Coordonnées de genre temps ou lumière en relativité générale

[dida10]

Bonjour
Je ne sais pas si je suis sur le bon forum...
Je ne comprends pas pourquoi certaines coordonnées sont décrétées de genre temps (respectivement lumière) alors que le g[a][a] associé n'est pas positif (respectivement nul) partout. Pour fixer les idées je travaille en signature (+,-,-,-).

Exemple 1
Pour les coordonnées d'Eddington-Finkelstein avancées, on est amené à introduire une nouvelle coordonnée p=ct+r+r[s]ln(abs(r/r[s]-1)). p est décrétée du genre lumière (e.g. in Hobson et Al), alors que :
ds^2=(1-r[s]/r)dp^2-.... et que 1-r[s]/r n'est pas identiquement nul...

Exemple2
Toujours dans le même cadre, on définit une coordonnée ct'=p-r, décrétée du genre temps, alors que :
ds^2=c^2(1-r[s]/r)dt'^2-.... et que c^2(1-r[s]/r) n'est positif que pour r>r[s]

Merci de m'expliquer ces bizarreries ou de m'indiquer un forum plus approprié.

[bongo]

Bonjour
Je ne sais pas si je suis sur le bon forum...
Je ne comprends pas pourquoi certaines coordonnées sont décrétées de genre temps (respectivement lumière) alors que le g[a][a] associé n'est pas positif (respectivement nul) partout. Pour fixer les idées je travaille en signature (+,-,-,-).

Tu peux citer dans quel cours ce genre de chose est décrété ?

Parce que franchement, je ne comprends pas.
Et selon toi, les coordonnées cartésiennes sont de quel genre ? (x,y,z,t)

Pour moi, tu ne peux pas parler de coordonnées de genre temps / isotrope – lumière / espace, mais tu peux parler de vecteur du genre temps / isotrope – lumière / espace.
Des coordonnées, ça reste des coordonnées.
Par contre, quand tu regardes deux événements et que tu calcules leur intervalle d’espace-temps, suivant le signe de cet intervalle, tu vas pouvoir conclure.

Exemple 1
Pour les coordonnées d'Eddington-Finkelstein avancées, on est amené à introduire une nouvelle coordonnée p=ct+r+r[s]ln(abs(r/r[s]-1)). p est décrétée du genre lumière (e.g. in Hobson et Al), alors que :
ds^2=(1-r[s]/r)dp^2-.... et que 1-r[s]/r n'est pas identiquement nul...

Est-ce que tu parles de « General Relativity : an introduction for physicists » ? Tu peux citer à quel page tu lis ça ?

Exemple2
Toujours dans le même cadre, on définit une coordonnée ct'=p-r, décrétée du genre temps, alors que :
ds^2=c^2(1-r[s]/r)dt'^2-.... et que c^2(1-r[s]/r) n'est positif que pour r>r[s]

Merci de m'expliquer ces bizarreries ou de m'indiquer un forum plus approprié.

Est-ce que tu peux indiquer un lien électronique (je n'ai pas son ouvrage).

[dida10]

Merci Bongo, et excuse-moi de n'avoir pas répondu plus tôt, mais le week-end du premier mai m'a encore plus absorbé que la Relativité générale...

Le livre auquel je me réfère est effectivement « General Relativity : an introduction for physicists » dont tu trouveras sans difficulté le pdf librement téléchargeable.
p. 248, tu trouveras la définition du genre des coordonnées. Mais la définition est évidente : xa est du genre e.g. temps si le vecteur ea de la base naturelle associée est du genre e.g. temps, ce qui équivaut à gaa du tenseur métrique est positif (en signature (+,-,-,-)
En haut de p. 255, tu trouveras : "p, for historical reasons, is known as the advanced time parameter and is clearly a null coordinate". Clearly, tu parles !
Ensuite, fin du premier tiers de la p. 256, tu trouveras : "Since p is a null coordinate, which might be intuitively unfamiliar, it is common practice to work instead with the related timelike coordinate t' ". Timelike ? le g00 de la métrique, associé à t', est bien positif (voir le ds^2 aussi p. 256) pour r >rs, mais est négatif pour r<rs.
Voilà, encore merci pour ton intérêt

[bongo]

Merci Bongo, et excuse-moi de n'avoir pas répondu plus tôt, mais le week-end du premier mai m'a encore plus absorbé que la Relativité générale...

