ∂_j Ω_i)
transformant une forme de grade k–1 en grade k.
43.3 Cas d’un vecteur
• Si Ω = v est un vecteur (grade 1), alors ∇ ∧ v est un bivecteur (grade 2) et
∫₍V₎ ∇ ∧ v = ∮₍∂V₎ v
restitue le théorème du rotationnel.
43.4 Cas d’un bivecteur
• Si Ω = B est un bivecteur (grade 2), alors ∇ ∧ B est un trivecteur (grade 3) et
∫₍V₎ ∇ ∧ B = ∮₍∂V₎ B
généralise la divergence externe.
43.5 Orientation et normalisation
• La frontière ∂V porte un vecteur normal n.
• L’intégrale de surface s’écrit
∮₍∂V₎ Ω = ∫₍∂V₎ n ⌟ Ω dS
où n ⌟ Ω est la contraction de Ω avec n.
43.6 Preuve élémentaire
• On décompose V en petits parallélépipèdes.
• On applique le théorème fondamental de l’analyse sur chaque face.
• Les contributions internes s’annulent, seules celles de ∂V subsistent.
43.7 Extension à l’Octogradient
• En remplaçant ∇ par l’Octogradient ∇₀, on obtient un théorème de Stokes temps-espace :
∫₍V₎ (∇₀ ∧ Ψ) = ∮₍∂V₎ Ψ
43.8 Application aux lois de conservation
• Projeter ∇₀ ∧ Ψ = 0 sur chaque grade fournit les bilans :
– énergie (grade 0)
– quantité de mouvement (grade 1)
– spin (grade 2)
– volume (grade 3)
43.9 Usage pour conditions aux limites
• Le théorème permet de changer un problème différentiel local en conditions de flux sur ∂V.
• Il sert à formuler bilans globaux dans l’éther multivectoriel.
43.10 Synthèse
Le théorème de Stokes en géométrie de Clifford unifie divergence, rotationnel et leurs généralisations multigrades via l’opérateur ∇ ∧, offrant un outil puissant pour intégrer et analyser tout champ multivectoriel.
Section 44 — Conservation géométrique dans Cl(0,3)
44.1 Principe de conservation multivectorielle
Un courant multivectoriel J(x,t₀) de grade k satisfait la loi locale
∇₀·J = 0
où ∇₀ est l’Octogradient. Cette équation exprime l’invariance du flux de J à travers toute frontière.
44.2 Définition des courants par grade
Pour chaque composante Ψ_g = ⟨Ψ⟩_g de grade g, on construit le courant
J_g = Ψ_g · ˜Ψ_g
de même grade, tel que ∇₀·J_g = 0.
44.3 Projection scalaire : conservation d’énergie
• J₀ = ⟨Ψ⟩₀ ˜⟨Ψ⟩₀
• Loi locale : ∂₀(|s|²) + ∇⃗·(s v) = 0
44.4 Projection vectorielle : conservation de l’impulsion
• J₁ = ⟨Ψ⟩₁ ˜⟨Ψ⟩₁
• Loi locale : ∂₀(v·v) + ∇⃗·(v B) = 0
44.5 Projection bivectorielle : conservation du spin
• J₂ = ⟨Ψ⟩₂ ˜⟨Ψ⟩₂
• Loi locale : ∂₀(|B|²) + ∇⃗·(B p) = 0
44.6 Projection trivectorielle : conservation volumique
• J₃ = p I · (p I)
• Loi locale : ∂₀(p²) + ∇⃗·(I v) = 0
44.7 Formulation intégrale
Pour toute région V et sa frontière ∂V :
d/dt₀ ∫V ρ_g dV = – ∮∂V j_g·dS
avec ρ_g densité scalaire et j_g flux vectoriel de J_g.
44.8 Invariance sous transformation
Chaque J_g est covariant sous rotors et boosteurs :
J′_g = R·J_g·Ṙ
et ∇₀·J′_g = 0 reste valable.
44.9 Couplages intergrades
Les produits géométriques croisés J_g ∧ J_h rendent compte des interactions spin–orbite et des échanges entre canaux d’énergie et de mouvement.
44.10 Rôle dans la dynamique multivectorielle
La loi ∇₀·J_g = 0 pour g = 0…3 rassemble les lois de conservation d’énergie, d’impulsion, de spin et de volume en un formalisme unique, garantissant la cohérence de toutes les interactions internes.
Section 45 — Dualité bivecteur-vecteur : rotation et axe
45.1 Définition de la dualité interne
La dualité D associe à tout bivecteur B de grade 2 un vecteur axial v de grade 1 par multiplication à droite (ou à gauche) avec le pseudoscalaire I = e₁·e₂·e₃ :
D(B) = B·I = v
et inversement
D(v) = v·I = B.
45.2 Passage bivecteur → vecteur axial
Pour B = b₁ e₂e₃ + b₂ e₃e₁ + b₃ e₁e₂, on obtient
v = D(B) = b₁ e₁ + b₂ e₂ + b₃ e₃.
45.3 Passage vecteur axial → bivecteur
Pour v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃, on retrouve
B = D(v) = v₁ e₂e₃ + v₂ e₃e₁ + v₃ e₁e₂.
45.4 Sens de rotation et orientation
Le bivecteur B définit un plan et son orientation de rotation, tandis que v pointant selon l’axe transforme ce plan en un vecteur axial dont le sens (horaire/antihoraire) est fixé par la convention de la base.
45.5 Conservation des normes
I² = +1 et I commute avec tout bivecteur, donc
|B|² = |D(B)|² = |v|²
la magnitude du plan (intensité de rotation) égale celle de l’axe.
45.6 Opérateurs de rotation
• Rotor en plan B : R = exp(–B·θ/2)
• Rotor sur axe v : via dualité on peut écrire
R = exp(–v·θ/2)
les deux formules étant équivalentes grâce à D.
