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  • Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
 #25152    par bongo
 lundi 29 avril 2013 à 11:44
En fait ces produits remarquables me sont encore très familiers.
D'ailleurs, on peut généraliser le produit :

(x+y)^n = ∑(k=0;n) C(n,k)x^k * y^{n-k}

Où Sigma est le signe de sommation discrète sur l'indice k variant entre 0 et n.
C(n,k) est le coefficient du nombre de combinaison d'un ensembles de k objets pris dans un ensemble de n objets.
 #25153    par dave35
 lundi 29 avril 2013 à 13:38
et aussi en terme général :
x^n - y^n = (a-b)Σ(k=0;n)x^(n-1-k)y^k avec les même définition pour sigma et k.

mais là on rentre largement au dessus du niveau 3eme Y-20
 #25158    par bongo
 lundi 29 avril 2013 à 22:46
Ouais (là on est au niveau lycée).

Je reviens sur les nombres complexes.
En effet, les nombres réels sont les nombres les plus facilement concevables pour la plupart des gens. Cependant, il existe des équations faisant seulement appel à des opérations algébriques qui n'ont pas de solution dans le corps des réels :
x² + 1 = 0
C'est pourquoi les mathématiciens ont introduit l'ensemble des nombres complexes (on parle de corps des complexes, parce que c'est un ensemble possédant une structure d'anneau, n'ayant pas de diviseur de zéro).

Il se trouve que si l'on prend une équation à coefficients dans les complexes :
a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_1 z + a_0 = 0
Alors cette équation de degré "n", a "n" solutions. (c'est le théorème de D'Alembert).
On dit que le corps des complexes est une clôture algébrique de R.

On sait ensuite montrer que les nombres complexes peuvent se représenter dans un plan (les réels sont sur une droite), et que les complexes peuvent s'interpréter très naturellement comme des rotations du plan. (par contre on perd la relation d'ordre)

Et d'ailleurs les nombres complexes ont été introduits comme un artifice pour la première fois pour résoudre des polynômes de degré 3.

Et sinon, Hamilton a essayé de généraliser les rotation en 3 dimensions. Il a réussi en introduisant les hypercomplexes :
i² = j² = k² = ijk = -1
Il a gravé ça sur le pont de Brougham à Dublin, il y a une plaque commémorative.
Image

Non seulement la relation d'ordre est perdue, mais on perd également la commutativité (l'ordre des opérations compte).
Et après, on a les extensions de Cayley (Octonions et là on perd même la distributivité par rapport à l'addition etc...)
 #26605    par Gbs
 mercredi 7 août 2013 à 11:11
Et là on sort définitivement des programmes de maths jusqu'à Bac +4 minimum....
Et dire que je ne peux même pas espérer de mes futurs étudiants qu'ils comprennent tous qu'on perd la possibilité d'une relation d'ordre dans C qui reste compatible avec la multiplication (sinon il y a la lexicographique pour l'addition, même dans C)
 #26609    par bongo
 mercredi 7 août 2013 à 16:16
Je trouve passionnant les nombres, surtout depuis le cours où l'on a construit les nombres naturels avec les axiomes de Peano avec les généralisations successives en nombre relatif, rationnel, puis avec les coupures de Dedekind pour arriver aux nombres réels.

Est-ce que les structures mathématiques existent vraiment ?
Ou bien est-ce le mathématicien qui les invente ?

Comment se fait-il que l'on retrouve certaines structures dans la nature ? (par exemple la représentation des groupes de Lie dans la physique des particules)
 #26612    par Gbs
 mercredi 7 août 2013 à 19:17
Les représentations des structures algébriques sont nombreuses dans la "nature" : ne serait-ce que les groupes effectivement (en cristallographie également).

Par contre comme se plaisait à nous le rappeler un de mes profs : le jour où vous avez découvert les atomes vous avez perdu tout ce qui n'est pas entier en terme de mesure...et paf plus de racine de 2...bon sans être aussi catégorique, les ensembles de nombres servent à dénombrer...donc à représenter et mesurer, un peu comme les modèles physiques approchent la réalité.
Il est indéniable que les nombres cardinaux se retrouvent "dans la nature", il suffit de compter, merci Peano mais sinon, les premiers systèmes de numération datent de plusieurs dizaines de milliers d'année : c'est les petits traits qu'on aligne sur le fond de la grotte ou un bout de bois pour lister des denrées, animaux...
A partir de là, et si on veut pouvoir utiliser ces nombres, la modélisation arrive, on introduit des opérations. La première et la plus simple, l'addition (ton troupeau et le mien ça fait combien ?), fait intervenir le symétrique (l'opposé ici) et le neutre (zéro est lui arrivé que tout récemment à l'échelle humaine). Là c'est les relatifs.
Ensuite on fait des paquets, combien de jambon dans mon troupeau ? bref on multiplie et vlan arrive symétrique et neutre : pouf les rationnels...et ça suffit pour presque tout dans la nature si l'on se rappelle que passé une certaine précision on ne pourra plus trop couper les objets en petits morceaux puisqu'on a inventé les atomes (bon ok y'a plus petit)