Pas de souci.
Par contre, je ne connais pas du tout ton niveau en relativité générale, ni en mathématiques, ni si tu suis un cours de RG ou si tu le fais purement et simplement en pur autodidacte, alors pas sûr que mes réponses puissent te convenir.

Le livre auquel je me réfère est effectivement « General Relativity : an introduction for physicists » dont tu trouveras sans difficulté le pdf librement téléchargeable.
p. 248, tu trouveras la définition du genre des coordonnées. Mais la définition est évidente : xa est du genre e.g. temps si le vecteur ea de la base naturelle associée est du genre e.g. temps, ce qui équivaut à gaa du tenseur métrique est positif (en signature (+,-,-,-)

Alors je ne sais pas si c’est l’anglais, ou si c’est une nouvelle façon de présenter la relativité, mais pour moi, des coordonnées n’ont pas de connotation du genre espace, ou du genre temps. En effet, les coordonnées en eux-mêmes n’ont pas de signification intrinsèque, tu peux parfaitement changer d’origine (des temps et d’espace) et changer ta pseudo norme qui se retrouvera du genre espace ou du genre temps.
La seule attribution de ce genre que tu puisse faire est sur les vecteurs. Et d’ailleurs dans la définition du chapitre 11.1 tu retrouves cette notion plus ou moins implicitement puisqu’ils parlent de changement de coordonnées x^\mu -> x’^\mu
Mais en même temps, il faut différentier les coordonnées en un point P donné d’où dx^\mu qui est bien une différence de coordonnées donc un vecteur.
A priori, étant donné une ligne d’univers paramétré, tu peux différentier par rapport à ce paramètre et déterminer si le vecteur tangent à cette ligne d’univers est du genre espace ou du genre temps.

En haut de p. 255, tu trouveras : "p, for historical reasons, is known as the advanced time parameter and is clearly a null coordinate". Clearly, tu parles !

En fait il faut se pencher sur l’origine des coordonnées d’Eddington-Finkelstein qui part du constat qu’il y a une difficulté dans la métrique de Schwarzschild au niveau du rayon éponyme. En fait c’est une singularité de coordonnées, et non physique, et en essayant de décrire un rayon purement radial : d\phi et d\theta = 0 on arrive à intégrer la métrique de Schwarzschild obtenant une équation avec une constante (puisque quand tu intègres et ben, tu l’as à une constante près) : ct = r + 2µ ln (r/2µ - 1) + p
Et pour décrire un rayon lumineux, et bien… cela est fait pour p = cste (puisqu’à l’infini on obtient alors des équations du genre ct = r + p).
p=0 est simplement pour décrire le photon qui passe à l’origine pour t=0. (c’est franchement pas si évident, je te l’accorde).

Ensuite, fin du premier tiers de la p. 256, tu trouveras : "Since p is a null coordinate, which might be intuitively unfamiliar, it is common practice to work instead with the related timelike coordinate t' ". Timelike ? le g00 de la métrique, associé à t', est bien positif (voir le ds^2 aussi p. 256) pour r >rs, mais est négatif pour r<rs.
Voilà, encore merci pour ton intérêt

Je t’avoue que je ne suis pas du tout familiarisé avec les cours à l’anglo-saxonne, mais je pense qu’il ne faut pas prendre timelike comme vecteur du genre temps, mais juste composante temporelle d'un événement ?

[bongo]

En relisant ton poste, je viens de comprendre ce que cela voulait dire.
Pour un jeu de coordonnées données (a0,a1,a2,a3) on peut définir des vecteurs naturels de la manière suivante :
\vec \partial _i = on prend toutes les coordonnées j différent de i constantes, et on fait varier i

C'est de cette façon que l'on obtient par exemple les vecteurs radiaux, orthoradiaux en coordonnées cylindriques / sphériques.

Le fait est que quand on parle du genre des coordonnées, on cherche à avoir en fait le genre du vecteur naturel associé.

Dans ta dernière interrogation, et bien une coordonnée peut changer de genre, elle peut avoir un genre qui dépend du point (de l'événement considéré).

Et dans ton cas particulier, le genre de la coordonnée t' n'est pas donné simplement par le signe de g_{00}, mais c'est un peu plus subtile, parce que le tenseur métrique n'est pas diagonal. Il faudrait revenir à la définition précise pour reconfirmer si t' est bien du genre temps partout.