45.7 Dualité et dérivation
Pour tout champ multivectoriel M, on a
D(∇ ∧ M) = ∇·D(M)
transformant un rotationnel (bivecteur) en divergence d’un vecteur axial.
45.8 Projection duale
On extrait rapidement le vecteur axial associé à ⟨M⟩₂ par
v = D(⟨M⟩₂)
et inversement le plan de rotation par D⁻¹.
45.9 Usage physique
• Spin : B_s → moment magnétique axial v_m = D(B_s)
• Champ magnétique : B → champ axial H = D(B)
45.10 Importance pour la dynamique multivectorielle
La dualité bivecteur-vecteur permet de passer sans rupture du plan de rotation à l’axe effectif, essentielle pour interpréter géométriquement le spin, le moment magnétique et les champs magnétiques dans Cl(0,3).
Section 47 — Nature des boost euclidiens (non bivectoriels)
47.1 Générateur purement vectoriel
• Un boost euclidien est engendré par un vecteur unitaire V (V·V = −1).
• Aucun bivecteur n’intervient : la transformation se fait dans le plan « scalaire + vecteur ».
• Le boosteur s’écrit sous forme exponentielle : L_b = exp(θ V) = cos θ + V sin θ.
47.2 Application directe au champ multivectoriel
• Le boost agit par simple multiplication : Ψ′ = L_b Ψ.
• L’effet est un mélange de grades :
– le scalaire s acquiert une composante vectorielle V·s ;
– le vecteur v se décompose en partie scalaire et bivectorielle ;
– le bivecteur B engendre des composantes vectorielle et trivectorielle ;
– la composante trivectorielle p I rejaillit en partie bivectorielle.
• Cette absence de conjugaison distingue radicalement le boost d’un rotor.
47.3 Cinématique interne versus rotation globale
• Rotor (sandwich R Ψ Ṙ) : isométrie externe, ne mélange pas les grades.
• Boosteur (L_b Ψ) : dynamique interne, mélange les grades, modifie le contenu énergétique et directionnel de l’onde.
47.4 Préservation de la norme euclidienne
• L_b ṖL_b = 1 assure |Ψ′|² = |Ψ|².
• L’invariant t₀² + r² reste inchangé ; la signature demeure euclidienne.
47.5 Effet explicite sur un paravecteur X = t + r
• t′ = cos θ t + sin θ (V·r)
• r′ = r + (cos θ − 1)(V·r)V + sin θ t V
• Aucun terme bivectoriel n’apparaît dans X′ : le boost reste « non bivectoriel ».
47.6 Composition des boosts
• Directions colinéaires : exp(θ₁ V) exp(θ₂ V) = exp((θ₁+θ₂) V).
• Directions différentes : la composition produit un opérateur mixte (boost + rotation), mais jamais un bivecteur hyperbolique.
47.7 Interprétation physique
• Le boosteu r représente le passage d’un état « au repos » à un état « en mouvement » dans l’éther sans changer la métrique.
• Il encode la dilatation du temps propre, la contraction effective des longueurs et l’apparition de composantes internes (spin, volume) liées au mouvement.
47.8 Récapitulatif des propriétés
• Générateur : vecteur unitaire V.
• Forme : L_b = cos θ + V sin θ.
• Application : multiplication directe L_b Ψ.
• Grades : mélange systématique.
• Invariant : norme euclidienne préservée.
Cette description fixe la nature exacte des boosts euclidiens dans Cl(0,3) et souligne leur différence structurelle avec les rotations spatiales bivectorielles.
Section 48 — Notion de transport actif : L_b · Ψ
48.1 Définition
Le transport actif par boosteur consiste à multiplier directement l’onde multivectorielle par un boosteur vectoriel sans toucher ni aux coordonnées ni à la base :
Ψ′ = L_b · Ψ
où L_b = exp(θ V) = cos θ + V sin θ et V est un vecteur unitaire (V² = –1).
48.2 Action sur les composantes de Ψ
Soit Ψ = s + v + B + p I. La multiplication directe donne
Ψ′ = cos θ · Ψ + sin θ · (V · Ψ)
· V · s → vecteur (grade 1)
· V · v → scalaire + bivecteur (grades 0 + 2)
· V · B → vecteur + trivecteur (grades 1 + 3)
· V · I → bivecteur (grade 2)
Le boosteur mélange donc systématiquement les grades.
48.3 Invariance de la norme
L_b est unitaire : L_b ṖL_b = 1. D’où
|Ψ′|² = |Ψ|²
Le transport actif par boosteur préserve la norme euclidienne t₀² + r².
48.4 Différence avec un rotor (sandwich)
· Rotor spatial R : Ψ′ = R Ψ Ṙ → grades conservés.
· Boosteur L_b : Ψ′ = L_b Ψ → grades mélangés.
48.5 Lecture coordonnée inchangée
Le boosteur agit localement ; on évalue toujours Ψ et Ψ′ au même point (x, t₀) sans reparamétrage de coordonnées.
48.6 Exemple numérique (boost le long de e₃)
· V = e₃, θ petit
· L_b ≈ 1 + θ e₃
· Pour un paravecteur X = t + z e₃ :
Ψ′ = (1 + θ e₃)(t + z e₃)
= t + z e₃ + θ (t e₃ + z)
→ apparition instantanée d’une composante scalaire z θ et d’un vecteur t θ e₃.
48.7 Sens physique
Le transport actif L_b · Ψ décrit
· la dilatation du temps propre,
· la contraction effective des longueurs dans la direction V,
· la mise en rotation interne de l’onde (mixage bivectoriel et volumique).
Ainsi, le boosteur exprime le passage d’un état « au repos » à un état « en mouvement » directement au niveau du champ multivectoriel.
Section 49 — Propriétés des transformations de rotation
49.1 Groupe des rotors (Spin(3))
• Les rotors forment le groupe Spin(3) ≅ SU(2).
