Bonjour,
J'apporte mon grain de sel ^^
quantique a écrit :Quand je dis que c'est le pendant du concept 0, cela signifie (à mon sens) que l'infini n'est pas un nombre comme le zéro n'est lui non plus pas un nombre mais l'absence de nombre (comme le noir n'est pas une couleur mais l'absence de couleur).
C'est pour moi une limite asymptotique.
D'ailleurs, si l'infini était un nombre, on pourrait lui ajouter +1 donc...
Il n'est pas correct de considérer que 0 et l'infini ne sont pas des nombres... Certes ils ne sont pas des nombres ordinaires, le second en particulier, mais avant de décider ce qui est ou n'est pas un nombre encore faut-il se mettre d'accord sur la définition du concept de "nombre" ! La difficulté, c'est qu'il n'y en a pas de vraiment satisfaisante...
Le "nombre" est un concept lié à deux besoins : celui d'
ordonner un ensemble d'éléments, et celui de
comparer des ensembles.
Pour ce premier besoin, on définit les nombres dits
ordinaux, pour le second les nombres
cardinaux.
Maintenant que nous avons une "idée générale" de ce qu'est un nombre, nous pouvons définir rigoureusement ce qu'est un nombre ordinal, à l'aide de deux autres concepts : celui d'ensemble et celui d'ensemble des parties. La définition est un peu formelle (désolé pour les allergiques), mais elle à l'avantage de bien montrer qu'un nombre peut ne pas ressembler du tout à l'idée qu'on s'en fait...
Tout d'abord, on nomme "nombre ordinal 0" l'ensemble vide noté {}.
Le nombre ordinal suivant, 1, est l'ensemble des parties de {}, c'est à dire l'ensemble qui ne contient que {}. On le note {{}}.
Le nombre ordinal suivant, 2, est l'ensemble des parties de {{}}, c'est à dire {{},{{}}}. Il contient "0" l'ensemble vide {} et "1" l'ensemble de ses parties {{}}...
Et on continue, l'ordinal suivant, 3, est {{},{{}},{{},{{}}}}.
Et ainsi de suite...
C'est vite fastidieux, mais on a définit rigoureusement les nombres entiers ordinaux. Ils forment un ensemble
ordonné, qui nous permet donc de
compter de façon ordonnée (chaque ensemble définissant un ordinal contient les ordinaux précédents).
Les nombres dont manuelarm a fait mention sont les ordinaux transfinis et ils permettent de définir rigoureusement l'ordinal infini. On les définit comme ceci :
le plus petit ordinal infini est l'ensemble de tous les ordinaux finis {{},{{}},{{},{{}}},...}, on le note ω (petit omega).
L'ordinal infini suivant est l'ensemble {ω,{ω}} noté ω+1, puis viens ω+2, etc...
On peut continuer autant que l'on veut cela devient vertigineux !
Pour résumer,
un nombre ordinal est l'ensemble de ses prédécesseurs.
Maintenant, venons en aux nombres cardinaux. Ceux-ci peuvent être rigoureusement définis à l'aide des ensembles, et du concept d'équipotence, ou de bijection. Deux ensembles sont en bijection si l'on peut faire correspondre à chaque élément du premier exactement un élément du second. S'ils ont le même nombre d'éléments en gros.
On les définis à l'aide des ordinaux :
Le nombre cardinal 0 est le nombre d'éléments de {} l'ordinal 0.
Le nombre cardinal 1 est le nombre d'éléments de {{}} l'ordinal 1.
Le nombre cardinal 2 est le nombre d'éléments de {{},{{}}} l'ordinal 2.
etc.
Remarquons que les nombres cardinaux finis et les nombres ordinaux finis sont identiques ! Rien de surprenant là-dedans, sauf que ce ne sera plus le cas pour les transfinis...
En effet, on définit ainsi les nombres cardinaux transfinis :
Le nombre cardinal infini א
o (aleph zero) est le nombre d'éléments de {{},{{}}},...} l'ordinal ω. Mais c'est aussi le nombre d'éléments de l'ordinal ω+1, ou de ω+2, ou de ω^a+x avec a et x des ordinaux finis. Pourquoi ? parce que l'infini +1 est encore "le même infini".
Le nombre cardinal infini א
I (aleph un) est le nombre d'éléments de l'ensemble des parties de ω, ou de ω^a+x avec a et x des ordinaux finis. On ne peut pas obtenir א
I par des opérations sur א
o. D'une certaine manière, comme entre le cardinal des nombres entiers et le cardinal des nombres réels, on peut dire que cet infini n'est "plus le même infini"...
etc.
Pour résumer,
un nombre cardinal est le plus petit ordinal parmi tous ceux ayant le même nombre d'éléments.
L'hypothèse du continu est que א
I =2^א
o, qui est un résultat... indémontrable ! Mais c'est une autre histoire.
Bon c'est bien beau mais où est l'infini que l'on note ∞ dans tout ça ?
Il y a bien des nombres infinis, les omega et les aleph, mais le symbole ∞ désigne un troisième concept, encore différent !
Cette fois-ci, je rejoins l'affirmation de quantique : il s'agit d'une limite. On note x -> ∞ pour dire que x tend vers l'infini, ou que x croit au delà de toute borne, qu'il devient aussi grand que l'on veut. Sauf que celui-ci reste fini ! Il ne faut donc pas confondre la limite ∞ (qui n'est pas un nombre) avec les nombres infinis ω et א.
C'est justement cette limite ∞ que met en jeu le nombre 0,99999... En réalité, la plupart des nombres dits réels nous seront à jamais inconnaissables ! Le fameux pi, le nombre e, le nombre 0,333333333333 ou n'importe quel nombre possédant une infinité de nombres (aleph zero nombres), sauf exceptions. Nous savons qu'ils "existent" car nous pouvons les définir mathématiquement, mais nous ne pouvons pas les connaître entièrement.
Quelles sont ces exceptions ?
Eh bien justement 0,99999... ou bien 0,580479999999999999999... puisqu'ils valent respectivement 1 et 0,58048.
Une jolie propriété de ces nombres est que tout nombre periodique est égal à leur periode divisée par autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la periode. Par exemple 0.48484848...=48/99.
Dans notre cas 0.999...=9/9=1