F(x) = − dEp/dx = − K.x + A.K.x2.
Je vais peut-être commenter cette équation. L'énergie potentielle est donnée par la relation :
Ep = 1/2 K x^2 - 1/3 AK x^3
x est bien la position du mobile. On prend usuellement une valeur de K positive car lorsque l'on écarte x de la position 0 (qui correspond à un point d'équilibre), alors l'énergie potentiellement augmente, de sorte que le mobile revienne à sa position de départ.
A partir de l'énergie potentielle, on dérive une force ou un champ de force en calculant le gradient (en fait vecteur F = - gradient de l'énergie potentielle)
Kartazion a écrit : ↑samedi 25 juillet 2020 à 07:14Ce que vous citez correspond uniquement à la force en rapport du potentiel.
Mais l'équation finale de l'oscillateur avec laquelle on travaille, et qui est présentée est celle-ci :
m(d²x/d.t²) - Kx + AKx³ = 0
Alors... cette équation ne dérive absolument de la précédente. Puisque si on applique le principe fondamental de la dynamique, on a : m accélération = Force
Donc si on reprend la première relation on aurait eu :
m (d²x/dt²) = -Kx + AKx²
ce qui n'est absolument ce qui est mentionné...
Je vais tout de même faire un commentaire sur le signe de K, qui est une constante de raideur d'un ressort.
Quand on déplace le mobile en un point x (disons positif), alors si on néglige le terme x², on voit que la force de rappel est opposée à x (dans le cas x positif la force est orientée vers la gauche, et ramène donc le mobile au point d'équilibre, on a un point d'équilibre stable, condition sine qua none pour avoir un oscillateur).
Par contre si on considère le terme en x^2 ou x^3, il faudrait dessiner le potentiel qui dépendra du signe de A.
Usuellement si A est positif, on voit qu'à partir d'une certaine amplitude, le terme carré prendra le dessus sur le terme linéaire, et donc la force va amplifier le déplacement vers la droite, et là on perd la notion d'oscillateur.
Kartazion a écrit : ↑samedi 25 juillet 2020 à 07:14Là je ne fais que reprendre ce qui est déjà développé sur le forum.
Avec m(d²x/d.t²) - Kx + AKx³ = 0
Substitutions des constantes m, A et K :
K = −am
AK = bm
Alors l'équation devient :
d²x/dt² + ax + bx³ = 0
Tu peux substituer ce que tu veux, mais il faut comprendre ce qui est écrit...
Dans le cas où tous les termes sont positifs on a bien un oscillateur (mais au prix d'une erreur de signe dans la dérivation des équation + une attribution arbitraire des coefficient avec des signes arbitraires).
