6-L'éther relativiste d'Einstein et l'espace-temps quaternionique

[externo]

Ce 6e et avant dernier épisode fait suite à la cosmologie euclidienne

https://forums.futura-sciences.com/disc ... stein.html
On sait qu'Einstein est revenu sur son idée qu'il n'y avait pas d'éther.
Voici deux textes où il traite la question :

https://en.wikisource.org/wiki/Ether_an ... Relativity
https://web.archive.org/web/20101104022 ... aether.htm

Ernst Mach, le premier après Newton à soumettre les fondements de la mécanique à une analyse approfondie, l'a bien perçu. Il a cherché à échapper à cette hypothèse de « l'éther mécanique » en réduisant l'inertie à une interaction immédiate entre la masse perçue et toutes les autres masses de l'univers. Cette vision était certes une possibilité logique mais, en tant que théorie de l'action à distance, elle ne peut plus être prise au sérieux aujourd'hui. L'éther mécanique - que Newton appelait "l'espace absolu" - doit rester pour nous une réalité physique. Bien sûr, il ne faut pas être tenté par l'expression éther en pensant que, comme les physiciens du XIXe siècle, nous avons en tête quelque chose d'analogue à la matière pondérable.

Parce qu'il n'était plus possible de parler, dans un sens absolu, d'états simultanés à différents endroits dans l'éther, l'éther est devenu, pour ainsi dire, quadridimensionnel, puisqu'il n'y avait aucun moyen objectif d'ordonner ses états uniquement par le temps. Selon la relativité restreinte également, l'éther était absolu, puisque son influence sur l'inertie et la propagation de la lumière était considérée comme étant elle-même indépendante de l'influence physique. Alors que la physique classique tenait pour acquis que la géométrie des corps était indépendante de leur état de mouvement, la théorie restreinte de la relativité affirmait que les lois de la géométrie euclidienne ne s'appliquaient qu'au positionnement des corps au repos les uns par rapport aux autres lorsque ces corps sont au repos par rapport à un repère inertiel.[1] Cela peut être facilement conclu à partir de la soi-disant contraction de Lorentz. Ainsi la géométrie, comme la dynamique, en est venue à dépendre de l'éther.

Ainsi, l'éther de la relativité générale diffère de ceux de la mécanique classique et de la relativité restreinte en ce qu'il n'est pas "absolu" mais déterminé, dans ses caractéristiques localement variables, par la matière pondérable. Cette détermination est complète si l'univers est fini et clos. Qu'il n'y ait, en relativité générale, aucune coordonnée d'espace-temps préférée associée uniquement à la métrique est plus caractéristique de sa forme mathématique que de son cadre physique.

Ce qui est fondamentalement nouveau dans l'éther de la théorie de la relativité générale par opposition à l'éther de Lorentz consiste en ce que l'état du premier est en tout lieu déterminé par des rapports avec la matière et l'état de l'éther dans les lieux voisins, qui relèvent de la loi sous la forme d'équations différentielles ; tandis que l'état de l'éther lorentzien en l'absence de champs électromagnétiques n'est conditionné par rien en dehors de lui, et est partout le même. L'éther de la théorie de la relativité générale se transmue conceptuellement en l'éther de Lorentz si l'on substitue des constantes aux fonctions de l'espace qui décrivent la première, sans tenir compte des causes qui conditionnent son état. Ainsi on peut dire aussi, je pense, que l'éther de la théorie de la relativité générale est l'aboutissement de l'éther lorentzien, par relativation.

... Mais même si ces possibilités mûrissent en une théorie réelle, nous ne pourrons pas nous passer de l'éther en physique théorique, c'est-à-dire d'un continuum doté de propriétés physiques ; car la relativité générale, aux points de vue fondamentaux desquels les physiciens s'en tiendront toujours, exclut l'action directe à distance. Mais toute théorie de l'action locale suppose des champs continus, et donc aussi l'existence d'un « éther ».

Son idée serait que l'éther est un milieu de propagation dans lequel un objet serait localement toujours au repos.
C'est à dire qu'en soi le référentiel de l'univers ne serait pas plus au repos absolu qu'une fusée.
Comment cela est-il conciliable avec un éther ? est-ce conciliable avec l'espace-temps de Minkowski ?

On sait que la réciprocité relativiste vient de ce que la fusée et la terre se pensent tous les deux au repos dans l'éther.
La terre pense que la fusée est en mouvement, qu'elle subit donc la dilatation du temps mais que par un effet d'optique elle s'imagine que c'est la Terre qui la subit.
En effet, l'effet doppler relativiste est indiscernable. Il est impossible de savoir si c'est la terre qui se déplace par rapport au médium ou si c'est la fusée.
Comme on peut le découvrir sur cette page, la dilatation du temps fait qu'il est impossible de distinguer si c'est la source de lumière ou si c'est le récepteur qui se déplace :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Dop ... ste_rapide
l'effet doppler final est identique, d'où la possibilité de supposer que c'est toujours "l'autre" qui se déplace.
Cependant, il y a aussi la contraction des longueurs, et, comme on va le voir, cet effet montre qui est en mouvement par rapport à quoi et donc qui subit la dilatation du temps.

L'éther relativiste d'Einstein n'est pas seulement l'espace (comme celui de Lorentz) mais l'espace-temps. La fusée dans son propre éther quadridimensionnel ou espace-temps se trouve au repos. Les effets temporels de la relativité l'empêchent de se voir comme étant en mouvement. Cet éther quadridimensionnel est l'éther relativiste.

Quand la fusée accélère, non seulement la terre et les autres planètes se contractent, mais l'intervalle qui les sépare aussi, ce qui signifie que l'éther relativiste se contracte spatialement et donc que la fusée est en mouvement par rapport à cet éther relativiste extérieur. Il n'y a aucune possibilité d'erreur, si l'éther se contracte spatialement c'est qu'il est en mouvement par rapport à nous ou qu'il n'existe pas. La fusée est donc en mouvement par rapport à l'éther relativiste extérieur.
Du point de vue de la fusée, elle est immobile, mais cela n'empêche pas que l'espace extérieur se déplace par rapport à elle, et si l'espace se déplace avec la terre cela revient au même que de dire que c'est la fusée qui se déplace par rapport à l'espace, donc le point de savoir qui se déplace et qui est immobile par rapport au milieu de propagation est résolu. La fusée a beau se trouver en quelque sorte immobile du fait des propriétés de l'éther relativiste, elle est quand même en mouvement par rapport à l'espace extérieur.

Il est facile de voir que la situation entre la fusée et la terre n'est pas symétrique. La dilatation du temps émane non pas de ce que la fusée se déplace par rapport à un référentiel absolu, mais de ce qu'elle se déplace par rapport à un environnement qui la contient. Pour elle, aller de l'arrière vers l'avant c'est remonter le temps, et son mouvement de l'arrière vers l'avant à travers l'espace extérieur a donc pour conséquence de retarder le passage de son temps relativement au passage du temps extérieur.