• Chaque rotation de SO(3) possède deux représentants : R et –R.
49.2 Unitarité et inverse immédiat
• Tout rotor R vérifie R Ṙ = 1.
• L’inverse est simplement Ṙ = exp(+ B θ ⁄ 2).
49.3 Générateur bivectoriel
• R = exp(– B θ ⁄ 2) avec B² = –1 et θ réel.
• Les bivecteurs satisfont [B_i, B_j] = ε_ijk B_k (algèbre so(3)).
49.4 Double recouvrement et périodicité
• R(θ + 2π) = – R(θ).
• La rotation géométrique se répète toutes les 2π, alors que le rotor revient à son signe initial seulement après 4π.
49.5 Composition de rotors colinéaires
• Plans identiques : R(θ₁) R(θ₂) = R(θ₁ + θ₂).
• Plans distincts : le produit donne un nouveau rotor dont axe et angle résultent de la formule de Rodrigues multivectorielle.
49.6 Action sandwich et conservation de grade
• Pour tout multivecteur M : M′ = R M Ṙ.
• Le grade de M est conservé ; seule son orientation intérieure change.
49.7 Invariance des normes et des produits géométriques
• |M′|² = |M|².
• R préserve les produits intérieurs et extérieurs : ⟨R A Ṙ · R B Ṙ⟩ = ⟨A·B⟩.
49.8 Infinitésimal de rotation
• Pour δθ ≪ 1 : R ≈ 1 – B δθ ⁄ 2.
• Variation d’un champ : δΨ = – ½ (B δθ) Ψ + Ψ (½ δθ 
.
49.9 Orientation et chiralité
• Le signe de B fixe le sens horaire / antihoraire.
• La chiralité est cohérente avec le pseudoscalaire I = e₁e₂e₃.
49.10 Compatibilité avec l’Octogradient
• ∇_O(R Ψ Ṙ) = R (∇_O Ψ) Ṙ, gage de covariance différentielle.
Section 50 — Interprétation dynamique des angles et plans
50.1 Angle géométrique interne
L’angle θ apparaissant dans le spinor S = exp(−B θ⁄2) n’est pas un simple paramètre statique : il mesure la rotation interne de l’onde dans le plan bivectoriel B. Plus θ croît, plus la fréquence interne de l’état d’onde augmente.
50.2 Fréquence et énergie de rotation
Dans une onde stationnaire, la fréquence propre ω₀ est proportionnelle à θ̇ (dθ⁄dt₀). Une rotation rapide (grand θ̇) se traduit par une énergie interne plus haute : E ≈ ℏ₀ θ̇.
50.3 Plans bivectoriels comme axes de spin
Un bivecteur unitaire B définit un plan orienté ; la dualité D(B) = B I donne l’axe de spin v = D(B). Le plan B fixe donc la direction du moment angulaire interne.
50.4 Orientation et chiralité dynamique
Le signe de θ (horaire ou antihoraire) fixe la chiralité du spin ; inverser θ revient à inverser la contribution bivectorielle de Ψ, changeant le signe de la composante magnétique associée.
50.5 Superposition de plans
Une onde possédant deux bivecteurs B₁ et B₂ superposés se décrit par un spinor unique S = exp(−(B₁+ B₂) θ⁄2). La composition de plans donne un plan résultant B_r déterminé par la somme vectorielle des axes dualisés.
50.6 Couplage avec le boost
Lorsque l’on applique un boosteur L_b = exp(θ_b V) sur Ψ, le vecteur V se mélange avec B : le plan de rotation effectif devient B′ = B + θ_b (V ∧ S). Ainsi le mouvement inertiel modifie le plan de spin.
50.7 Angles invariants et observables
Les quantités invariantes sont :
• l’angle total de rotation 2θ modulo 4π (périodicité spinorielle),
• la norme |B| = 1,
• le produit scalaire B₁·B₂ (cosinus de l’angle entre plans), mesurable par interférence d’états.
50.8 Plan dynamique et précession
Sous un champ extérieur (ex. bivectoriel magnétique), le plan B précesse : dB⁄dt₀ = Ω × B, avec Ω le vecteur dual du champ appliqué. Cette équation est l’analogue multivectoriel de la précession de Larmor.
50.9 Relation avec la métrique effective
Le plan bivectoriel intervient dans la métrique locale via le terme bivectoriel g₂ = cos 2α(r) B. Une variation de θ modifie α(r), entraînant une contraction/dilatation spatiale anisotrope.
50.10 Visualisation synthétique
• Angle θ : rythme interne (énergie)
• Plan B : direction de spin (axe v)
• Variation de θ → accélération interne
• Variation de B → précession / torque
Cette lecture dynamique relie directement la géométrie des angles et des plans aux grandeurs physiques mesurables (énergie, moment angulaire, métrique locale).
Chapitre 5 — Comparaison avec d'autres cadres 51. Algèbre quaternionique vs Clifford
Section 51 — Algèbre quaternionique vs Clifford
51.1 Origine et structure des quaternions
L’algèbre des quaternions ℍ, introduite par Hamilton, est engendrée par les éléments {1, i, j, k} avec les règles :
• i² = j² = k² = ijk = –1
• ij = k, jk = i, ki = j (et relations antisymétriques)
Elle forme une algèbre non commutative de dimension 4, mais elle ne distingue pas les grades (vecteurs, bivecteurs, etc.).
51.2 Structure de Clifford Cl(0,3)
Cl(0,3) est une algèbre géométrique de dimension 8, engendrée par {1, e₁, e₂, e₃, e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁, I}, avec I = e₁e₂e₃.
Elle possède une hiérarchie de grades :
• scalaires (grade 0)
• vecteurs (grade 1)
• bivecteurs (grade 2)
• trivecteur (grade 3)
51.3 Absence de séparation des grades dans ℍ
Un quaternion q = a + bi + cj + dk ne permet pas de distinguer les composantes vectorielles de bivectorielles, ni d’associer une orientation géométrique claire à ses éléments.
