Démonstration que 0!=1

[extrazlove]

Bonjour a tous


Soit la suite Vn défini par son terme générer Vn+1=n*Vn=!n et n sur N.

Donc

V0=0!=V0

V1=1!=1*V0

V2=2!=2*1=2*V1

V3 3!=3*2*1=3*V2

V4=4!=4*3*2*1=4*V3

…

Vn=n*(n-1)…..=n*Vn-1

vous remarquez que V1=V0.

Donc 0!=1

Et si vous dite non si c'est peut être V0=0 bah non car regarder Sn=U0+U1+U2+U3+...=U0(1+1+2+......)

Donc si j'ai U0=0 Sn vas converger vers 0 et pas croitre comme une somme de factoriel et c'est absurde c'est pour ça on a que V0=V1=1=0! depuis la suite.

Est ce que ma démonstration est juste car j'ai vu sur net qu c'est juste une Notation?

[extrazlove]

si je choisi Vn=ln-1l! donc Vn+1=lnl!=n! Vn+1/Vn=n!/ln-1l! =ln!/(n-1)!l=lnl=n donc Vn+1=n*Vn avec n#1#0 et V2/V1=2!/0! donc j'ai 0!#0 pour n=1 et V0=1! pour n=0.
V0=l0-1l!=1!=y=V0
V1=l1-1l!=0!=x=V1
V2=l2-1l!=2!=2*V1
V3=l3-1l!=3!=3*V2=3*2*V1
V4=l4-1l!=4!=3*V3=4*3*2*V1
...
Vn=ln-1l!=n*Vn-1=n*(n-1)*....*2*1*V1=n!*V1 donc n!=Vn/V1=Vn/0! donc 0!=Vn/n!=l(n-1)!/n!l=1/n et je suis sur n=1 donc 0!=1=y et la je vais chercher y et je suis sur n=0 j'aurais V0=1! et V0=n!=0! donc 1!=1.

Est ce que c'est bon?

[Gbs]

Pour faire court, il y a 2 façons de définir la factorielle.
1) n ! =1x2x3...xn pour des nombres supérieurs ou égaux à 1 et on remarque alors que (n+1)!= (n+1)xn! Donc on généralise avec la définition par récurrence que tu as (mal) exploitée dans tes preuves.
2) on dit que n ! = nx (n-1)! MAIS il faut ajouter l'initialisation et on pose 0!=1.
C'est une définition et comme toutes les définitions il n'y a RIEN à prouver si ce n'est son intérêt.

On constate que 1!=1 et 2!=2 dans la première version donc on peut initialiser avec ça et se rendre compte qu'alors la relation 1!=1x0! Implique 0!=1...ce qui justifie bien le choix fait dans la définition.

Sinon ton histoire sur la divergence de la série a pas mal d'hypothèses cachées et la série des n ! n'a pas grand chose à voir avec celle d'une suite arithmétique que tu cites.