L'espace-temps d'Einstein est-il celui de Minkowski ? La réponse est non. Einstein a écrit :
That there are, in general relativity, no preferred spacetime coordinates uniquely associated with the metric is more characteristic of its mathematical form than its physical framework
D'après lui, la forme mathématique de la théorie n'est pas en accord avec la réalité physique. Même si on peut découper arbitrairement l'espace-temps de Minkowski, le véritable espace-temps correspondrait à un seul découpage. Du moins, en chaque point de l'espace-temps de Minkowski il n'existerait qu'un seule découpage physique. C'est l'ensemble de ces découpages physique qu'il appelle l'espace-temps physique, le reste ne constituant qu'un ensemble de coordonnées mathématiques.

La fusée, du point de vue extérieur, est en mouvement. Par le changement de simultanéité, de son point de vue, la fusée annule ce mouvement, la lumière reste isotrope, et ce sont au contraires les objets extérieurs qui se déplacent. L'éther est immobile pour la fusée.
Mais pour la fusée, l'espace extérieur est comprimé, cette compression est la preuve d'une différence d'orientation spatio-temporelle entre la fusée et son environnement. Même si l'éther paraît immobile par rapport à la fusée, la fusée décèle son propre mouvement par rapport à son environnement par cette différence.

Pour l'espace extérieur, la fusée se déplace dans la direction de son passé (décalage des horloges à l'intérieur de la fusée), ce qui ralentit le passage du temps. Cela revient au même que de dire qu'un aller retour de la lumière d'une extrémité à l'autre de la fusée prend plus de temps vu depuis l'espace extérieur.
Pour la fusée, c'est l'espace extérieur qui se déplace dans la direction de son passé, cette partie est donc symétrique, mais là où ça ne l'est plus, c'est que cela revient à dire que la fusée se déplace dans le futur de l'espace extérieur. Cela vient de ce que la fusée se déplace dans l'espace mais que la réciproque n'est pas vraie.
La fusée de son côté, utilisant son propre axe du temps pour mesurer le passage du temps sur la Terre, commet une erreur de mesure par perspective, car ses axes d'espace et de temps ne sont pas adaptés pour mesurer l'espace-temps extérieur.

Une observation : quand la fusée accélère tout l'univers se contracte, c'est quelque chose qui est trop souvent négligé dans les analyses. C'est capital, puisque ça démontre que la fusée n'est pas dans le même référentiel que l'univers après son accélération (on ne tient pas compte de l'expansion de l'univers). D'où la non-symétrie. On peut imaginer que la fusée accélère et que l'univers se dilate, dans ce cas la fusée ralentit. Accélération ou ralentissement son indiscernables, mais ils changent l'état de mouvement de la fusée par rapport à l'univers, vides compris, pas seulement par rapport aux objets matériels qui le peuplent, c'est pour cela que malgré l'éther relativiste la symétrie entre la Terre et la fusée n'est pas réelle et que partout le référentiel local de l'univers est celui où le temps passe le plus vite possible.

Du point de vue de la fusée les ondes de l'éther sont isotropes, de même que du point de vue de l'espace extérieur. Elles sont isotropes, et pourtant elles sont contractées, ce qui signifie que la contraction ne vient pas de l'éther qui se contracte pour transmettre l'énergie. Elle vient de ce que les étalons de mesure de la fusée sont appliqués à l'espace extérieur. La longueur qui se conserve n'est pas la longueur d'espace mais la longueur d'espace-temps. Si on considère que la fusée commet une erreur de mesure alors elle est bien en mouvement par rapport à l'espace à 3 dimensions.

Si maintenant on suppose que l'éther est quadridimensionnel, la mesure de la fusée n'est pas fausse, elle est faite dans un autre point de vue. Les dimensions x² + t² de l'éther sont respectées dans tous les points de vue. L'éther semble immobile par rapport à la fusée comme par rapport au reste de l'univers. Du point de vue de la fusée l'espace extérieur est un espace-temps et elle s'y trouve immobile, alors que du point de vue de la Terre (supposée dans le référentiel de l'éther) l'espace est bien l'espace et elle s'y trouve immobile. La Terre peut donc appliquer la mécanique classique de propagation des ondes à la fusée et trouver que la fusée subit la dilatation du temps parce qu'elle est une onde stationnaire mobile mais elle a l'impression que c'est l'espace extérieur qui la subit parce qu'elle mesure cet espace avec de mauvais étalons. La fusée, de son point de vue, se trouve en effet en mouvement par rapport à l'espace extérieur à 3 dimensions et peut comprendre que ses étalons de mesure sont faussés et qu'elle doit prendre en compte le temps dans la longueur spatiale extérieure afin de trouver des mesures correctes. Pour la fusée, la Terre s'éloigne à la fois dans l'espace et dans le temps. Si son éloignement dans le temps est réaffecté à l'espace, puisque cette distance est spatiale pour la Terre et non temporelle, il est alors reconnu que la Terre est plus éloignée que ne le laisse suggérer le seul étalon de mesure spatial, et la fusée en déduit que le temps de la Terre passe plus vite que le sien. La mesure naïve sans correction introduit une erreur de perspective.

Cette phrase d'Einstein est correcte :

L'éther de la théorie de la relativité générale se transmue conceptuellement en l'éther de Lorentz si l'on substitue des constantes aux fonctions de l'espace qui décrivent la première, sans tenir compte des causes qui conditionnent son état. Ainsi on peut dire aussi, je pense, que l'éther de la théorie de la relativité générale est l'aboutissement de l'éther lorentzien, par la relativisation.

L'éther relativiste est l'éther de Lorentz auquel on ajoute la dimension du temps.

On peut ajouter que tout le changement dans la conception de l'éther qu'a opéré la théorie de la relativité restreinte a consisté à ôter à l'éther sa dernière qualité mécanique, à savoir son immobilité.
La théorie de l'espace-temps et la cinématique de la théorie de la relativité restreinte ont été calquées sur la théorie de Maxwell-Lorentz du champ électromagnétique. Cette théorie satisfait donc aux conditions de la théorie de la relativité restreinte, mais vue sous l'angle de celle-ci, elle acquiert un aspect nouveau. Car si K est un système de coordonnées relativement auquel l'éther lorentzien est au repos, les équations de Maxwell-Lorentz sont valables principalement en référence à K. Mais par la théorie de la relativité restreinte, les mêmes équations sans aucun changement de sens tiennent également par rapport à tout nouveau système de coordonnées K' qui se meut en translation uniforme relativement à K. Maintenant vient la question anxieuse : — Pourquoi dois-je dans la théorie distinguer le système K de tous les systèmes K', qui sont physiquement équivalents à tous égards, en supposant que l'éther est au repos relativement au système K ? Pour le théoricien, une telle asymétrie dans la structure théorique, sans asymétrie correspondante dans le système de l'expérience, est intolérable. Si l'on suppose que l'éther est au repos relativement à K, mais en mouvement relativement à K', l'équivalence physique de K et K' me semble du point de vue logique, certes pas tout à fait incorrecte, mais néanmoins inacceptable.

