Déjà il faut savoir ce qu'est un nombre complexe.
Dans R il n'y a que des scalaires.
1² = -1² = 1
Dans C, il y des scalaires et des vecteurs.
Le scalaire 1 est représenté par (1,0) dans C
La matrice (opérateur) de ce scalaire est la matrice identité :
1 0
0 1
Le vecteur unité i est représenté par (0,1)
Multiplier le scalaire par le vecteur (0,2) revient à multiplier la matrice du scalaire (2,0) par le vecteur (0,2)
Si on prend la matrice du scalaire 2
2 0
0 2
et qu'on la multiplie par le vecteur (0,2) on obtient le vecteur (0,4)
Multiplier par un scalaire agit donc comme un facteur d'échelle.
La matrice (l'opérateur) du vecteur unité i est la matrice de la rotation de 90°
0 1
-1 0
Ca veut dire que si on multiplie un objet par i il faut le multiplier par cette matrice. Le vecteurt i agit comme une rotation quand on le multiplie.
Si on met cette matrice au carré
0 1 0 1
-1 0 -1 0
On obtient
-1 0
0 -1
C'est à dire le scalaire -1
d'où i² = -1
Le carré d'une rotation de 90° = -1, ce qui veut dire que i² agit comme une rotation de 180°
Si on fait deux rotations de 180° on obtient (i²)² = 1 c'est à dire une rotation de 360°, c'est la matrice identité c'est à dire le scalaire 1.
