OK, je vois mieux pour ce d !Tu peux le voir en prenant les transformations de Lorentz :
Donc si ds² ne change jamais, ça veut dire que c²dt²-dx²-dy²-dz² "se compense", c'est-à-dire que si la valuer d'un paramètre augmente, celle d'un autre diminue, non ? Je vois cette partie de l'équation divisée en deux : d'un côté c²dt², le temps, et de l'autre, -dx²-dy²-dz², l'espace, et que si l'un augmente, l'autre s'adapte pour atteindre ds². C'est un bon raisonnement ?
t = gamma(t’+vx’/c²)
x = gamma(x’+vt’)
y = y
z = z
Avec gamma = 1/ racine carré de (1-v²/c²)
Il est facile de montrer que dy’=dy et dz’=dz
Si tu différenties les deux premières tu obtiens :
dt = gamma(dt’+vdx’/c²)
dx = gamma(dx’+vdt’)
(puisque tous les autres facteurs qui interviennent sont des constantes), après il suffit d’insérer dans l’expression :
ds² = gamma²(c²dt’² + 2vdx’dt’ +v²dx’²/c² –dx’² - 2 vdx’dt’ - v²dt’²) - dy’² - dz’²
On voit que le terme croisé se compense, en factorisant ce qu’il faut on obtient :
ds² = gamma²(c²dt’²(1-v²/c²) – dx’²(1-v²/c²) - dy’² - dz’²
Soit avec l’expression de gamma :
ds² = c²dt’² – dx’² - dy’² - dz’²
En fait c’est un peu plus compliqué que ça, parce que quand tu remplaces dt par dt’, et bien dt’ est un mélange de dt et dx, ce qui peut faire augmenter l’expression temporelle, de même quand tu remplaces dx par dx’ qui contient un mélange de dx et dt, et bien ça augmente un peu la composante spatiale, ce qui fait que la différence des carrés se compensent.
Et j'ai toujours du mal à comprendre ds². L'intervalle d'espace-temps ? C'est la première fois que j'entends cette expression.S’il est positif, et que tu le divise par c², et que tu en prends la racine : dtau = racine(ds²/c²), tu obtiens quelque chose homogène à un temps. C’est en fait le temps propre. C’est-à-dire que tu as deux événements E1 et E2, séparés par un intervalle du genre temps (pour avoir ds²>=0), ces deux événements sont causalement reliés.
Cela veut dire que tu peux trouver un référentiel où ces deux événements ont lieu au même endroit (à l’origine du repère par exemple). Et bien dtau (qui correspond à l’intervalle d’espace-temps) correspond à la durée mesurée dans le référentiel que je viens de citer.
Et pourquoi on travaille ici avec des différences ?En fait cela vient du constat que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels. Ca veut dire qu’un rayon lumineux parcourt une certaine distance pendant une durée donnée :
c²dt² = dx² + dy² + dz²
Soit : c²dt² - dx² - dy² - dz² = 0
Le postulat de la relativité dit que la quantité ds² définie au-dessus (mais qui est nulle pour un photon) est invariant dans tous les référentiels.