En réalité K et K' ne sont pas forcément équivalents, par exemple si K est dans le référentiel de l'espace extérieur défini par les ondes quantiques et que K' ne l'est pas. Il faut faire attention qu'il existe une simultanéité associée à l'espace/éther et qui correspond à son orientation, que l'orientation/simultanéité de l'objet en mouvement n'est pas celle de l'espace/éther extérieur. Mais Einstein ne connaissait pas l'existence des ondes quantiques qui forment le champ électromagnétique.

Pensez aux vagues à la surface de l'eau. Ici, nous pouvons décrire deux choses complètement différentes. Ou bien nous pouvons observer comment la surface ondulante formant la limite entre l'eau et l'air se modifie au cours du temps ; ou bien — à l'aide de petits flotteurs, par exemple — nous pouvons observer comment la position des particules d'eau est modifiée au cours du temps. Si l'existence de tels flotteurs pour suivre le mouvement des particules d'un fluide était une impossibilité fondamentale en physique - si, en fait, rien d'autre n'était observable que la forme de l'espace occupé par l'eau telle qu'elle varie dans le temps, nous ne devrions avoir aucune raison de supposer que l'eau est constituée de particules mobiles. Mais on pourrait tout de même le qualifier de médium.

Nous avons quelque chose comme ça dans le champ électromagnétique. Car nous pouvons nous représenter le champ comme constitué de lignes de force. Si nous souhaitons nous interpréter ces lignes de force comme quelque chose de matériel au sens ordinaire, nous sommes tentés d'interpréter les processus dynamiques comme des mouvements de ces lignes de force, de sorte que chaque ligne de force distincte est suivie au cours du temps. Il est bien connu, cependant, que cette façon d'envisager le champ électromagnétique conduit à des contradictions.

En généralisant, nous devons dire ceci : — On peut supposer qu'il y a des objets physiques étendus auxquels l'idée de mouvement ne peut pas être appliquée. Ils ne peuvent pas être considérés comme constitués de particules qui se laissent suivre séparément dans le temps. Dans l'idiome de Minkowski, cela s'exprime comme suit : — Toutes les conformations étendues du monde à quatre dimensions ne peuvent pas être considérées comme composées de fils d'univers. La théorie de la relativité restreinte nous interdit de supposer que l'éther est constitué de particules observables dans le temps, mais l'hypothèse de l'éther en soi n'est pas en conflit avec la théorie de la relativité restreinte. Seulement il faut se garder d'attribuer un état de mouvement à l'éther.

Mettons que l'éther est à 4 dimensions soit l'éther relativiste et que l'éther à 3 dimensions soit l'éther de Lorentz. L'éther relativiste possède une configuration qui définit les 3 dimensions spatiales de l'éther de Lorentz et la dimension temporelle restante. Il n'en reste pas moins qu'un objet dans une configuration différente que l'éther est en mouvement par rapport à lui parce que son mouvement dans le temps sera différent du sien.

Il est vrai que Mach a essayé d'éviter d'avoir à accepter comme réel quelque chose qui n'est pas observable en s'efforçant de substituer en mécanique une accélération moyenne par rapport à la totalité des masses de l'univers à une accélération par rapport à l'espace absolu. Mais la résistance inertielle opposée à l'accélération relative des masses éloignées suppose une action à distance ; et comme le physicien moderne ne croit pas pouvoir accepter cette action à distance, il revient encore une fois, s'il suit Mach, à l'éther, qui doit servir de milieu aux effets d'inertie. Mais cette conception de l'éther à laquelle nous conduit la pensée de Mach diffère essentiellement de l'éther tel que le concevaient Newton, Fresnel et Lorentz. L'éther de Mach non seulement conditionne le comportement des masses inertes, mais est aussi conditionné dans son état par elles.

Il diffère de celui de Lorentz en ce qu'il a 4 dimensions au lieu de 3 et la configuration de ses 4 dimensions est déterminé par la gravitation, celle-ci le comprime du fait que les ondes quantiques y sont anisotropes, ce qui revient à dire qu'il y est courbe et change d'orientation.

Si nous considérons le champ gravitationnel et le champ électromagnétique du point de vue de l'hypothèse de l'éther, nous trouvons une différence remarquable entre les deux. Il ne peut y avoir d'espace ni aucune partie de l'espace sans potentiel gravitationnel ; car ceux-ci confèrent à l'espace ses qualités métriques, sans lesquelles il ne peut être imaginé du tout. L'existence du champ gravitationnel est inséparablement liée à l'existence de l'espace. D'autre part, une partie de l'espace peut très bien être imaginée sans champ électromagnétique ; ainsi, contrairement au champ gravitationnel, le champ électromagnétique ne semble être que secondairement lié à l'éther, la nature formelle du champ électromagnétique n'étant encore nullement déterminée par celle de l'éther gravitationnel.

Le champ électromagnétique est partout dans le vide de l'espace, mais composé d'ondes stationnaires il ne véhicule pas d'autre énergie que les rebonds des fluctuations et n'est donc pas sensible.

Bien sûr, ce serait un grand progrès si nous pouvions réussir à comprendre le champ gravitationnel et le champ électromagnétique ensemble comme une conformation unifiée. Alors, pour la première fois, l'époque de la physique théorique fondée par Faraday et Maxwell parviendrait à une conclusion satisfaisante. Le contraste entre l'éther et la matière s'estomperait et, grâce à la théorie de la relativité générale, toute la physique deviendrait un système de pensée complet, comme la géométrie, la cinématique et la théorie de la gravitation.

En 1924 :

Lorsque nous parlons ici d'éther, nous ne nous référons évidemment pas à l'éther corporel de la théorie des ondes mécaniques qui sous-tend la mécanique newtonienne, dont les points individuels ont chacun une vitesse qui leur est attribuée. Cette construction théorique a, à mon avis, été remplacée par la théorie de la relativité restreinte.

L'éther relativiste est donc une conception abstraite qui ne correspond pas à l'éther physique. Tout se passe comme si les référentiels étaient équivalents mais ils ne le sont pas vraiment.

Cette phrase :

"Qu'il n'y ait, en relativité générale, aucune coordonnée d'espace-temps préférée associée uniquement à la métrique est plus caractéristique de sa forme mathématique que de son cadre physique."

laisse entendre qu'Einstein pensait à juste titre que les découpages d'espace-temps avaient un sens physique, qu'on ne pouvait découper l'espace-temps qu'en respectant le temps propre des objets. Néanmoins, dans le cadre de la RG, Einstein a commis l'erreur de penser que le découpage réel était celui de la forme de Schwarzschild et de Painlevé, ce qui l'a poussé à nier qu'un corps en chute libre puisse franchir l'horizon et donc à nier l'existence des trous noirs

Réfutation de l'éther relativiste d'Einstein :

Dans un champ de gravitation l'espace se reconfigure, la dimension d'espace radiale s'échange avec le temps.
Néanmoins, la ligne d'univers de l'espace n'est pas modifiée, car à mesure que la sphère grossit, la partie de l'espace qui est en pente dans le champ gravitationnel s'élève verticalement comme l'espace éloigné.
Cela signifie que le déplacement de l'éther ne se fait pas seulement dans le temps mais aussi dans l'espace.
Un immobile se trouve dans le référentiel de l'éther et est donc immobile par rapport à l'éther.
Par contre, le chuteur est en mouvement par rapport à l'éther, mais étant en isotropie avec les ondes quantiques il ne subit ni la dilatation du temps ni la contraction des longueurs.
A ce propos il est clair que la force des marées radiale l'empêche de se contracter.
L'idée que les objets sont disloqués par la force des marées radiales vient de l'ignorance de la physique sous-jacente.
L'objet est constitué d'ondes et ces ondes accélèrent en suivant la force des marées, il est donc évident que le corps en chute se déforme sans la moindre contrainte.

