Ouais (là on est au niveau lycée).
Je reviens sur les nombres complexes.
En effet, les nombres réels sont les nombres les plus facilement concevables pour la plupart des gens. Cependant, il existe des équations faisant seulement appel à des opérations algébriques qui n'ont pas de solution dans le corps des réels :
x² + 1 = 0
C'est pourquoi les mathématiciens ont introduit l'ensemble des nombres complexes (on parle de corps des complexes, parce que c'est un ensemble possédant une structure d'anneau, n'ayant pas de diviseur de zéro).
Il se trouve que si l'on prend une équation à coefficients dans les complexes :
a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_1 z + a_0 = 0
Alors cette équation de degré "n", a "n" solutions. (c'est le théorème de D'Alembert).
On dit que le corps des complexes est une clôture algébrique de R.
On sait ensuite montrer que les nombres complexes peuvent se représenter dans un plan (les réels sont sur une droite), et que les complexes peuvent s'interpréter très naturellement comme des rotations du plan. (par contre on perd la relation d'ordre)
Et d'ailleurs les nombres complexes ont été introduits comme un artifice pour la première fois pour résoudre des polynômes de degré 3.
Et sinon, Hamilton a essayé de généraliser les rotation en 3 dimensions. Il a réussi en introduisant les hypercomplexes :
i² = j² = k² = ijk = -1
Il a gravé ça sur le pont de Brougham à Dublin, il y a une plaque commémorative.
Non seulement la relation d'ordre est perdue, mais on perd également la commutativité (l'ordre des opérations compte).
Et après, on a les extensions de Cayley (Octonions et là on perd même la distributivité par rapport à l'addition etc...)