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  • Calcul de l'heure solaire

  • Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
 #13650    par PapouMAC
 mercredi 31 août 2011 à 19:21
Bonjour

Je cherche les formules permettant de calculer le lever et le coucher du soleil pour n'importe quel lieu de la planète. Merci.
 #13652    par MIMATA
 mercredi 31 août 2011 à 19:49
Bonjour,

Tu cherches l'équation du temps donc...
 #14606    par Papyves
 mardi 15 novembre 2011 à 23:24
Bonjour,

Très bonne question pour une gymnastique des méninges, merci.

Le plus simple est d'utiliser les éphémérides, pour le 14/11/2011 le lever du Soleil est à 6h59m et le coucher à 16h11m en heure UTC pour Paris et pour le centre du disque solaire.

Mais ta question bien sûr c'est comment calculer ces valeurs sans les abaques et sans l'ordinateur !

Je te propose une petite méthodologie mais elle n'est certainement pas la plus rapide, alors avis aux amateurs....

1) Première étape : calculer "alpha" l'ascension droite du soleil le 14/11/2011 à 0h UTC
Nous partons de l'équinoxe de printemps 2011 le 20/03 à 23h21m UTC soit # le 21/03 à 0h UTC
A cet instant alpha = 0h
Le 14/11 à 0h UTC le temps écoulé est de 11J + 214J + 13J = 238J (21/03 au 1/04 + 1/04 au 1/11 + 1/11 au 14/11)
La terre aura alors tourné autour du soleil de alpha = 360° x (238J/365.2564J) = 234.57° = 15.64h = 15h 38m sidérales
Les éphémérides donnent alpha = 15h 15m 18s = 228.8250°, l'erreur de 23m = 5.75° provient des approximations et sans doute de la faible excentricité de l'ellipse terrestre (à creuser).

2) Deuxième étape : calculer "delta" la déclinaison du soleil à ce même moment
Ici il faut faire appel à la trigonométrie sphérique, le triangle étant posé sur une sphère et limité par les grands cercles que sont l'équateur, le méridien du Soleil et l'écliptique. Nous savons que cette dernière est à 23°27' sur l'équateur (#)
En utilisant les équations de base on démontre TGT delta = 0.4337 x SIN alpha
Soit pour alpha = 228.8250° on trouve delta = -18°4.8', les éphémérides donnant -18°4.3' donc c'est OK

3) Troisième étape : le soleil étant maintenant positionné dans le repère équatorial céleste il faut déterminer la rotation de la terre le 14/11/2001 à 0h UTC donc trouver le GTSM0(°) du méridien de Greenwich à 0h UTC par rapport à l'axe des équinoxes.
La formule intégrant la rotation de la terre GTSM0(°) = 100.46061837 + 36000.770053608 x T avec T=(JJ-2451545.0)/36525
JJ étant la période Julienne du 14/11/2011 à 0h UTC (nota : on néglige ici les termes en T carré et cube)

Il faut donc calculer JJ de l'année A, mois M, jour J, heure HH-MM-SS
C= INT(A/100)
B= 2 - C + INT(C/4)
T= HH/24 + MM/1440 + SS/86400
JJ = INT(365.25 x (A + 4716)) + INT(30.6001 x (M + 1)) + J + T + B - 1524.5
Pour notre date, A = 2011 , M = 11 , J = 14 , T = 0 ce qui donne JJ = 2455879.5 valeur confirmée par les abaques adéquates
(nota : ce calcul d'apothicaire provient de la définition de notre calendrier Grégorien)

On peut donc calculer GTSM0(°) = 4372.75° modulo 360° = 52.75° = 3.52h
C'est le temps sidéral de Greenwich le 14/11/2011 à 0h UTC. Cette valeur est confirmée par les éphémérides publiées.
Pour Paris on ajoute la longitude soit 9m21s = 0.15h ce qui donne 3.67h

4) Maintenant nous avons positionné le soleil et la terre, il faut calculer l'angle horaire qui va couvrir du lever au coucher du soleil.
COS(H) = (SIN h0 - SIN fi x SIN delta)/(COS fi x COS delta)
avec fi = latitude du lieu = 48°50.2' pour Paris
delta = déclinaison du soleil = -18°4.3' pour notre exemple
h0 = Parallaxe - réfraction - d/2 - n1 - n2
Parallaxe négligeable
réfraction = 34'
d/2 = demi diamètre apparent du soleil car nous calculons le lever/coucher au bord supérieur du disque = 16'
n1 = coefficient d'altitude = 1'56" x racine (A), A altitude du lieu en mètres (on prend 160m pour Paris)
n2 = coefficient d'environnement montagneux = 0 ici