51.4 Interprétation géométrique perdue dans ℍ
Les produits comme ij = k ne peuvent pas être reliés directement à un produit extérieur ou à une orientation spatiale.
Dans Cl(0,3), les bivecteurs e_i ∧ e_j possèdent une interprétation géométrique réelle : ils représentent des plans orientés.
51.5 Dualité et orientation
Cl(0,3) possède un pseudoscalaire I, permettant de définir une dualité cohérente :
• vecteur v → bivecteur dual B = v ∧ I
• bivecteur B → vecteur dual v = B I⁻¹
ℍ n’a pas de pseudoscalaire ni de dualité naturelle.
51.6 Produits géométriques et contraction
Clifford généralise le produit vectoriel via le produit géométrique :
• a · b = ⟨ab⟩₀ (scalaire)
• a ∧ b = ⟨ab⟩₂ (bivecteur)
• ab = a · b + a ∧ b
Aucun produit analogue n’est défini dans ℍ.
51.7 Représentation des rotations
Les quaternions peuvent coder des rotations spatiales par la forme :
q v q⁻¹
mais cette opération ne distingue pas les transformations internes (spineurs) des rotations pures.
Cl(0,3) permet de modéliser séparément :
• rotations (sandwich)
• spin (application directe)
• boost (exponentielle vectorielle)
51.8 Extension aux interactions physiques
ℍ ne permet pas d’exprimer des interactions différentielles ou des dynamiques internes.
Cl(0,3) s’étend naturellement aux équations d’onde, aux opérateurs différentiels (Octogradient), aux champs physiques (gravitation, électromagnétisme) et aux métriques émergentes.
51.9 Conclusion : surclassement géométrique
L’algèbre de Clifford surclasse l’algèbre quaternionique en :
• richesse structurelle (8 éléments vs 4)
• séparation des grades
• interprétation géométrique
• capacité à exprimer la physique réelle (ondes, champs, métriques)
51.10 Limite historique
Hamilton avait perçu l’idée d’un temps scalaire, mais son formalisme ne permettait pas de l’intégrer rigoureusement. Clifford en introduisant les grades distincts a permis de dépasser la confusion des quaternions.
→ La transition de ℍ vers Cl(0,3) est une nécessité pour toute formulation géométrique complète de la physique.
Section 52 — Structure tensorielle vs multivectorielle
52.1 Définitions générales
• Un tenseur est un objet défini par ses composantes dans un espace de coordonnées, souvent exprimé comme Tᵢⱼ, Tᵢⱼₖ… Il dépend d’un repère choisi.
• Un multivecteur est un élément de l’algèbre de Clifford, combinaison linéaire d’éléments de grade 0 à 3 (dans Cl(0,3)) :
M = a + v + B + pI
52.2 Nature des objets
• Un tenseur est une fonction multilineaire sur des espaces vectoriels.
• Un multivecteur est une entité géométrique intrinsèque, indépendante d’un système de coordonnées.
52.3 Construction
• Les tenseurs sont construits comme des produits tensoriels d’espaces vectoriels :
T ∈ V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V
• Les multivecteurs sont engendrés par le produit géométrique :
ab = a·b + a∧b
52.4 Interprétation géométrique
• Chaque terme d’un multivecteur a une signification :
– scalaire : point invariant
– vecteur : direction
– bivecteur : plan orienté
– trivecteur : volume orienté
• Les tenseurs ne distinguent pas naturellement ces entités, sauf dans des bases spécifiques.
52.5 Addition et multiplication
• Les tenseurs peuvent être additionnés (s’ils ont les mêmes indices) mais leur produit ne possède pas de structure universelle simple.
• Les multivecteurs forment une algèbre fermée sous multiplication : le produit géométrique est bilinéaire, associatif, et exprime à la fois la contraction et l’expansion spatiale.
52.6 Changement de base
• Les tenseurs se transforment par des matrices de changement de base (loi de transformation contravariante et covariante).
• Les multivecteurs, eux, sont invariants géométriquement ; ce sont les vecteurs de base (eᵢ) qui changent de direction, mais M reste le même.
52.7 Manipulation et calcul
• Les tenseurs nécessitent le suivi des indices : Tᵢⱼ, Tᵐₙᵖ…
• Les multivecteurs s’écrivent sans indice, et la structure géométrique est directement lisible.
52.8 Capacité à exprimer la physique
• Les tenseurs sont adaptés à la Relativité Générale, mais leur construction est axiomatique.
• Les multivecteurs permettent une formulation géométrique directe des équations de la physique (ondes, interactions, métrique, etc), sans postulat additionnel.
52.9 Intégration naturelle des opérations
• Dérivée, rotation, divergence, flux, orientation sont naturellement définis dans Cl(0,3).
• En tensoriel, ces opérations sont séparées et nécessitent plusieurs structures (symbole de Christoffel, métrique, Levi-Civita…).
52.10 Conclusion
• Les tenseurs sont des objets de calcul dans une structure extérieure imposée.
• Les multivecteurs expriment directement la structure interne de l’espace et du champ physique.
→ Le formalisme multivectoriel unifie la géométrie, la dynamique et la physique dans une seule structure cohérente. Il est plus fondamental que le formalisme tensoriel.
Section 53 — Les quaternions de Hamilton dans Cl(0,3)
53.1 Définition des quaternions
L’algèbre des quaternions ℍ est engendrée par les éléments :
• 1 (scalaire unité)
• i, j, k (éléments imaginaires avec i² = j² = k² = ijk = –1)
Le produit est non commutatif :
• ij = k, jk = i, ki = j, et ji = –k, etc.
