OÙ L'ALGÈBRE EST INEFFICACE DANS CERTAINS PROBLÈMES D'ARITHMÉTIQUE (4ème exercice pour tous)

[professeur essef]

Il arrive que l'algèbre, au lieu de simplifier les calculs, les complique !

Il existe un problème célèbre d'arithmétique datant du XVIIème siècle, connu sous le nom de "dernier théorème de Fermat" (ou grand théorème, ou conjecture de Fermat pour ceux qui ne l'apprécient pas trop ...), qui illustre bien cette affirmation (il a fallu attendre 1994, pour qu'un mathématicien anglais, du nom d'Andrew Wiles, résolve le problème en ....... 100 pages de calculs, et tenez-vous bien : il y a très très peu d'arithmétique dans ces 100 pages !!)

En voulez-vous un second exemple, plus à votre portée ? Le voici :

Quel est le plus petit nombre entier, qui, divisé
par 2, donne un reste de 1
par 4, donne un reste de 3
par 6, donne un reste de 5
par 8, donne un reste de 7
par 12, donne un reste de 11
par 14, donne un reste de 13
par 18, donne un reste de 17
et enfin par 20, donne un reste de 19 ?

Ne faites pas d'équation(s) pour résoudre ce "petit" exercice, vous vous compliquerez la vie pour rien; mais tâchez de trouver le "truc" qui vous en dispensera, et ensuite rappelez-vous juste de votre cours de 5ème de collège (hé oui !!!) à propos du ....

Amusez-vous bien, et ensuite si vous trouvez, collez vos amis.
Cordialement. professeur essef

[lodeli]

juste une question :
est ce que N > 1000

[professeur essef]

Bonsoir lodeli;
c'est exact, et vous me semblez doué en arithmétique, mais s'il vous plait, ne donnez pas votre solution ici, car je pense que des personnes voudraient la trouver par elles-même.
Et la trigo, c'est oublié ?
Cordialement. professeur essef.

[lodeli]

bonjour Prof

merci pour la reponse.
j'ai plutot de bons souvenirs en trigo, mais je ne vois pas bien comment l'introduire ici.
je ne donnerai pas de reponse (si je trouve), mais juste un moyen de controle

[Gbs]

Juste pour affirmer que si : l'algèbre ça sert....Le but de l'algèbre est de dégager des principes généraux. Ici on parle d'un seul exemple, donc oui bien sûr que la méthode par essais/échecs est plus efficace que de sortir le théorème des restes (chinois) mais ce n'est absolument pas l'idée du théorème : il est là justement pour marcher dans le cas général...celui où le tâtonnement est contre productif, celui qui va permettre de sortir de l'impasse pour aller casser du code de chiffrement (bon ok là c'est pas forcément un bon exemple que de dire que la NSA réussit à lire votre correspondance personnelle).
On peut multiplier les contraintes sur ton exemple...et à la fin arriver à un monstre de calcul infaisable à la main ou presque. Est-ce que ça prouvera quelque chose ?

Quant à l'exemple du grand théorème de Fermat : il y a longtemps qu'on "sait" que Fermat n'avait certainement aucune démonstration correcte et juste vu une simple conjecture. Tout l'intérêt de ce résultat réside dans le fait que pour confirmer ou infirmer cette conjecture il a fallut développer de nouveaux outils qui ont été très utiles pour toute autre chose.

C'est un peu comme si on disait que la Formule 1 ne sert qu'à frimer et qu'on oublie que les pneumatiques du grand public, le turbo de tous les moteurs de camions ou de voitures familiales (et actuellement les couples moteurs électriques/batteries/récupérateur d'énergie des formules E) ont été d'abord développés pour justement la compétition.

Sinon, brute force attack en python...sans intérêt je l'accorde....mais efficace ici puisque ce sont de "petits" calculs :
n=1
while n%2!=1 or n%4!=3 or n%6!=5 or n%8!=7 or n%12 !=11 or n%14!=13 or n%18!=17 or n%20!=19:
n+=1
print(n)

[tartine salée]

Bonsoir Mr lodeli;
Mon ami le professeur essef, qui est aussi votre ami (d'après vous), vous demande d'essayer de le contacter directement, ou par mon intermédiaire, en demandant mon adresse mail à l'administrateur de ce site.
Vous pourriez si vous le désirez, discuter math ou physique, mais plutôt physique, d'après ce que j'ai cru comprendre, en réunion éventuelle à Paris, avec MM. mimata et gbs; il traitera 2 ou 3 questions, issues de ses messages sur ce site.

Bien cordialement.