J'en profite un peu pour mettre en équation.
Imaginons les points suivants de coordonnées :
- O, le point origine (0,0,0)
- A (x,0,0)
- B (0,y,0)
- C (0,0,z)
Ces points ne bougent pas, mais définissent un trièdre sur lequel on peut construire un parallélépipède.
Quelle est la distance entre le point O et le point A ?
Tout le monde va me dire fastoche, c'est :
OA = racine de (0-x)² + (0-0)² + (0-0)² = racine de x² = valeur absolu de x
Oui mais... dans quelle unité ? Ah ben oui, on a oublié de préciser quelle état la longueur des vecteurs unitaires de la base que l'on utilise.
En fait quand on écrit les coordonnées d'un point M(x,y,z), on ne dit pas que c'est en fait :
vecteur OM = x e_x + y e_y + z e_z
Et quand on calcule la distance OM, on fait simplement un produit scalaire :
distance OM = racine carré de vecteur OM scalaire vecteur OM = racine ( vec OM . vec OM)
soit :
distance OM = racine de x² + y² + z²
Sauf que... en fait si on développe le produit :
vecteur OM scalaire vecteur OM =
x e_x . x e_x + x e_x . y e_y + x e_x . z e_z
+ y e_y . x e_x + x e_x . y e_y + y e_y . z e_z
+ z e_z . x e_x + z e_z . y e_y + z e_z . z e_z
Il y a 9 termes, (c'est le développement d'un produit d'une somme de 3 termes).
Comme c’est long à écrire, on aime condenser la relation en :
vecteur OM scalaire vecteur OM = OM_i . OM_j g_ij
où OM_i sont les composantes du vecteur OM (i=1 coordonnée sur l’axe x, i=2, coordonnée sur l’axe y, i=3 coordonnées sur l’axe z).
On voit ici g_ij qui est le produit scalaire des vecteurs de base :
g_ij =e_i . e_j
g_ij = [ 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1]
J’ai oublié de dire que i et j sont des indices de sommation où i et j prennent les valeurs de 1 à 3 dans cet exemple.
g est seulement que l’on appelle le tenseur métrique (trop long à introduire proprement).
Bon revenons à nos moutons. Le facteur d’échelle intervient dans la métrique, a² g_ij au lieu de g_ij.
Quand on s’occupe de longueur, on voit que :
OA = racine (OA_i . OA_j a² g_ij) = ax
De même pour les autres coordonnées.
Le volume donne :
OA.OB.OC = ax . ay . az = a^3 xyz = a^3 Volume initiale
Donc quand on passe de a=1 à a=2… on voit bien que le volume octuple bien.