Je suis pas sensé tout connaitre --'. D'ailleurs il y a plein de chose que tu ne connais pas dont je connais. Et inversement !
Un groupe c'est une structure algébrique comprenant un ensemble E, et une loi de composition interne "o" (rond, qui fait abstraction que ce soit une opération normale "+" pour l'addition, "x" pour la multiplication etc...).
Un groupe (E,o) est défini de la façon suivante :
G1 Loi de composition interne : Soit deux éléments quelconques (a,b) de E, alors a o b appartient à E
G2 associativité de "o" : Soit 3 éléments quelconques (a,b,c) de E, alors (a o b) o c = a o (b o c)
G3 existence d'un élément neutre e : quelque soit a de E, il existe un e dans E tel que : a o e = e o a = a.
G4 existence d'un inverse : quelque soit a de E, il existe un élément b de E, tel que : a o b = b o a = e
Donc ce sont les propriétés d'une structure de groupe.
Ensuite... on a montré qu'il y a un invariant fondamental, qui correspond aux postulats de la relativité restreinte :
ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² (la notation tensorielle serait plus pratique, mais elle serait illisible sur le forum).
Tu as des transformations linéaires qui respectent cette pseudo-norme : les matrices Λ.
Je zappe les détails, mais les transformations spéciales de Lorentz laissent invariantes les coordonnées y et z (translation parallèlement à Ox).
On dit orthochrone, parce que le coefficient diagonal temporel de la matrice Λ est de signe positive pour la transformation du temps (donc dans les deux repères, le temps s'écoule dans le même sens).
Le groupe de Poincaré généralise les transformations de Lorentz, incluant une translation selon un axe quelconque, et comportant une rotation globale des axes, et n'ayant pas la même origine.
Après je peux aussi te parler des groupes de Lie, qui sont des groupes de transformation infinitésimale, (ce que sont le groupe de Poincaré et a fortiori le groupe de Lorentz, qui peuvent être vu comme une rotation hyperbolique dans l'espace-temps de Minkowski), par opposition à des groupes discrets. Mais... ça serait une encyclopédie qu'il faudrait écrire... mais bon cela entre plutôt dans un cours en Master ou en DEA (Diplôme d'études approfondies)...