53.2 Identification dans Cl(0,3)
Dans l’algèbre de Clifford Cl(0,3), on identifie naturellement les trois bivecteurs orthonormés :
• e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁
Ils vérifient :
• (e₁e₂)² = (e₂e₃)² = (e₃e₁)² = –1
• e₁e₂ · e₂e₃ = e₁e₃
• e₂e₃ · e₃e₁ = e₂e₁
• e₃e₁ · e₁e₂ = e₃e₂
Ce triplet {e₁e₂, e₂e₃, e₃e₁} possède donc exactement la même structure multiplicative que les quaternions de Hamilton, modulo réorganisation des indices.
53.3 Représentation canonique
On peut établir l’équivalence formelle suivante :
• i ↔ e₂e₃
• j ↔ e₃e₁
• k ↔ e₁e₂
Ce changement respecte :
• i·j = k ⇒ e₂e₃ · e₃e₁ = e₂e₁ = –e₁e₂ = –k
Donc les relations de signes sont également cohérentes à un facteur d’ordre près.
53.4 Inclusion dans Cl(0,3)
Les quaternions forment un sous-espace à 4 dimensions de Cl(0,3), contenant :
• le scalaire 1
• les trois bivecteurs fondamentaux
Mais Cl(0,3) contient en plus :
• les trois vecteurs {e₁, e₂, e₃}
• le trivecteur I = e₁e₂e₃
Ainsi, ℍ ⊂ Cl(0,3), mais ce n’est qu’une partie bivectorielle de l’algèbre complète.
53.5 Avantage géométrique de Cl(0,3)
• Les bivecteurs de Cl(0,3) ont une interprétation géométrique explicite : ce sont des plans orientés.
• Dans ℍ, les objets i, j, k sont abstraits et ne possèdent pas de signification intrinsèque.
53.6 Opérations internes
Dans Cl(0,3), on peut :
• projeter un champ sur ses composantes (grades)
• construire des rotors à partir des bivecteurs (spin)
• définir des boosteurs, des opérateurs différentiels, des métriques
Aucune de ces structures n’existe dans ℍ.
53.7 Synthèse structurelle
Élément ℍ (quaternion) Cl(0,3) Interprétation
1 oui oui scalaire
i, j, k oui oui (bivecteurs) plans orientés
vecteurs eᵢ non oui directions spatiales
trivecteur I non oui volume orienté
53.8 Conclusion
Les quaternions apparaissent naturellement comme un sous-système bivectoriel de Cl(0,3).
Mais ils sont limités à une portion fixe de l’algèbre, sans accès aux autres degrés de liberté nécessaires pour décrire des champs physiques.
Cl(0,3) reprend la structure de ℍ, mais l’élargit, la clarifie, et lui donne une interprétation géométrique complète.
→ Les quaternions de Hamilton sont donc intégrés, mais dépassés par Cl(0,3).
Section 54 — Biquaternions et champs spinoriels
54.1 Origine géométrique des biquaternions
Les biquaternions sont une extension complexe des quaternions de Hamilton, dans lesquels les coefficients sont autorisés à être complexes. Leur structure permet de décrire des rotations et des boosteurs dans des espaces à signature mixte, notamment dans la relativité restreinte.
Cependant, dans le cadre multivectoriel réel Cl(0,3), la structure n’est pas définie sur un espace complexe ou pseudo-euclidien. Elle est fondée sur une géométrie intrinsèquement elliptique, dérivée directement de la construction de Clifford.
54.2 Cl(0,3) comme algèbre elliptique
Contrairement à l’interprétation erronée moderne qui assimile Cl(0,3) à un espace plat, Clifford l’a explicitement construit pour modéliser la géométrie sphérique de type elliptique. Cela se manifeste dans la propriété clé :
• Le pseudoscalaire I vérifie I² = +1
Cette propriété n’est pas neutre :
– Elle implique une courbure positive,
– Elle encode l’orientation globale d’un espace de type sphère,
– Elle exclut toute signature hyperbolique ou plate.
54.3 Implications pour la dynamique des ondes
Dans Cl(0,3), toute onde multivectorielle Ψ évolue dans un espace intrinsèquement courbé. Cela implique :
– Les rotors agissent avec une périodicité 4π, typique des espaces à courbure sphérique.
– Les spineurs sont des éléments de transport sur une sphère topologique (S³).
– Le transport parallèle conserve l’orientation globale en tenant compte de la courbure.
– La structure même des équations dynamiques dérivées de l’Octogradient intègre cette courbure.
54.4 Différences avec les biquaternions relativistes
Dans les approches basées sur les biquaternions (par ex : Dirac, Lanczos), on modélise les transformations de Lorentz dans un espace pseudo-euclidien, où les boosteurs sont des exponentielles de bivecteurs complexes.
Dans Cl(0,3), au contraire :
– Il n’existe pas de boosteurs bivectoriels,
– Le boost est une rotation réelle entre scalaire et vecteur,
– Le formalisme est entièrement réel, sans recours aux imaginaires ni aux signatures mixtes.
54.5 Champs spinoriels dans Cl(0,3)
Un champ multivectoriel Ψ contient toutes les composantes physiques (scalaire, vecteur, bivecteur, pseudoscalaire), et son évolution dans Cl(0,3) est décrite par des opérations internes :
• Le spin est une rotation bivectorielle interne,
• Le mouvement inertiel est une rotation vectorielle réelle (boost),
• Les changements d’état sont codés par des transformations directes (pas des conjugaisons).
Ce champ spinoriel reflète la nature dynamique réelle d’une onde dans un espace courbe.
54.6 Remarque géométrique essentielle
Cl(0,3) n’est pas une algèbre plate.
Elle a été conçue par Clifford pour intégrer la courbure elliptique de l’espace, dans le prolongement des travaux de Riemann et de Hamilton. Le fait que I² = +1 n’est pas une coïncidence : cela signifie que l’espace dans lequel évolue Ψ est sphérique, orienté, fermé, courbe.
