Les géodésiques, dans la géométrie euclidienne (si je ne dis pas de bêtises), sont les droites. La lumière emprunte toujours le chemin le plus court pour aller d'un endroit à un autre, on est d'accord ? Du coup, elle devrait aller en ligne droite. SAUF que l'équivalent des lignes droites, au voisinage d'un trou noir, sont des lignes courbées par l'espace-temps (géodésiques). C'est le chemin le plus court pour contourner le trou noir.
Si tu veux c’est les chemins qui ont un temps propre nul.
Parce qu’effectivement, dans un espace-temps plat, (minkowskien), c’est la ligne droite qui est empruntée par la lumière ou tout corps (même trajectoire), même si pour l’un c’est : temps propre nul, et pour l’autre, le chemin qui maximise le temps propre).
Dans un espace courbe, et bien ce ne sont pas les mêmes trajectoires.
Si tu veux, la lumière va tout droit sur une courbe. C'est comme la Terre, elle suit les géodésiques formées par la gravité du Soleil. Du coup, la vitesse n'est pas diminuée. Un autre raisonnement est plus simple : la célérité de la lumière reste la même dans le vide, c'est une constante (environ 300 000 km/s).
En fait pour le dire autrement, quand tu es un observateur, et que tu veux mesurer la vitesse de la lumière, tu te mets dans le référentiel en chute libre, et tu vas voir la lumière avancer en ligne droite, et aller à la vitesse c.
Si tu n’es pas dans un référentiel en chute libre, ça n’a pas de sens de mesurer des distance et durée dans ton référentiel accéléré.
Pour ta seconde question, la dernière explication suffit pour dire que le rayon lumineux n'ira pas plus vite s'il traverse un trou noir. Rien ne peut dépasser la vitesse de la lumière, d'après ce qu'on sait. Seul l'expansion de l'Univers viole cette règle (mais on parle d'espace-temps, je pense que c'est un peu spécial). Je ne suis pas sûr à 100% pour cette réponse, car on parle aussi de déformation d'espace-temps.
En fait on parle de causalité, ce qui veut dire qu’aucune information (lumière, objets) ne peut dépasser la vitesse de la lumière. Le fait que l’expansion puisse se faire à une vitesse supérieure n’est pas un problème en soit.
D’ailleurs il est impropre de parler de vitesse, c’est un taux d’expansion (un valeur par seconde qui traduit l’augmentation du facteur d’échelle par unité de temps). Par exemple si tu as 2 / seconde, ça veut dire que chaque seconde quelque soit les distances que tu mesures, celles-ci doublent toutes les secondes.