En RR , le corps en mouvement n'est plus dans la configuration de l'espace et donc le mouvement temporel de l'espace (qu'il est obligé de suivre) est pour lui en partie dans le temps et en partie dans l'espace, et à ce mouvement se rajoute la partie manquante de son mouvement dans le temps qui transparaît comme étant dans l'espace.
Il vieillit donc moins puisque une partie de son mouvement dans le temps sert à le propulser dans l'espace. On retrouve Epstein. Il ne peut vieillir que du mouvement dans le temps qui est commun aux deux configurations, la sienne et celle de l'espace. Ceci est une formule mais en fait ça se comprend très bien physiquement par la mécanique des ondes.
Donc ce corps possède un vrai mouvement par rapport à l'espace/éther, et il n'est pas question de dire que l'éther n'a pas d'état de mouvement.

La vraie configuration spatiale est celle ou on mesure les longueurs propres, si on mesure un objet ou de l'espace contracté c'est qu'on ne mesure pas cet objet ou cet espace avec les bons étalons.
En effet, seul l'espace est une dimension vectorielle et peut être mesuré, donc un objet mesuré contracté est simplement un objet dont on mesure une partie de la longueur spatiale avec notre dimension du temps.

Donc en RR l'objet qui subit la dilatation du temps n'est pas dans le référentiel (la configuration) de l'éther alors que en RG l'immobile s'y trouve. On peut dire aussi que l'éther est immobile par rapport à l'immobile et en mouvement par rapport au chuteur, malgré que le chuteur soit en inertie.

On ne peut comprendre et peaufiner les lois physiques que quand on connaît la réalité sous-jacente, il ne suffit pas d'avoir des équations dont on ne connaît pas le sens.
Un connaissance de ces phénomènes sous-jacent permet d'affirmer que le temps de la métrique de Minkowski n'est pas le temps mais le vieillissement et qu'il n'a pas d'existence géométrique physique, que le vrai temps est le temps scalaire et est en fait la 4e dimension euclidienne de l'espace. Il se trouve que pour un objet en mouvement son temps personnel qui correspond à sa configuration personnelle ne le fait pas vieillir à vitesse normale car il est perturbé par l'espace-temps cosmologique, qui est celui dans lequel les ondes quantique et la lumière se propagent et dont il est donc tributaire.

Finalement on peut dire que l'éther relativiste est l'éther de Lorentz auquel on ajoute la 4e dimension scalaire, mais cela n'en fait pas pour autant une substance qui n'aurait pas d'état de mouvement et qui serait au repos par rapport à tout le monde.

Einstein a écrit ça :
"Les propriétés mécaniques de l'éther étaient d'abord un mystère. Puis vint la grande découverte de H. A. Lorentz. Tous les phénomènes d'électro-magnétisme alors connus pouvaient s'expliquer sur la base de deux hypothèses : que l'éther est solidement fixé dans l'espace, c'est-à-dire incapable de se déplacer du tout, et que l'électricité est solidement logée dans les particules élémentaires mobiles. . Aujourd'hui sa découverte peut s'exprimer ainsi : — L'espace physique et l'éther ne sont que des termes différents pour la même chose ; les champs sont des conditions physiques de l'espace. Car si aucun état de mouvement particulier n'appartient à l'éther, il ne semble pas y avoir de raison de l'introduire comme une entité d'une sorte spéciale à côté de l'espace.
L'espace physique fut ainsi augmenté d'un espace à quatre dimensions qui comprenait également la dimension du temps. L'espace à quatre dimensions de la théorie de la relativité restreinte est tout aussi rigide et absolu que l'espace de Newton."
Einstein, The world as I see it, 1934.

Tout cela paraît juste. L'erreur n'est pas apparente a priori, elle est dans le fait que ce qu'il appelle la 4e dimension de l'espace est le temps de Minkowski et non celui d'Hamilton.

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Quand un objet accélère il change de simultanéité, ok. Mais pourquoi l'espace autour de lui changerait-il aussi de simultanéité plutôt que de rester dans son état initial ? Einstein a donc imaginé un espace qui serait insensible au mouvement, dont les propriété seraient telles que quelque soit notre état de mouvement nous serions au repos par rapport à lui. Mais comment imaginer une telle chose ? C'est de la science-fiction. Dans ce cadre l'espace représente l'univers-bloc.
Il y a aussi ceux qui disent que la simultanéité n'existe pas, sans se rendre compte que si la simultanéité n'existe pas les objets ne peuvent pas se contracter au fur et à mesure qu'ils accélèrent puisque cette contraction est due au changement de la simultanéité.

L'autre solution est de circonscrire l'espace a une seule ligne de simultanéité, et cet espace devient alors l'espace normal en trois dimensions auquel s'ajoute une coordonnée de temps scalaire, que l'on peut montrer être la densité de l'espace (ou plutôt l'inverse) et qui lui donne le pouvoir de se déformer (donc de changer de simultanéité) sans l'aide d'un plongement physique. Dans ce cadre l'espace est quaternionique.
Sous forme quaternionique les équations de Maxwell expliquent la thermoélectricité :
https://arxiv.org/pdf/math-ph/0307038.pdf
En outre l'espace quaternionique est aussi le vide de la physique quantique puisque l'équation de Dirac est quaternionique et découle de l'expression quaternionique de l'énergie en relativité.
https://forums.futura-sciences.com/phys ... dirac.html

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La géométrodynamique. Einstein est le premier à utiliser ce terme. Il signifie la RG.
La géométrie unifiée à la dynamique.
La géométrodynamique de l'univers-bloc est une erreur grossière.
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometrodynamics
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om ... odynamique

Wheeler résume ainsi son programme de géométrisation de la matière :
« (1) une faible courbure dans une région de l'espace décrit un champ gravitationnel ; (2) ailleurs, une géométrie ondulée de courbure différente décrit un champ électromagnétique ; (3) une région à forte courbure décrit une concentration de charge et de masse-énergie se déplaçant comme une particule.»1