54.7 Conclusion
Les biquaternions sont adaptés aux rotations et boosts dans un espace de type Minkowski, mais ne peuvent pas rendre compte de la structure courbée, réelle et multigrade du champ Ψ dans Cl(0,3). Le formalisme multivectoriel permet de dépasser cette limite, en modélisant directement la dynamique des ondes dans une géométrie elliptique, sans artifices tensoriaux ni imaginaires.
La physique issue de Cl(0,3) est donc fondée sur une courbure réelle, une orientation topologique intrinsèque, et une dynamique interne complète des champs spinoriels.
Section 55 — Limites du formalisme de Dirac classique
55.1 Présentation générale de l'équation de Dirac
L’équation de Dirac standard est formulée dans un cadre matriciel complexe sur l’espace de Minkowski :
(iγ^μ ∂_μ – m)ψ = 0
avec :
· ψ un spineur complexe à 4 composantes,
· γ^μ les matrices de Dirac satisfaisant l’algèbre de Clifford Cl(1,3),
· i l’unité imaginaire complexe externe.
55.2 Structure mathématique abstraite
Le formalisme classique de Dirac repose sur :
· des matrices hermitiennes définies par des règles algébriques imposées,
· un espace vectoriel complexe sans interprétation géométrique réelle,
· des objets spinoriels sans signification physique localisée dans l’espace.
55.3 Absence de représentation géométrique directe
Dans le formalisme Dirac standard :
· Les composantes du spineur ψ n’ont pas d’interprétation spatiale claire,
· La structure du spin est imposée par l’algèbre matricielle, sans construction ondulatoire,
· Le champ ψ n’est pas localisé géométriquement : pas de direction, pas de norme physique claire.
55.4 Usage d’un imaginaire non géométrique
• L’unité imaginaire i n’a aucune interprétation géométrique réelle :
→ Elle sert uniquement à produire des rotations dans un espace complexe abstrait.
• Cela empêche toute représentation physique réelle de la dynamique du champ.
55.5 Difficulté d’unification avec les champs gravitationnels ou réels
• L’espace-temps sous-jacent (Minkowski) est incompatible avec un champ d’onde réel fondé sur un éther.
• La gravitation ne peut pas être décrite dans le même formalisme que le champ de Dirac :
→ Il faut des géométries différentes, des bases incompatibles.
• Le champ ψ ne peut pas interagir naturellement avec une métrique émergente, car sa structure n’est pas géométrique.
55.6 Caractère imposé du spin
• Le spin ½ apparaît dans Dirac comme postulé :
→ Il résulte de la structure des matrices γ^μ, pas d’une dynamique réelle.
• Il n’y a aucune origine physique du spin, ni lien avec une géométrie de rotation ou un bivecteur.
55.7 Manque d’interprétation énergétique locale
• Le champ ψ ne contient pas explicitement de structure d’énergie, de densité localisée, ou de norme physique.
• Il faut ajouter des opérateurs externes pour obtenir une densité de probabilité ou une densité d’énergie.
55.8 Absence de couplage ondulatoire réel
• L’équation de Dirac ne dérive pas d’une structure d’onde réelle dans l’éther, mais d’une exigence d’invariance relativiste.
• Il n’y a pas d’onde stationnaire, pas de double rotation, pas de couplage entre structure spatiale et oscillation temporelle.
55.9 Difficultés d’interprétation physique
• Le formalisme est mathématiquement cohérent mais physiquement opaque.
• La majorité des interprétations doivent passer par des analogies (ex : matrices de Pauli, spin abstrait, espace de Hilbert).
• Aucune structure n’est liée à un mouvement ou à une onde physique dans l’espace réel.
55.10 Conclusion
Le formalisme de Dirac classique :
· est adapté à la formulation quantique relativiste standard,
· mais il échoue à représenter la dynamique réelle d’un champ physique dans un espace géométrique réel.
La version multivectorielle dans Cl(0,3) :
· remplace les matrices par des objets géométriques,
· remplace les spineurs abstraits par des champs d’onde réels,
· dérive le spin, la masse et la dynamique à partir de la structure même de l’onde.
→ C’est une reformulation plus profonde, plus unifiée et plus naturelle de la physique de l’électron.
Section 56 — Interprétation de la métrique dans la Relativité Générale (RG)
56.1 Définition standard de la métrique
Dans la Relativité Générale, la métrique g_{μν}(x) est un tenseur symétrique qui définit la géométrie locale de l’espace-temps. Elle permet de calculer l’intervalle invariant :
ds² = g_{μν}(x) dx^μ dx^ν
Elle encode les effets gravitationnels sous forme de courbure.
56.2 Nature géométrique purement tensorielle
La métrique g_{μν} est définie sur une base de coordonnées.
– Elle dépend du repère local,
– Elle suit les règles de transformation tensorielle,
– Elle n’a pas de structure multivectorielle interne.
56.3 Signature pseudo-euclidienne imposée
La RG utilise une signature de type (+ – – –) ou (– + + +), séparant explicitement le temps des trois dimensions d’espace.
– Le temps n’est pas un scalaire, mais une coordonnée distincte.
– Les rotations sont hyperboliques, non euclidiennes.
56.4 Interprétation dynamique standard
La métrique est liée à la matière par l’équation d’Einstein :
G_{μν} = 8πG T_{μν}
Cela signifie que la matière courbe l’espace-temps.
Mais cette courbure est décrite uniquement par le tenseur métrique.
56.5 Limites conceptuelles du cadre RG
– La métrique n’est pas dérivée d’un champ fondamental, elle est imposée.
– Elle ne contient pas de spin, ni de densité d’énergie locale.
– Elle ne décrit pas la structure interne des objets.
– Le temps reste une coordonnée abstraite, sans dynamique propre.
56.6 Absence d’origine ondulatoire
La RG ne décrit pas la métrique comme issue d’une onde.
– Il n’y a pas de lien entre courbure et structure d’onde,
– La constante G est posée sans explication microscopique,
– Le champ gravitationnel n’a pas de support physique défini.
