MATHÉMATIQUES AMUSANTES (1er exercice : arithmétique niveau lycée)

[professeur essef]

Un lycéen n'arrive pas à entrer la nuit dans son immeuble en ville, car il a oublié le code d'entrée de la porte, composé de 4 chiffres, et en plus il a aussi oublié son portable chez lui et n'a pas une tune pour appeler d'un cyber café; il est juste accompagné par un copain fort en maths, fauché lui aussi, et dont le portable est déchargé !
Ils ont donc aucun accès à internet !!
Le lycéen étourdi se rappelle quand même des choses suivantes :
1- aucun des 4 chiffres n'est nul
2 - le 1er et le dernier chiffre [seulement] sont identiques
3 - le nombre constitué par les 4 chiffres est un carré parfait (il l'avait remarqué en prenant sa racine carrée sur sa machine, un jour où il était "en forme" [lol])
4 - la somme des 4 chiffres vaut 18 (le jour de sa naissance)

Fort de ces données, son copain lui lance :
t'inquiètes, je vais m'asseoir sur le banc là-bas, sous le lampadaire, et j'aurais trouvé ton code bien avant que tu n'aies épuisé toutes les possibilités !!
Et en effet, il sortit son cahier de brouillon, et trouva le code en moins d'un quart d'heure !!!

Question : saurez-vous en faire autant ? (il n' y a qu'une seule possibilité)

Sinon, répondez à la question suivante (très facile, même pour des collégiens)

Sachant que le digicode est d'un modèle standard, qui ne bloque pas au bout de quelques essais, calculer le temps maximal que le lycéen non matheux risque de mettre pour parvenir à ouvrir la porte (prendre 3 secondes en moyenne par essai, par exemple).

[lodeli]

je trouve 2 reponses possibles

[professeur essef]

Bonjour cher(ère) lodeli.
Vous avez raison : pardon [à vous et aux premiers lecteurs] d'avoir oublié de recopier la 4ème condition, à présent ajoutée.
La solution 1521 = 39² est donc à écarter !
En effet, sans la 4ème condition, il n'y a pas de démonstration rapide !
Avez-vous procédé comme le lycéen matheux, c'est à dire en ayant fait une démonstration "à la main", ou vous êtes-vous contenté(e) d'utiliser une table des carrés ? (Ça m'intéresse de savoir qu'il existe une démonstration "directe", qui conduit aux deux réponses, que de mon coté, je vais dès à présent, tenter d'élaborer)
Et combien de temps avez-vous mis dans ce cas ?
À vous relire. professeur essef.

[bongo]

On sait que 32² = 1024 et c'est le plus petit carré à 4 chiffres (31² < 1000), et a priori, on peut tester jusqu'à 99 (ça fait 99-32 + 1 possibilités 68 carrés à tester, ça fait un peu beaucoup).
Ensuite on sait que tous les nombres finissent par 1, 2 ,3 , 4 , 5 ,6 ,7 ,8, 9, et les carrés de ces nombres finissent par 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 6, 1
Donc le nombre cherché est :
1XY1 avec X+Y = 16
4XY4 avec X+Y = 10
5XY5 avec X+Y=8
6XY6 avec X+Y = 6
9XY9 avec X+Y = 0 (on peut tester à la main 9009 ne remplit pas la condition, il y a 2 paires de chiffres identiques et puis ce n'est pas un carré).

Si on écrit de manière arithmétique, on sait que : le nombre s'écrit : A*10 + B, le carré donne :
A² * 100 + 2 AB * 10 + B²

On a vu que A valait au moins 3.
Ce qui fait que A² donne : 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
En fonction de la valeur de B on peut augmenter un peu la centaine. Donc pour :
1XY1 il faut tester 39² ou bien 41²
4XY4 il faut tester 62²
5XY5 il faut tester 75² (ce qui fait 5625, et comme la somme des chiffres est ok... ça doit être ça).
6XY6 il faut tester 76² ou 86²
9XY9 il faut tester 93², 97²

Bon j'ai mis 5 minutes (le temps de taper peut-être 10 minutes).

Nombre de carré à calculer 8. Je me suis arrêté au 4ème listé (et en fait je n'ai pas calculé les autres, j'ai listé les carrés, et 75² était le plus facile à calculer de tête, je n'ai pas utilisé de brouillon).

[lodeli]

personnellement,j'ai procédé d'une maniere empirique qui doit etre proche de celle de bongo.

1 - un nombre dont le carré a 4 chiffres doit etre compris entre 32 et 99
2-le code doit se terminer par 1,4,5,6 ou 9
3- pour que les extremes soient
... = 1 il doit etre compris entre 32 et 44
... = 4 à 6 il doit eytr compris entre 63 et 83
... = 9 il doit etre compris entre 95 et 99

4- pour que le code soit 1xx1 le nombre doit se terminer par 9. donc entre 32 et 44, il n'y a que 39
... de meme pour 4..4 ou 5..5 ou 6..6, il n'y a que 75 et pour 9..9 : 97

5- on a donc 3 codes possibles : 1521, 5625, 9409

9409 contient un 0

seul 5625 donne une somme de 18

j'ai du mettre de 10 à 15 minutes

[lodeli]

un autre petit jeu

voici une suite de lettres

T, Q, P, H, H

quelle lettre vient ensuite ?

un indice : ce n'est pas un jeu de math, mais c'est en lien étroit avec les maths.