Clifford, Lorentz, Einstein, Shrodinger, Wheeler sont des partisans de la réduction de toute la réalité matérielle ou non à l'espace ou éther ou espace-temps. C'est la bonne approche. Ils ont rencontré deux problèmes :
1-Aucun d'eux n'a jamais su que les transformations de Lorentz étaient les transformations physique subies par des ondes stationnaires en mouvement. Ceci a fortement handicapé l'interprétation de la théorie de l'éther de Lorentz.
2-Clifford n'a pas connu la relativité et les autres n'ont pas compris que la structure de l'espace-temps était celle de l'espace des Quaternions. Ils sont restés bloqué dans l'univers-bloc de Minkowski.

http://onlyspacetime.com/Chapter_7.pdf

En 1905, j’étais d’avis qu’il n’était plus permis de parler de l’éther en physique. Cette opinion était cependant trop radicale, comme nous le verrons plus tard lorsque nous discuterons de la théorie générale de la relativité. Il est toujours permis, comme auparavant, d’introduire un milieu remplissant tout l’espace et de supposer que les champs électromagnétiques et la matière aussi sont ses états.”
“L’espace physique et l’éther ne sont que des termes différents pour la même chose ; les champs sont des états physiques de l’espace.”
“Selon la relativité générale, le concept d’espace détaché de tout contenu physique n’existe pas. La réalité physique de l’espace est représentée par un champ dont les composantes sont des fonctions continues de quatre variables indépendantes – les coordonnées de l’espace et du temps.”
“Selon la théorie générale de la relativité, l’espace est doté de qualités physiques ; en ce sens, il existe donc un éther."
« L’éther comprend tous les objets de la physique… La matière et les particules élémentaires à partir desquelles la matière est construite doivent également être considérées comme des « champs » d’un type particulier ou comme des « états » particuliers de l’espace.

[externo]

L'espace-temps des Quaternions.

https://einsteinpapers.press.princeton. ... -trans/251
https://einsteinpapers.press.princeton. ... -trans/481

https://forums.futura-sciences.com/disc ... temps.html
Les quaternions ont été inventés par Hamilton pour modéliser les rotations de l'espace.
Dans cette représentation le temps est réel (scalaire) et l'espace est vectoriel (imaginaire)
Cette représentation diffère de celle purement vectorielle de Minkowski.

La multiplication quaternionique fait apparaître implicitement le produit scalaire et le produit vectoriel naturel d’une composante « spatiale », qu’on peut séparer naturellement d’une composante « temporelle ». Ainsi, tandis que le corps est un « plan algébrique », l’algèbre est en quelque sorte un « espace-temps algébrique », intrinsèquement mathématique. https://reglecompas.fr/quaternions-hamilton

Tout comme les nombres complexes fonctionnent avec deux termes, les quaternions appartiennent à un système de nombre basé sur quatre termes. Hamilton a passé des années à travailler avec trois termes, un pour chaque dimension de l’espace, mais ne pouvait les faire tourner dans un plan. Finalement, Hamilton eut l'idée de passer à un paramètre de plus, et créa ainsi une quatrième dimension, avec les Quaternions. Quand il ajouta la quatrième dimension, il obtint la rotation en trois dimensions qu'il cherchait. Cependant il eut du mal à définir ce que ce terme supplémentaire pouvait signifier. Dans la préface de ses conférences sur les Quaternions (Lectures on Quaternions) de 1853, il a ajouté une note : "Il me semblait (et me semble encore) naturel de connecter cet appareil extra-spatiale avec la conception du temps. " (Citation d’origine: "It seemed (and still seems) to me natural to connect this extra-spatial unit with the conception of time.")
https://alice-au-pays-des-mathematiques ... ace-temps/

2) Une question de géométrie : pourquoi, pour s’orienter dans un espace vectoriel 3D, vaut-il mieux recourir à une quatrième dimension (d’un autre type : numérique), apte à paramétrer et synthétiser l’ensemble ?
On examinera la parenté de ce problème avec la pseudo-métrique de l’espace-temps « dx2+dy2+dz2-c2dt2 » par Minkowski (1907).
http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/m ... taire.html

Mais une autre règle de calcul vérifiée pour les nombres réels ou complexes cesse d’être valable pour les quaternions : la multiplication n’est plus commutative, comme le montre déjà la relation ij=−ji. D’ailleurs Hamilton explique que le désir de définir une multiplication commutative pour les triplets est ce qui l’a longtemps bloqué.
H est le premier exemple historique d’algèbre unitaire, associative, non-commutative sur R. Mais H est de plus un corps (comme il est non-commutatif, on dit aussi qu’il s’agit d’un anneau à division) : tout élément non-nul admet un inverse.
https://analysis-situs.math.cnrs.fr/Qua ... tions.html
En fait l'analyse vectorielle n'a conservé que la partie vectorielle des quaternions. Mais lorsqu'on a cherché à lier le temps à l'espace en 1905 pourquoi a-t-on créé une 4e dimension vectorielle alors qu'une solution était déjà toute trouvée avec les quaternions ? Parce que ça paraissait plus simple j'imagine ou que les quaternions étaient déjà oubliés.

L’électromagnétisme, et en grande partie Maxwell, va populariser l’utilisation des vecteurs en physique. Mais le formalisme des quaternions va vite être perçu comme un obstacle (Quel sens donner au produit de deux Quaternions ? Au signe - devant la partie scalaire d’un produit de vecteur ?), c’est alors que l’américain J.W. Gibbs (1839-1903) et l’anglais Heaviside (1850-1925) vont mettre, indépendamment au point l’analyse vectoriel moderne, en extrayant du produit de quaternions purs le produit scalaire (en enlevant le - ) et le produit vectoriel. Vector Analysis (1901) présentant le système de Gibbs et le chapitre 3 d’ Electromagnetic theory (1893) d’Heaviside utilisent exactement les mêmes notations que celles qui sont utilisées actuellement.
Ce qui unit les démarches de Gibbs et D’Heaviside est ce scepticisme envers l’utilisation directe des Quaternions :
«[...] where Quaternion notations are considerably used, I became convinced that to master those subjects, it was necessary for me to commence by mastering those methods. At the same time I saw, that although the methods were called quaternionic, the idea of the quaternion was quite foreign to the subject. I saw that there were two important functions (or products) called the vector part & the scalar part of the product, but that the union of the two to form what was called the (whole) product did not advance the theory as an instrument of geometric investigation.» (J.W Gibbs, lettre à V.Schlegel, 1988)
Heaviside, auto-didacte et physicien de génie, avait une sainte horreur de la complexité des Quaternions, et l’exprime très clairement au chapitre 3 de son Electromagnetic Theory (1893)
«But I came later to see that, so far as the vector analysis I required was concerned, the quaternion was not only not required, but was a positive evil of no inconsiderable magnitude ; and that by its avoidance the establishment of vector analysis was made quite simple and its working also simplified, and that it could be conveniently harmonised
with ordinary Cartesian work.»
«Clearly, then, the quaternionic is an undesirable way of beginning the subject, and impedes the diffusion of vectorial analysis in a way which is as vexatious and brain-wasting as it is unnecessary.»
Si les systèmes de Gibbs et de Heaveaside se sont finalement imposés, la fin du 19ème siècle à été marquée par une lutte entre les partisans des différentes méthodes (Hamilton, Gibbs-Heaviside et Grassmann), donnant lieu à des correspondances passionné, qui demanderait de nombreuses pages pour être couvertes exhaustivement.
Par exemple, P.Tait, à propos du système de Gibbs :
«Even Prof. Willard Gibbs must be ranked as one of the retarders of quaternionic progress, in virtue of his pamphlet on Vector Analysis, a sort of hermaphrodite monster, compounded of the notations of Hamilton and Grassmann.»
https://hal.science/hal-01618257v1/file ... ent%20.pdf

