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  • 0.99999999...=1

  • Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
 #12535    par Bretzel
 dimanche 19 juin 2011 à 18:35
Je vais mettre mon grain de poivre, bien que ce sujet soit ancien, mais je connais ce forum depuis moins d'une semaine.

x = 0.99999... = 1 - 10-n
9 + x = 10 - 10-n
10x = 10 - 101-n
Si 9 + x = 10 x alors 9 + x - 10 x = 0 .
10 - 10-n - 10 + 101-n
= 101-n - 10-n
=(10-1)10-n
=(9)10-n valeur tendant vers zéro, mais néanmoins différente de zéro.
La proposition 0.999999...= 1 est donc fausse

Le piège à éviter est que l'on accepte souvent une relation comme vraie sans la vérifier. Point
n'est besoin de faire apparaitre des nombres exotiques, nous sommes ici dans les réels tout ce qui a de plus banal, et ils fonctionnent bêtement comme des réels.

je viens de m'apercevoir, en rédigeant ce post, d'une simplification possible dans la démarche .
Que cherche-t'on en fait ? Ce n'est pas la valeur de x puisque on l'a ! En effet x = 0.99999...., la condition 9 + x - 10x =0 n'est vraie que si x = 1, or x = 0.9999999..., donc elle est fausse et ne sert à rien ! A quoi peut bien être utile un système dans lequel on ajoute des conditions fausses ?
Généralement, on cherche plutôt à rajouter des conditions vraies !

Saint-Exupéry a dit :" la vérité n'est pas ce qui démontre, mais ce qui simplifie".

Allez, à plus, pas fâchés du grain de poivre ?
 #17768    par Gbs
 samedi 12 mai 2012 à 09:06
Bretzel a écrit : 9 + x = 10 - 10-n
10x = 10 - 101-n
Si 9 + x = 10 x alors 9 + x - 10 x = 0 .
N'est-ce pas là, somme toute, que se trouve ton erreur ? Tel que c'est écrit, 9 + x - 10 x = 101-n - 10-n et non 0....

Puisque je parle de somme, la notation décimale avec une partie décimale pouvant comportée un nombre infinie de chiffres, comme 1/3 = 0,333... est en fait comprise comme une somme, il en est d'ailleurs de même de toutes les notations de nombre. Par exemple 1/8 = 0, 125 = 0 + 1 x 10-1 + 2 x 10-2 + 5 x 10 -3.
On peut "aisément" vérifier la convergence de ces séries (somme pour les non matheux), c'est même ainsi que l'ensemble des réels est construit (pour les matheux c'est le caractère complet de R)

Pour 1/3 on obtient 1/3 = ∑ 3 . 10-n pour n allant de 1 à l'infini.

Revenant à notre problème, il vient, en économisant l'écriture n allant de 0 à l'infini :
x = 0,9999... = ∑ 9 . 10-n d'où 10 x = ∑ 9 .10 1-n = 9.100 + ∑ 9 . 10-n = 9 + x.

A partir de là le raisonnement initial du post est totalement rigoureux....n'en déplaise à certains x-teacher
Dernière modification par Gbs le samedi 12 mai 2012 à 12:37, modifié 1 fois.
 #17771    par bongo
 samedi 12 mai 2012 à 09:53
Une autre façon de le dire est que 0.99999... est la limite en +infini de la suite u_n telle que :
u_n = 1 - 10^{-n}

Ou bien dit autrement :
u_n = 9 * Somme 10^{-k}, k = 1 à n
u_n = 9 * 10^{-1} * (1-10^{-n})/0.9 = 1-10^{-n}

La limite se calcule aisément, puisque pour tout epsilon > 0, l'on a 1 - epsilon < u_n < 1 à partir d'un certain rang donné.

En effet, il suffit de prendre :
1 - epsilon < 1 - 10^{-n}
10^{-n} < epsilon
-n < log epsilon
n > - log epsilon
Donc on prend N = partie entière de (-log epsilon) + 1
 #21656    par soralien
 mardi 27 novembre 2012 à 22:39
intéressant... mais dans ce cas, est ce qu'on peut en déduire que lorsque qu'un nombre décimal ne se termine pas, il peut tout le temps avoir une valeur finie d'un nombre réel ???
 #21691    par Gbs
 mercredi 28 novembre 2012 à 10:07
Non absolument pas, contre-exemple : 1/3 = 1,33333333333.....
Ô le vilain, je voulais bien sur écrire 1/3 = 0,3333333

Seuls les rationnels (fraction de 2 entiers) ont une partie décimale périodique, c'est même un point qui échappe à beaucoup d'enseignants et qui permet d'avoir une définition des décimaux assez chaotique d'un ouvrage à l'autre. Pour certains les décimaux ont une partie décimale finie (c'est donc des quotients d'un entier par une puissance de 10 donnée), d'autres ajoutent les parties périodiques (donc c'est un rationnel), d'autres parlent de parties décimales infinies et quelconque et là ça n'a plus de sens car même les irrationnels comme le célèbre π vont entrer là-dedans. Bref tout ça pour dire que les nombres décimaux et, à défaut de consensus sur leur définition, l'écriture décimale sont bien pratique à l'usage mais ne sont pas très rigoureusement utilisées.
Dernière modification par Gbs le jeudi 29 novembre 2012 à 21:49, modifié 1 fois.
 #21717    par martins
 mercredi 28 novembre 2012 à 21:04
bonjour Mathematicien
tout d'abord somme nous d'accord que ?
10 PUISSANCE -10 -10 PUISSANCE -10 -10 PUISSANCE -10 -10 PUISSANCE10............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................10............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ne correspon pas à se que nous appelons l'infini, se chiffre existe belle et bien ,alors les probaliité qu un gaz (ou ???) sous certaine condition (presion/ chaleur ext.... ) NOUS DONNE UN RESULTA POSSITIVE ( FORME DE VIE EXTREMENT COMPLEXE ) existe belle est bien .