Astronomie, Univers, Planètes et Satellites du Système Solaire, Pratique de l'Astro, Astrophotographie, Théories Scientifiques 

  • Les nombre complexes

  • Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
 #1429    par dave35
 mercredi 16 août 2006 à 13:47
Je présente ici rapidement ce que sont les nombres complexes. Avant toute chose il faut maitriser un minimum les puissance et surtout comprendre le terme carré.

Je les présente aussi car ils sont important pour la physique quantique et la relativité générale. Ils interviennent en effet dans la résolution des équation du troisième degrés. Ce qui est magique dans tout ça, c'est que au final il arrive que l'on retombe avec nos inconnus dans le réel.

Donc un nombre complexe est en fait un nombre qui élevé au carré donne un nombre négatif. Ce qui est impossible avec les nombre réels.

Pour leur notation on utilise les chiffres arabe (ceux qu'on connait ) et la lettre i.

Pour se faire une représentation, imaginons une équation impossible à résoudre dans le réel :
x² + 1 = 0. (x au carré plus un égale zéro)

Là on a un véritable problème dans le réel, vu qu'on aura x² = -1, or c'est impossible puisque tout nombre réel élevé à la puissance 2 donne un nombre positif.

On va donc résoudre celà avec nos nombres complexes. Ici le résultat de notre équation serait i, c'est à dire x = i car par convention i² = -1. C'est donc ce qui nous intéresse, et le plus important.
De même on peut continuer avec i^3 = i^2*i = -1*i = -i.

On voit donc que seules les puissances divisiblent par 4 donne un nombre positif : i^4 = i^2 * i^2 = -1 * -1 = 1


Pour ceux qui font de la physique, on note aussi les nombres complexes avec le lettre j. Mais c'est la même chose :j² = -1

Le but de ces nombre est de pouvoir travaillé avec deux "chose" qui logiquement ne vont pas ensemble. Grace à eux on peut "additionner les choux et les carottes", pour prendre un exemple. Bon je sais qu'on vous a toujours dit qu'on ne peux pas faire ça, mais c'est faux.

Un exemple d'utilisation :un champ electromagnétique. C'est en fait une force électrique et une force magnétique. Or comment pouvoir faire des calcul pour la force résultante alors que ce sont deux force complètement différentes ? Et bien il suffit de prendre l'une de ces deux force pour un nombre complexe, ensuite les calculs se feront donc avec une force représenté dans le réel et une autre dans l'imaginaire.

Je sais que j'ai beaucoup résumé mais si vous avez des question hésitez pas. Je précise qu'en Fac beaucoup de gens n'arrive pas à comprendre, donc vous inquiétez pas, la notion est déroutante mais je voulais juste faire un aperçu pour que vous sachiez ce que veut dire nombre complexe... Pour bien expliquer il faudrait que je les aborde avec les vecteur et scalaire mais là c'est un cours entier qu'il faudrait.

Retenez que ce sont des nombres imaginaires, et que mathématiquement leur particularité vient du fait que au carré ils sont négatif.

 #1567    par Liresa
 lundi 21 août 2006 à 21:27
:S je suis un peu dérouté... hum moui j'ai pas trop compris lol. Je n'ai qu'une toute toute petite notion des puissances. Et par exemple si il y écrit : 50^2 (exemple par hasard je ne sais même pas quel nombre ca représente ^^""). Bon donc je ne pourrai comprendre les nombres complexes. Bon pour qu'on me reexplique ceci je sens que je vais avoir beaucoup de mal a comprendre :Y-17: . Bref voili voilou (pas trop compris les nombre complexes).

 #1569    par dave35
 lundi 21 août 2006 à 22:18
Pour nombre complexe, c'est pas grave. Ca porte bien son nom.

50^2 = 50 puissance 2 = 50*50 = 2500.
50^3 = 50 puissance 3 = 50*50*50 = 125 000

Quod erat demonstrandi. ( CQFD en français ;-) )

 #1572    par Liresa
 mardi 22 août 2006 à 09:22
:Y-17: Merci. Le problème c'est que j'arrive pas a retenir le "comment faire" mais si j'ai la leçon juste a coté c'est moins compliqué :Y-17: . Aia Aie ça me saoul... :oops: :P

 #3230    par quantique
 mercredi 17 janvier 2007 à 21:09
Allez, je vais être sadique : il y a aussi les nombres dits hypercomplexes qui fonctionnent en 4,8 et 16 dimensions, ce sont respectivement les quaternions, les octonions et les sédénions ; cette notion de dimension vient du fait que les nombres complexes standards a+bi (d'ailleurs les nombres réels sont un cas particulier des complexes dans lequel b=0) sont souvent utilisés pour représenter un plan, surface à 2 dimensions dont le nombre complexe aurait pour coordonnées (a,b) sur ce plan.

Si quelqu'un est intéressé ( = un fou dans la salle :) ), je peux expliquer la structure des hypercomplexes.

Je déborde un peu du cadre mais il serait aussi intéressant que l'on parle des grands, des très grands nombres qui nécessitent des notations particulières bien plus puissantes que la simple exponentiation ; attente, cela donne le vertige car pour écrire parmi les plus petits d'entre eux (oui, petits) en notation normale, toute la matière de l'univers n'y suffirait pas !! :shock:

 #3899    par actarus
 mercredi 29 août 2007 à 11:29
Bonjour

J'ai noté quelques erreurs dans le post du 17 janvier

Un nombre complexe n'a pas forcément un carré négatif. Par exemple le carré de 1 + 2i est -3 + 4i.Ce que vous avez écrit est vrai uniquement pour les nombres complexes imaginaires.

Le j est plutôt utilisé par les électriciens et électroniciens pour éviter la confusion avec le courant i.

Je ne suis pas du tout d'accord avec ce que vous avez écrit sur le champ électromagnétique. Premièrement, la véritable nature du champ électromagnétique est tensorielle. Deuxièmement, dans dans le cadre de la mécanique newtonnienne, l'action du champ électromagnétique sur une particule chargée électrique se traduit par la force de Lorentz qui est la somme de deux contributions : la force électrique et la force magnétique.Il n'a pas nécessité d'utiliser les nombres complexes pour traiter l'effet du champ électromagnétique sur la particule chargée.

Mais si on s'intéresse à la propagation du champ électromagnétique, il est clair qu'il vaut mieux faire avec les nombres complexes que sans.

Cordialement