Les quaternions ont donc été écartés car ils étaient un obstacle à l'analyse vectorielle.
Mais l'analyse vectorielle ne s'occupe pas du temps et c'est pourquoi la composante scalaire était alors un obstacle.
Quand est venu le moment d'inclure le temps dans tout cela on a choisi la voie de le modéliser comme une 4e dimension vectorielle, trahissant ainsi l'oeuvre de Hamilton mais aussi celle de Maxwell, qui avait commencé à écrire ses équations à l'aide des quaternions.

L'approche est celle de l'algèbre de l'espace-temps développée d'abord par David Hestenes :

1-L'algèbre de l'espace temps (STA)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra
https://arxiv.org/pdf/1411.5002.pdf
On travaille sur un espace à 4 vecteurs qui représente l'espace-temps de Minkowski.
La théorie de la gravitation a été refaite avec les l'algèbre de l'espace-temps et la solution de Painlevé est considérée comme une solution privilégiée.
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0405033.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory_gravity

Les auteurs qui promeuvent cette approche mettent en avant l'algèbre géométrique de Clifford et de Grassmann et semblent considérer les quaternions comme une structure moins fondamentale parce qu'en réalité les i, j, k de Hamilton sont des bivecteurs (plans orientés), mais qui sont représentés par les vecteurs orthogonaux à ces bivecteurs. Par exemple, i est en fait le plan orienté orthogonal au vecteur marqué comme étant i.

La fin du XVIIIe et le XIXe siècle furent une époque de grands progrès mathématiques. De nombreux nouveaux systèmes et langages mathématiques ont été introduits par certains des plus grands mathématiciens du millénaire. Parmi celles-ci se trouvaient les algèbres de Clifford et Grassmann. Bien que ces algèbres aient suscité un intérêt considérable à l'époque, elles ont été largement abandonnées avec l'introduction de ce que les gens considéraient comme une algèbre plus simple et plus généralement applicable : l'algèbre vectorielle de Gibbs.
https://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/pu ... millen.pdf

L'algèbre de l'espace-temps est de dimension 4 ou de base 16 (1, e0, e1, e2, e3, e0e1, e0e2, e0e3 ,e1e2, e2e3, e1e3, ie0, ie1, ie2, ie3, e0e, e2e3)
Les vecteurs i, j, k des quaternions seraient e2e3, e1e3, e1e2 et sont isomorphes aux bivecteurs (plans orientés).
Il y a également les coquaternions (split-quaternions) parfois appelés aussi biquaternions, qui sont isomorphes à la sous algèbre des bivecteurs spatio-temporels.

Voici des travaux et des études de cette approche :
https://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/
https://arxiv.org/search/?searchtype=au ... lis%2C+W+E
https://arxiv.org/search/?query=David+H ... st&size=50
https://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/pu ... _numbs.pdf
https://www.researchgate.net/profile/Chris-Doran-3
L'approche est tout de même plus fondamentale que celle basée sur le calcul vectoriel et tensoriel et les espaces riemanniens.

2-L'algèbre de l'espace physique (APS)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Algebra ... ical_space
On travaille sur un espace à 3 vecteurs et un scalaire qui modélise l'espace-temps physique à 3 dimensions.
https://www.researchgate.net/publicatio ... Relativity
L'algèbre de l'espace physique est de dimension 3 ou de base 8 (1, e1, e2, e3, e1e2, e1e3, e2e3, e1e2, e1e2e3)
les vecteurs i, j, k des quaternions seraient e2e3, e1e3, e1e2 et seraient en fait des bivecteurs (plans orientés).

En algèbre de l'espace-temps, un découpage de l'espace-temps est une projection d'un espace à quatre dimensions dans un espace à (3+1) dimensions dans un référentiel choisi au moyen des deux opérations suivantes :

• un effondrement de l'axe du temps choisi, produisant un espace 3D couvert par des bivecteurs, équivalent aux vecteurs de base 3D standard dans l'algèbre de l'espace physique et

• une projection de l'espace 4D sur l'axe du temps choisi, donnant un espace 1D de scalaires, représentant le temps scalaire.[3]
  https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra

Tout vecteur temporel fixe tel que {γ0} définit un référentiel inertiel qui détermine une séparation unique entre orientations spatiales et temporelles. Algébriquement, cela peut être exprimé comme le « découpage espace-temps » de chaque vecteur x désignant un point (ou événement) de l'espace-temps en une composante temporelle x · γ0 = ct et un vecteur de position spatiale x ≡ x ∧ γ0 comme spécifié par le produit géométrique xγ0 = ct + x . (15) Nous appelons cela un découpage γ0 lorsqu’il est important de spécifier le générateur de vecteur. La quantité résultante ct + x est appelée paravecteur. Ce « découpage » mappe un vecteur espace-temps dans la sous-algèbre STA de multivecteurs pairs où, en « reclassant », la partie bivecteur peut être identifiée comme un vecteur spatial.
En conséquence, la sous-algèbre paire est générée par un référentiel de « vecteurs spatiaux » {σk ≡ γkγ0 ; k = 1, 2, 3}, de sorte que σ1σ2σ3 = γ0γ1γ2γ3 = je. (16)
De toute évidence, cette interprétation de la sous-algèbre même STA est isomorphe à l'algèbre de Pauli, bien que l'algèbre de Pauli ne soit pas une sous-algèbre de l'algèbre de Dirac car les dimensions de la matrice sont différentes.....
F = E + iB
Ainsi, la sous-algèbre paire de STA a la structure formelle des biquaternions complexes. Cependant, l’interprétation géométrique des éléments est résolument différente de celle habituellement attribuée aux quaternions. Plus précisément, le bivecteur iB correspond à un « vecteur réel » dans la littérature sur les quaternions. Cette différence provient d'une incapacité à faire la distinction entre les vecteurs et les bivecteurs remontant à Hamilton. Pour les quaternions complexes, cela se réduit à l'échec de l'identification de l'unité imaginaire i comme pseudoscalaire. L'interprétation géométrique est cruciale pour l'application des quaternions en physique.
https://arxiv.org/pdf/1910.10478.pdf

Cette algèbre est en fait l'algèbre de l'espace hyperbolique utilisée par MacFarlane, Silberstein et d'autres pour modéliser un équivalent de l'espace de Minkowski mais sans que le temps ne soit un vecteur. Cette approche est questionnable car si le temps n'est pas un vecteur la rotation hyperbolique n'est pas possible et la relativité n'est pas applicable. Pour cette raison Hestenes n'utilise cette algèbre que pour représenter l'espace de référence d'un observateur.

