Bonjour ami(e)s lodeli et bongo (en lycées ?)
Vos solutions sont différentes et pas mal du tout : félicitations !
Je vais quand même vous faire connaitre la mienne, qui est plus élégante (encore un concept disparu de l'enseignement, concept "en vigueur" à mon époque, surtout en géométrie)
Le nombre N cherché peut s'écrire abca (base 10) : je ne sais pas mettre le trait au-dessus
comme N est un carré parfait, on a donc abca = xy² (base 10), d'où :
1000a + 100b + 10c + a = (10x + y)² = 100x² + 20xy + y²
N étant un vrai nombre de 4 chiffres, donc xy (base 10 ) ≥ 32 (on est dans IN)
donc x ≥ 3, mais comme y n'est pas forcément ≥ 2, je traiterai à part le cas y = 1.
si x = 3 alors N = 100x² + 20 xy + y² = 900 + 60 y + y²
1er cas : y = 1 ⇒ a = y² = 1 donc N = 1000 + 100b + 10c + 1 = 100x² + 20x + 1 ≤ 1991
on a donc x ≤ 4 puisque 100.5² = 2500
31² = 961 < 1000, donc x = 4, mais comme 41² = 1681, cette solution est à écarter, puisque 1 + 6 + 8 + 1 = 16
2ème cas : y ≥ 2
l'égalité de base entraine donc 10c + a = y² car 20xy ≥ 20.3.2 = 120 (on est dans les centaines avec 20 xy); la suite coule de source, en effet :
y = 2 entraine y² = 4, donc a = 2 et c = 0 : à écarter
y = 3 ⇒ y² = 9, donc a = 9 et c = 0 : à écarter
y = 4 ⇒ a = 6 et c = 1, mais comme a + b + c + a = 18 alors b = 5
N vaut donc 6516 qui n'est pas un carré
y = 5 ⇒ y² = 25, donc a = 5 et c = 2, donc b = 18 - 12 = 6
N vaut donc 5625 qui est le carré de 75
y = 6 ⇒ y² = 36, donc a = 6 et c = 3, donc b = 18 - 15 = 3 : à écarter car ici b = c (de plus 6336 n'est pas un carré)
y = 7 ⇒ y² = 49, donc a = 9 et c = 4 : à écarter car 9 + b + 4 + 9 ≥ 23 (de plus, on peut vérifier qu'il n'y a pas de carré 9b49 en prenant successivement les 7 possibilités pour b)
y = 8 ⇒ y² = 64, donc a = 4 et c = 6, donc b = 18 - 14 = 4 : à écarter car ici b = a (de plus 4464 n'est pas un carré)
y = 9 ⇒ y² = 81, donc a = 1 et c = 8, donc b = 18 - 10 = 8 : à écarter car ici b = c (de plus 1881 n'est pas un carré).
Conclusion : N = 5625 est la seule solution
Additif : comme je vous l'avais promis cher lodeli, cette solution (un peu comme la vôtre, et aussi celle de bongo) est valable même si on laisse tomber la condition 4; auquel cas l'exercice aurait 3 solutions (et non pas 2) :
N = 1681 = 41² (cas où y = 1)
N = 5625 = 75² (cas où y = 5)
N = 1521 = 39² (cas où y = 9)
Vos solutions sont différentes et pas mal du tout : félicitations !
Je vais quand même vous faire connaitre la mienne, qui est plus élégante (encore un concept disparu de l'enseignement, concept "en vigueur" à mon époque, surtout en géométrie)
Le nombre N cherché peut s'écrire abca (base 10) : je ne sais pas mettre le trait au-dessus
comme N est un carré parfait, on a donc abca = xy² (base 10), d'où :
1000a + 100b + 10c + a = (10x + y)² = 100x² + 20xy + y²
N étant un vrai nombre de 4 chiffres, donc xy (base 10 ) ≥ 32 (on est dans IN)
donc x ≥ 3, mais comme y n'est pas forcément ≥ 2, je traiterai à part le cas y = 1.
si x = 3 alors N = 100x² + 20 xy + y² = 900 + 60 y + y²
1er cas : y = 1 ⇒ a = y² = 1 donc N = 1000 + 100b + 10c + 1 = 100x² + 20x + 1 ≤ 1991
on a donc x ≤ 4 puisque 100.5² = 2500
31² = 961 < 1000, donc x = 4, mais comme 41² = 1681, cette solution est à écarter, puisque 1 + 6 + 8 + 1 = 16
2ème cas : y ≥ 2
l'égalité de base entraine donc 10c + a = y² car 20xy ≥ 20.3.2 = 120 (on est dans les centaines avec 20 xy); la suite coule de source, en effet :
y = 2 entraine y² = 4, donc a = 2 et c = 0 : à écarter
y = 3 ⇒ y² = 9, donc a = 9 et c = 0 : à écarter
y = 4 ⇒ a = 6 et c = 1, mais comme a + b + c + a = 18 alors b = 5
N vaut donc 6516 qui n'est pas un carré
y = 5 ⇒ y² = 25, donc a = 5 et c = 2, donc b = 18 - 12 = 6
N vaut donc 5625 qui est le carré de 75
y = 6 ⇒ y² = 36, donc a = 6 et c = 3, donc b = 18 - 15 = 3 : à écarter car ici b = c (de plus 6336 n'est pas un carré)
y = 7 ⇒ y² = 49, donc a = 9 et c = 4 : à écarter car 9 + b + 4 + 9 ≥ 23 (de plus, on peut vérifier qu'il n'y a pas de carré 9b49 en prenant successivement les 7 possibilités pour b)
y = 8 ⇒ y² = 64, donc a = 4 et c = 6, donc b = 18 - 14 = 4 : à écarter car ici b = a (de plus 4464 n'est pas un carré)
y = 9 ⇒ y² = 81, donc a = 1 et c = 8, donc b = 18 - 10 = 8 : à écarter car ici b = c (de plus 1881 n'est pas un carré).
Conclusion : N = 5625 est la seule solution
Additif : comme je vous l'avais promis cher lodeli, cette solution (un peu comme la vôtre, et aussi celle de bongo) est valable même si on laisse tomber la condition 4; auquel cas l'exercice aurait 3 solutions (et non pas 2) :
N = 1681 = 41² (cas où y = 1)
N = 5625 = 75² (cas où y = 5)
N = 1521 = 39² (cas où y = 9)
Dernière modification par professeur essef le mercredi 26 septembre 2018 à 02:21, modifié 1 fois.