Ce qui donne H = 70.21°

les levers et couchers du soleil sont donnés par T lever = alpha - H, T coucher = alpha + H avec alpha = 228.8250°
T lever = 158.62° = 10.57h et T coucher = 299.04° = 19.94h sidérales

5) Il ne reste plus qu'à caler l'ensemble connaissant T sidérale Paris le 14/11/2011 à 0h UTC = 3.67h

t lever du soleil (bord supérieur) = 10.57h - 3.67h = 6.9h UTC = 6h54m
t coucher du soleil (bord supérieur) = 19.94h - 3.67h = 16.27h UTC = 16h 16m
Les éphémérides donnent respectivement 6h59m et 16h11m pour le centre du disque.

Très cordialement Y-16
 #14676    par Papyves
 samedi 19 novembre 2011 à 13:10
Bonjour,

Je reviens sur le point 1) dans lequel une différence non négligeable entre le calcul manuel et les éphémérides restait " à creuser".

C'est fait ,je reprend le calcul de "alpha" l'ascension droite du soleil à tout instant mais notamment le 14/11/2011 à 0h UTC objet de notre exemple. La première version était bien trop approximative.

1) Première étape : calculer "alpha" l'ascension droite du soleil le 14/11/2011 à 0h UTC.

Nous partons d'une base fixe pour laquelle alpha moyen est établi et immuable = J2000 c'est à dire le 1/01/2000 à 12h UTC.
Dans ce cadre l'anomalie du soleil vaut M(rad) = 6.240060 + 6.283019552 x t avec t = (JJ - 2451545)/365.25
Le jour Julien JJ est calculé plus loin au 3)
L'anomalie du soleil est l'angle du périgée de l'orbite apparente du soleil avec la position actuelle
On reconnait dans l'expression la valeur à J2000 suivie de la correction à raison de 2 x Pi par année
Pour le 14/11/2011 à 0h UTC JJ = 2455879.5 et cela donne M(rad) = 80.802 rad = 4629.6° modulo 360° = 309.6°

Alpha moyenne du soleil = anomalie + longitude du périgée de l'orbite apparente du soleil soit
Alpha moyenne du soleil = 309.6° + (102.94° + 180°) car long périgée soleil = long périphélie Terre + 180°
Donc Alpha moyenne du Soleil = 592.54° = 232.54° = 15h 30m 10s

Pour avoir Alpha vraie du Soleil (correspondant au cadran solaire) il faut corriger Alpha moyenne avec l'équation du temps
En effet, l'excentricité même faible de l'orbite terrestre (0.0167) et l'inclinaison de l'écliptique sur le plan de l'équateur font que le mouvement apparent du Soleil sur l'équateur n'est pas moyen (= uniforme) mais varie autour de la moyenne en fonction de la période, il faut donc corriger la valeur moyenne pour avoir la valeur vraie qui nous intéresse ici dans notre exemple.
équation du temps = équation du centre + réduction à l'équateur = 7.678 SIN (B+1.374) - 9.87 SIN(2B) en minutes avec
B = 2 x Pi x (d-81)/365 en radians et d=1 le 1/01, d=81 à l'équinoxe de printemps etc...
Le 14/11/2011 d=318 ce qui donne B = 4.079rad et finalement équation du temps = - 15m5s

Soit finalement le 14/11/2011 à 0h UTC, Alpha vraie Soleil = 15h 30m 10s - 15m 5s = 15h 15m 5s à comparer a 15h 15m 18s des éphémérides. C'est beaucoup mieux.

Cordialement
 #30533    par Grincheux
 jeudi 24 avril 2014 à 20:17
Génial, c'est ce que je cherchais. C'est-à-dire des explications claires. Maintenant je sais calculer "manuellement" le lever et le coucher du soleil. Prochaine question : Et pour n'importe quelle étoile ou planète ?

Deuxième question connaissant l'heure de lever du soleil à Paris pour une date, où sera-t-il dans 7 heures ?
Où sera-t-il dans 7 heures pour quelqu'un qui l'observe d'un autre lieu distant de 700 km ou d'une autre position exprimée en coordonnées décimales ou sexagésimal ?

Merci et bonne soirée.

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