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  • Équation de Friedmann

  • La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton.
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La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation. Elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton.
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 #43998    par Tutiou
 mardi 21 novembre 2017 à 19:56
D'accord ça prend en compte les longueurs et non les volumes ! Oui je vois, c'est logique :sunglasses:
 #43999    par Edji
 mardi 21 novembre 2017 à 20:06
Tutiou a écrit :D'accord ça prend en compte les longueurs et non les volumes
Bah si. Un cube de 1x1x1 cm (de longueur) fait 1 cm cube (de volume). Un cube de 2x2x2 cm (de longueur) fait 8 cm cube (de volume). Donc, il octuple bien, comme dit oncle Bongo. :thumbsup:
 #44001    par Tutiou
 mardi 21 novembre 2017 à 20:41
Oui mais le facteur d'échelle évalue les distances entre les galaxies et donc la première dimension. Si l'on transpose tout ça aux trois dimensions, on octuple bien :slightly_smiling_face:
 #44007    par bongo
 jeudi 23 novembre 2017 à 16:20
J'en profite un peu pour mettre en équation.
Imaginons les points suivants de coordonnées :
- O, le point origine (0,0,0)
- A (x,0,0)
- B (0,y,0)
- C (0,0,z)

Ces points ne bougent pas, mais définissent un trièdre sur lequel on peut construire un parallélépipède.
Quelle est la distance entre le point O et le point A ?
Tout le monde va me dire fastoche, c'est :
OA = racine de (0-x)² + (0-0)² + (0-0)² = racine de x² = valeur absolu de x

Oui mais... dans quelle unité ? Ah ben oui, on a oublié de préciser quelle état la longueur des vecteurs unitaires de la base que l'on utilise.

En fait quand on écrit les coordonnées d'un point M(x,y,z), on ne dit pas que c'est en fait :
vecteur OM = x e_x + y e_y + z e_z
Et quand on calcule la distance OM, on fait simplement un produit scalaire :
distance OM = racine carré de vecteur OM scalaire vecteur OM = racine ( vec OM . vec OM)
soit :
distance OM = racine de x² + y² + z²

Sauf que... en fait si on développe le produit :
vecteur OM scalaire vecteur OM =
x e_x . x e_x + x e_x . y e_y + x e_x . z e_z
+ y e_y . x e_x + x e_x . y e_y + y e_y . z e_z
+ z e_z . x e_x + z e_z . y e_y + z e_z . z e_z
Il y a 9 termes, (c'est le développement d'un produit d'une somme de 3 termes).

Comme c’est long à écrire, on aime condenser la relation en :
vecteur OM scalaire vecteur OM = OM_i . OM_j g_ij
où OM_i sont les composantes du vecteur OM (i=1 coordonnée sur l’axe x, i=2, coordonnée sur l’axe y, i=3 coordonnées sur l’axe z).

On voit ici g_ij qui est le produit scalaire des vecteurs de base :
g_ij =e_i . e_j

g_ij = [ 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1]

J’ai oublié de dire que i et j sont des indices de sommation où i et j prennent les valeurs de 1 à 3 dans cet exemple.
g est seulement que l’on appelle le tenseur métrique (trop long à introduire proprement).

Bon revenons à nos moutons. Le facteur d’échelle intervient dans la métrique,  a² g_ij au lieu de g_ij.

Quand on s’occupe de longueur, on voit que :
OA = racine (OA_i . OA_j a² g_ij) = ax
De même pour les autres coordonnées.
Le volume donne :
OA.OB.OC = ax . ay . az = a^3 xyz = a^3 Volume initiale
Donc quand on passe de a=1 à a=2… on voit bien que le volume octuple bien.
 #44010    par Tutiou
 jeudi 23 novembre 2017 à 19:31
En fait c'est juste l'intervention du facteur d'échelle a² qui mène au résultat. Par contre, avec vecteur OM scalaire vecteur OM = OM_i . OM_j g_ij tu prends tous les cas avec les neuf termes mais au final ce n'est pas nul que pour i=j. C'est bien ça ? :slightly_smiling_face:
 #44015    par bongo
 vendredi 24 novembre 2017 à 17:19
En effet, ici g_ij = delta_ij (symbole de kronecker) parce que l'on est dans le cas d'une base orthonormée.

Par contre g_ij est bien un tenseur d'ordre 2, ses composantes sont le produit scalaire deux à deux de toutes les combinaisons possibles des vecteurs de la base.
Puisque le produit scalaire est symétrique, le tenseur est également symétrique.