Astronomie, Univers, Planètes et Satellites du Système Solaire, Pratique de l'Astro, Astrophotographie, Théories Scientifiques 

  • POUR LYCÉENS ET ADULTES À L'AISE EN ALGÈBRE ET EN TRIGO (3ème exercice très amusant et enrichissant)

  • Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
Explication de notions mathématiques utilisées en astronomie et dans ce forum
 #45837    par professeur essef
 mercredi 26 septembre 2018 à 03:33
Voici un exercice dont j'avais posé une partie (en variante en fait, en partant de la géométrie), en contrôle de 2h pour une 1ère S, lorsque j'étais professeur (j'étais très optimiste au début de ma carrière, écourtée au bout de 12 ans ...).

Le but est de trouver les valeurs exactes [avec radicaux] des sinus et cosinus, pour les angles de 22,5° = π/8 15° = π/12 36° = π/5 voire même pour 3° = π/60 (dur dur) !

1) a) (facile) En remarquant que π/4 = 2 x π/8 donner les valeurs exactes de cos (π/8) et sin (π/8).
N.B : Cette question ne servira pas pour la suite : c'est pour "vous y préparer".
b) (facile) En écrivant 15° comme différence de 2 angles, donner les valeurs exactes de cos (π/12) et sin (π/12).
2) a) En remarquant que π/5 + 4 x π/5 = π et en posant a = cos (π/5), établir une équation [du 4è degré] en a .
b) Résoudre cette équation en remarquant qu'elle a une solution entière et une rationnelle évidentes, et en déduire la valeur de cos (π/5), puis celle de sin (π/5).
3) Décomposer 3° en une différence de 2 angles (il y a 2 façons), puis utiliser les résultats des questions précédentes plus un autre, pour en déduire les valeurs exactes de cos 3° et sin 3°

4) Pour les élèves de prépas et étudiants d'université seulement.
Je ne l'ai jamais tenté, mais à partir des formules du 3) il doit être possible de trouver les valeurs exactes de cos 1° et sin 1° (avec des racines carrées et cubiques, bien sûr), en établissant deux équations du 3è degré (laquelle des méthodes de résolution s'applique ici : celle de Cardan ou une autre ? Je ne sais pas).

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