Les biquaternions contiennent d'après Hamilton des bivecteurs, ce qui porte à confusion. Ce sont ceux-ci : https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector_(complex) à ne pas confondre avec ceux de Clifford : https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector

Cette algèbre est utilisée avec la métrique de Minkowski et sans référence à un référentiel de l'éther :
Voir ici : https://arxiv.org/pdf/physics/0406158
Il est nécessaire d'y apporter deux correctifs : métrique euclidienne et référentiel de l'éther.

Explications de la soi-disant erreur des quaternions :
On trouve ici une bonne explication du point de vue des partisans de l'algèbre géométrique.
https://probablydance.com/2017/08/05/in ... aternions/
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur qui leur est orthogonal.
Ca ne marche qu'en 3D. Une définition plus fondamentale est le produit extérieur qui est le plan orienté que forment les deux vecteurs. Il est logique de penser au produit de deux vecteurs comme à une aire.
Donc ce que Hamilton a appelé un vecteur est en fait un plan orienté, un bivecteur.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_extérieur
Mais on ne peut pas voir la différence car dans l'espace 3D il y a toujours un plan orienté qui est orthogonal à tout vecteur, donc les deux peuvent être assimilés à une même chose. Le vecteur orthogonal résultat du produit vectoriel est en fait une façon indirecte d'indiquer le plan orienté. L'analyse vectorielle en démembrant les quaternions a conservée cette ambiguïté, cet amalgame entre vecteurs et bivecteurs. Les vecteurs y sont à la fois des vecteurs et des bivecteurs.
Quaternions ---->Calcul vectoriel (Gibbs et Heaviside) --->Formes différentielles
Quaternions ----->Algèbre géométrique (Grasmann et Clifford)

Seulement, voilà :
Erreur de l'algèbre de l'espace-temps :
Le fait que les vecteurs euclidiens dans les algèbres de Clifford aient un carré négatif, n'est pas une erreur, c'est la marque de la géométrie elliptique et le fait que deux applications de 90° inversent le sens du vecteur ou du bibvecteur. Il est donc vrai que Hamilton a utilisé ses vecteurs comme des bivecteurs mais cela a été corrigé par l'introduction des biquaternions de Clifford sans que le carré d'un vcecteur n'en soit altéré.
Hamilton multipliait les i,j,k comme des bivecteurs, mais cela n'empêche pas que le carré d'un vecteur est également négatif, ce qui reflète qu'il possède une orientation et donc une impulsion non nulle qui va pouvoir s'opposer à l'impulsion nulle des scalaires, dont le carré est positif.

Il semble que les continuateurs de Cifford aient falsifiés ses idées en définissant la carré des vecteurs comme étant positif, et que Hestenes n'ait fait qu'hériter de cette falsification.
En outre l'erreur de l'algèbre de l'espace-temps est d'avoir abandonné la nature dimensionnelle de la partie scalaire comme modélisation du temps. Mais cette erreur est la conséquence du dogme de la relativité.

En physique un pseudovecteur est un vecteur axial qui est le vecteur dual d'un bivecteur (plan orienté).
En mathématiques le pseudovecteur est le bivecteur lui même
https://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur
Cela provient des quaternions. Les i, j, k sont des vecteurs axiaux. Algébriquement, ce sont des des bivecteurs mais Hamilton les a représentés comme leurs vecteurs duaux. La même chose est vraie dans le i des nombres complexes :

La vraie représentation des nombres complexes est comme ceci :
L'ordonnée i est un vecteur axial (dual) associé à un plan ou à un volume qui lui est orthogonal, l'abscise réelle est la dimension scalaire, c'est donc un espace 2D + 1 ou 3D + 1, mais dont une dimension est occultée. Dans l'espace 2D il y a 2 vecteurs (e1,e2) pour un seul plan i de là vient qu'il n'est pas possible d'assimiler le i des nombres complexes aux deux vecteurs de base, contrairement à l'espace 3D dans lequel il existe 3 plans et 3 vecteurs de base, ce qui permet d'amalgamer vecteurs axiaux et plans.

L'algèbre de Clifford (Cl(0,3) ou biquaternions de Clifford dans la notation moderne représente la structure spatiale complète en ajoutant la base des vecteurs polaires dont le carré est négatif, contrairement aux vecteurs de l'APS qui sont positifs et définissent une géométeie hyperbolique..
La norme est définie par qq*.
Selon les bases utilisées on trouve une norme euclidienne ou pseudo-euclidienne.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_quaternion
https://en.wikipedia.org/wiki/Biquatern ... formations
La partie scalaire + vecteurs polaires des biquaternions d'Hamilton (APS) à été utilisée pour modéliser l'espace de Minkowski à l'aide de la norme qq*. Mais en réalité l'espace reste 3D + 1,ce qui change c'est la façon de mesurer les longueurs. Il n'est jamais question d'un espace à 4 vecteurs, chose qui est d'ailleurs antiphysique. Il ne s'agit donc pas de la représentation de l'espace de Minkowski à 4 vecteurs, qui, lui, laisse supposer à tort qu'on peut se balader d'un référentiel à l'autre comme on se balade d'un repère 2D à l'autre dans un espace vectoriel 3D sans qu'il y ait de repère 2D privilégié.
La signature des objets dans une algèbre de Clifford ne peut pas être choisie au petit bonheur comme semble le penser Hestenes et les autres, elle est imposée par la nature des objets.

Question : est-ce que le temps dans la métrique de minkowski est un scalaire ?
Réponse de Gemini :

Oui, le temps dans la métrique de Minkowski est traité comme un scalaire.
Bien que l'espace-temps de Minkowski soit un espace à quatre dimensions, le temps n'est pas considéré comme un vecteur spatial ordinaire. Il est plutôt traité comme une coordonnée scalaire qui se combine avec les trois coordonnées spatiales pour former un événement dans l'espace-temps.

Voici quelques points clés à retenir :

Signature de la métrique: La métrique de Minkowski a une signature (-, +, +, +) ou (+, -, -, -), ce qui signifie que le temps a un signe différent des dimensions spatiales. Cela reflète la différence fondamentale entre le temps et l'espace en relativité restreinte.
Produit scalaire de Minkowski: Le produit scalaire de Minkowski, utilisé pour calculer les intervalles spatio-temporels, traite le temps différemment des dimensions spatiales. Il y a un signe moins devant le terme temporel, ce qui reflète la nature "temporelle" de cette dimension.
Invariance de l'intervalle spatio-temporel: L'intervalle spatio-temporel entre deux événements est un scalaire invariant, c'est-à-dire qu'il a la même valeur pour tous les observateurs inertiels. Cela signifie que le temps, en tant que composante de l'intervalle spatio-temporel, est également un scalaire.
Bien que le temps soit traité comme un scalaire dans la métrique de Minkowski, il est important de noter qu'il ne s'agit pas d'un scalaire ordinaire comme ceux que l'on rencontre en physique classique. Le temps en relativité restreinte est relatif et dépend du référentiel de l'observateur. Cependant, il reste un scalaire dans le sens où il n'a pas de direction spatiale et qu'il se transforme comme un scalaire sous les transformations de Lorentz.