56.7 Incompatibilité avec Cl(0,3)
Dans Cl(0,3), la métrique ne peut pas être imposée extérieurement.
– Elle doit émerger d’un champ multivectoriel Ψ,
– Le temps est un scalaire, non une coordonnée vectorielle,
– La signature est euclidienne, toutes les composantes ont le même statut géométrique.
56.8 Conséquences physiques
Le formalisme de la RG ne permet pas :
– d’unifier masse, spin et gravitation,
– de dériver les constantes fondamentales,
– d’intégrer naturellement la structure de l’électron ou du photon,
– de relier géométrie et dynamique ondulatoire réelle.
56.9 Passage à un formalisme ondulatoire unifié
Dans Cl(0,3), le champ multivectoriel Ψ permet de :
– générer la métrique par projection des gradients (Octogradient),
– retrouver les géodésiques comme effets de champ,
– donner une origine géométrique à l’espace-temps.
56.10 Conclusion
La Relativité Générale interprète la métrique comme un objet externe, défini a priori.
Dans le modèle Cl(0,3), la métrique est une propriété émergente du champ Ψ.
Cela rend possible une unification géométrique de la matière, de l’espace et de la gravitation.
57 — Rôle de l’espace de Minkowski : critique
L’espace de Minkowski (R¹,³) constitue le cadre géométrique formel de la relativité restreinte. Il est basé sur une signature mixte (1,3) ou (3,1), dans laquelle le temps est traité comme un vecteur au même titre que les coordonnées spatiales. Cette construction, bien que efficace sur le plan calculatoire, présente des limites majeures du point de vue physique et géométrique réel.
1. Le temps comme axe vectoriel : erreur de nature
Dans Minkowski, le temps est introduit comme une coordonnée vectorielle supplémentaire, orthogonale à l’espace. Cela revient à dire que l’écoulement temporel est une translation géométrique, ce qui contredit la nature réelle du temps comme variable scalaire interne dans l’éther. Cette assimilation est formellement séduisante mais conceptuellement fausse.
2. Une métrique imposée, non émergente
La forme ds² = dt² – dx² – dy² – dz² n’est pas une conséquence physique, mais une convention imposée pour garantir la constance de la vitesse de la lumière. Elle ne dérive d’aucune structure d’onde réelle, ni d’aucun champ sous-jacent. La métrique n’est ici qu’un postulat, sans fondement dynamique.
3. Structure passive et rigide
L’espace de Minkowski est figé : il ne possède ni topologie dynamique, ni déformation interne, ni interaction géométrique entre champs. Il ne modélise aucun support physique, aucune texture de l’éther. Il est un cadre vide, sur lequel la physique est greffée de manière externe.
4. Exclusion de l’éther : impasse physique
En éliminant le concept d’éther, la relativité restreinte interdit toute dynamique interne de l’espace. Pourtant, toute onde — électromagnétique, gravitationnelle, matière — nécessite un support physique pour se propager. Minkowski est une abstraction mathématique qui ne permet pas de rendre compte de cette réalité.
5. Incompatibilité avec le modèle Cl(0,3)
Dans le formalisme Cl(0,3), le temps est une composante scalaire, les directions spatiales sont vectorielles, et les boosts sont des rotations réelles entre grades, sans bivecteurs de type temps–espace. La signature est purement euclidienne, et la métrique émerge du champ multivectoriel lui-même, sans postulat préalable.
Conclusion
L’espace de Minkowski a été une étape utile pour formaliser la relativité, mais il reste un artefact géométrique sans fondement physique réel. Il impose une métrique figée au lieu de la déduire d’un champ. Le modèle Cl(0,3) fournit une alternative cohérente, où la métrique résulte directement d’un champ ondulatoire dans l’éther, et où la dynamique du temps, du mouvement et de l’espace est entièrement reconstruite à partir d’éléments géométriques actifs.
58 — Relativité euclidienne dans le cadre de l’éther
1. Signature euclidienne et champ réel
Dans le modèle fondé sur Cl(0,3), l’espace est décrit par une géométrie euclidienne tridimensionnelle, et le temps est une variable scalaire réelle, distincte des vecteurs. Cette structure élimine toute asymétrie entre les directions, et considère le temps comme une oscillation interne du champ, non comme une coordonnée vectorielle de l’espace-temps.
2. Le temps comme variable scalaire propre
Le temps dans ce modèle est local et intrinsèque : il ne s’agit pas d’un temps d’observation externe mais d’un temps propre t₀ associé à l’onde Ψ elle-même. Il gouverne l’évolution du champ à travers une oscillation bivectorielle interne, et c’est lui qui donne naissance à la dynamique, sans qu’il soit besoin d’ajouter une dimension temporelle à l’espace.
3. Les transformations comme rotations réelles
Les effets dits relativistes (dilatation du temps, contraction des longueurs, désynchronisation) sont modélisés ici comme des rotations réelles dans l’éther, entre les composantes du champ Ψ. Le boost n’est pas une rotation dans un plan bivectoriel, mais une transformation active directe du champ, qui mélange les grades sans modifier les axes de l’espace.
4. Isotropie restaurée localement
Dans ce cadre, la lumière reste isotrope dans le référentiel du chuteur libre, non par postulat, mais parce que le boost réoriente activement le cône lumineux local. Le champ Ψ s’adapte à son propre mouvement pour maintenir la vitesse de la lumière constante dans toutes les directions locales.
5. Suppression des artefacts hyperboliques
Cette approche n’utilise pas de temps-vecteur, ni de signatures (1,3), ni de rotors bivectoriels de type temps-espace. Tous les effets géométriques sont déduits directement de la dynamique réelle du champ Ψ dans un espace tridimensionnel à signature purement euclidienne.
6. Régularisation de la géométrie
La singularité centrale des modèles de type Schwarzschild est éliminée. La décroissance naturelle de la norme de Ψ, combinée à sa structure géométrique, assure une régularité complète au centre. La géométrie devient localement plate dans le référentiel du chuteur.
Conclusion
La relativité euclidienne dans l’éther Cl(0,3) n’est pas une approximation, mais une structure géométrique complète. Elle reconstruit les effets relativistes comme des rotations physiques actives, fondées sur une dynamique ondulatoire réelle. Ce formalisme remplace l’espace-temps de Minkowski par un éther géométrique réel et dynamique.
\59 — Caractère symétrique des observations\
\59.1 Principe de réciprocité absolue\
Dans l’éther euclidien (signature : eᵢ² = –1), toute transformation inertielle est décrite par un rotor R(θ).
Appliqué simultanément au système étudié et à l’observateur, ce rotor laisse inchangées toutes les grandeurs scalaires inertielles (normes, densités, fréquences).
Il n’existe donc pas de « premier » référentiel ; chaque description est la réciproque exacte de l’autre.
\59.2 Intervalle commun des événements\
Pour le paravecteur événement X = t + r, l’invariant est
|X|² = t² + r².
Quel que soit le rotor appliqué, les deux observateurs attribuent la même valeur à cette somme : leurs mesures de durée propre (t) et de distance propre (|r|) sont mutuellement cohérentes.
\59.3 Norme masse–impulsion partagée\
Le paravecteur dynamique P = m + p possède la norme
|P|² = m² + p².
A observe pour B exactement la même valeur que B observe pour A : la conservation est bilatérale.
\59.4 Dilatation du temps réciproque\
Si l’observateur A voit l’horloge propre de B ralentir d’un facteur cos θ, alors B voit celle de A ralentir du même cos θ.
La dilatation est symétrique parce qu’elle provient du même mélange (t, r) imposé aux deux par le rotor.
\59.5 Contraction réciproque des longueurs\
Une règle de longueur L au repos pour A est perçue par B sous la forme L cos θ.
La règle propre de B est perçue identiquement contractée par A.
Aucun observateur ne peut se déclarer « au repos absolu ».
\59.6 Effet Doppler croisé\
Source et récepteur se déplaçant l’un par rapport à l’autre voient tous deux la fréquence de l’autre décalée :
f′/f = (1 ± sin θ)/(1 ∓ sin θ).
Changer l’émetteur et le détecteur inverse simplement les signes ; la formule reste la même.
\59.7 Isotropie de la lumière pour chacun\
Le front lumineux défini par t² + r² = 0 garde cette forme dans tous les référentiels obtenus par rotor.
Chaque observateur mesure donc la même vitesse isotrope (c = 1) pour la lumière émise par l’autre.
\59.8 Flèche du temps partagée\
Le scalaire t croît toujours dans le même sens pour tous.
Aucun rotor n’en inverse le signe ; personne ne voit « le temps de l’autre » reculer.
\59.9 Indétectabilité d’un repos absolu\
L’éther constitue un support réel, mais les lois fondées sur les invariants scalaires ne permettent pas de mesurer une vitesse absolue : seuls les mouvements relatifs ont un effet observable.
\59.10 Conclusion\
Avec les invariants t² + r² et m² + p², le formalisme Cl₃ assure un \caractère symétrique des observations\ : dilatations, contractions, décalages de fréquence et lois de conservation se manifestent de façon parfaitement réciproque pour chaque paire d’observateurs inertiels.
b]Section 60 — Relativité géométrique et rotation des axes, au format demandé[/b]).
60 — Relativité géométrique et rotation des axes
1. Relativité comme rotation active
Dans le cadre multivectoriel de Cl(0,3), la relativité du mouvement n’est pas une propriété abstraite ou symétrique entre observateurs. Elle se manifeste géométriquement comme une rotation réelle des axes de l’espace et du temps dans l’éther, imposée à l’onde Ψ. Cette rotation est une transformation active, et non une simple relecture des coordonnées.
2. Transformation réelle de l’onde
Lorsqu’un objet passe d’un état de repos à un état en mouvement, sa structure multivectorielle Ψ est modifiée par un boost vectoriel réel : l’onde est tournée dans l’espace Cl(0,3) selon un axe vectoriel. Cette rotation modifie les contributions scalaires, vectorielles, bivectorielles et pseudoscalaire, générant les effets relativistes (dilatation du temps propre, contraction des longueurs, etc.).
3. Rotation du cône lumineux
Le boost agit aussi sur la structure du cône lumineux local. Ce cône est tourné dans l’espace, de sorte que la vitesse de la lumière reste constante dans le nouveau repère. Cela traduit la rotation active des axes temporel et spatial locaux, sans modifier la base de l’éther lui-même. Le chuteur libre perçoit ainsi une métrique localement plate, avec un cône lumineux centré.
4. Pas de symétrie réciproque
Contrairement à la relativité restreinte standard, il n’y a pas de réciprocité entre observateurs. Un seul d’entre eux subit une rotation active (l’objet en mouvement), et c’est cette rotation qui modifie la perception des grandeurs physiques.
5. Structure physique réelle
Dans ce modèle, la relativité est une propriété physique réelle de l’onde, pas une convention de description. Elle est codée dans l’orientation réelle de Ψ, et mesurable par les effets produits sur la métrique effective. Toute dynamique relativiste est donc vue comme le résultat direct d’une rotation géométrique des composantes internes de l’onde dans Cl(0,3).
Conclusion
La relativité devient ici une géométrie active dans l’espace des multivecteurs, et non une transformation passive des repères. Elle repose sur des rotations réelles imposées à Ψ, qui modifient sa dynamique et ses interactions avec le champ de fond (gravité, lumière, etc.). C’est une relativité sans symétrie, fondée sur la structure réelle de l’éther.
Rang
Spationaute interplanétaire
Inscription
lundi 4 avril 2022 à 00:47