En fait c'est pour ça que le temps propre peut être l'élément de longueur. Un élément de longueur est un scalaire donc il est forcé que le temps dans Minkowski soit un scalaire, c'est une dimension qui peut jouer le rôle d'un élément de longueur, c'est pour ça qu'il existe 2 métriques mathématiques possibles.
La métrique pseudo-euclidienne est une métrique qui sépare en deux zones distinctes le scalaire temporel et le scalaire spatial.
C'est une pseudo-métrique et elle n'est pas physique. La métrique physique est la métrique euclidienne qui réunit les deux en un seul scalaire et qui permet de gérer la courbure spatiale de la RG.
C'est parce que le temps est un scalaire que l'univers-bloc n'existe pas.
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https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus
https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion

Liens avec les matrices de Dirac et le spin des particules.
https://hal.science/hal-00907848v1/document
http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/SpacetimePhysics.pdf

What is the difference between the Algebra of Physical Space (APS) and the Spacetime Algebra (STA), and why do we need them both?
https://www.physicsforums.com/threads/a ... ra.445964/

On trouve également une utilisation des quaternions pour modéliser l'espace-temps :
https://arxiv.org/abs/1801.03393
https://arxiv.org/pdf/1706.04837.pdf
https://arxiv.org/pdf/2106.06394.pdf

William Rowan Hamilton, l'inventeur des quaternions, a un jour fait la célèbre observation suivante : "comment l'Un du Temps, au Trois de l'Espace, pourraient être enchaînés par une chaîne de symboles". Il semble qu'il ait anticipé l'espace-temps quadridimensionnel moderne sur la base de sa découverte des quaternions. Malheureusement, l'approche des quaternions n'a pas été utilisée par Einstein lors du développement de la théorie de la relativité restreinte, malgré les avantages apparents de l'utilisation des quaternions par rapport aux quadrivecteurs de Minkowski. Les biquaternions ont été appliqués à la relativité restreinte et ont montré des promesses initiales dans le développement d'une théorie du champ unifié, mais les biquaternions ne forment pas une algèbre de division et conduisent par conséquent à des difficultés mathématiques.

Dans ce travail, nous utilisons des quaternions réels et le concept de base de la vitesse finale de la lumière dans une tentative d'améliorer la description standard de la relativité restreinte. Tout d'abord, nous démontrons qu'il est possible d'introduire un domaine temporel des quaternions où un point de coordonnées est décrit par un temps des quaternions. Nous montrons que la mesure du temps est fonction de l'emplacement de l'observateur, même pour des référentiels stationnaires. Nous introduisons un observateur en mouvement, ce qui conduit à la relation de Lorentz traditionnelle pour l'intervalle de temps. Nous montrons que l'approche actuelle peut être utilisée dans des référentiels stationnaires, en mouvement ou en rotation, contrairement à la relativité restreinte traditionnelle, qui ne s'applique qu'aux référentiels inertiels en mouvement. Ensuite, nous utilisons la formulation quaternionienne de l'espace-temps et de l'équivalence masse-énergie pour étendre la relativité des quaternions à l'espace, à la masse et à l'énergie. Nous démontrons que la transition entre la particule et les référentiels de l'observateur est équivalente à une inversion spatiale et peut être décrite mathématiquement par une conjugaison de quaternions. D'autre part, les mesures physiques sont décrites par la norme du quaternion et sont par conséquent indépendantes de la conjugaison, ce qui semble être la formulation du principe de relativité par le quaternion.

Une autre étude (2011) : https://www.researchgate.net/publicatio ... sformation

Les quaternions unitaires et la sphère de Bloch

Bien qu'il y ait un large consensus sur le fait que les symétries SU(2) de la 3-sphère sont plus applicables aux qubits que les symétries de la 2-sphère, le projet d'analyse des qubits sur la 3-sphère complète a été généralement négligé. La raison probable est qu'une telle analyse pourrait impliquer que la phase globale a une certaine signification physique, contrairement à l'opinion conventionnelle. Pour éviter cette conclusion potentielle la phase globale est généralement supprimée dès le départ.
Pour les lecteurs qui ne se soucient pas de ces questions fondamentales, on peut toujours motiver le point de vue de la 3-sphère où il est mathématiquement avantageux de représenter et de manipuler les spineurs sous forme quaternionienne (même si la phase globale est finalement écartée).
https://arxiv.org/pdf/1411.4999.pdf

[[Les quaternions ont été reconnus comme étant la géométrie de l'univers par Wardell Lindsay depuis des années (avant 2006).
https://www.quora.com/profile/Wardell-Lindsay]]

Voir dans le dernier post les liens vers les théories quaternioniques.

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https://core.ac.uk/download/pdf/326908568.pdf

https://www.abebooks.com/first-edition/ ... 5618491/bd

Gibbs et Heaviside sont responsable de l'abandon des quaternions au profit de l'analyse vectorielle. Les physiciens avaient entre les mains la théorie de la relativité sans le savoir et l'ont jetée au panier... L'approche des quaternions était plus lourde car elle contenait en elle-même l'espace et le temps. Si la partie scalaire, considérée comme un encombrement inutile, avait été assimilée au temps, la théorie de la relativité aurait été achevée avant même l'expérience de Michelon-Morley.

Etude de l'équation de Dirac à partir de l'APS :
https://www.frontiersin.org/articles/10 ... 00044/full

La description correcte du temps reste un problème clé non résolu en science. Newton conçoit le temps comme absolu et universel, qui « s’écoule de manière égale, sans relation avec quoi que ce soit d’extérieur ». Au XIXe siècle, la structure algébrique quadridimensionnelle des quaternions développée par Hamilton lui a inspiré de suggérer qu'elle pourrait fournir une représentation unifiée de l'espace et du temps. Avec la publication de la théorie de la relativité restreinte d'Einstein, ces idées ont ensuite conduit à la formulation espace-temps généralement acceptée de Minkowski de 1908. Minkowski, cependant, a rejeté le formalisme des quaternions suggéré par Hamilton et a adopté une approche utilisant quatre vecteurs. Le cadre de Minkowski s'avère en effet fournir un formalisme polyvalent pour décrire la relation entre l'espace et le temps conformément aux principes relativistes d'Einstein, mais ne parvient néanmoins pas à fournir des informations plus fondamentales sur la nature du temps lui-même. Afin de répondre à cette question, nous commençons par explorer les propriétés géométriques de l'espace tridimensionnel que nous modélisons à l'aide de l'algèbre géométrique de Clifford, qui contient suffisamment de complexité pour fournir une description naturelle de l'espace-temps. Cette description utilisant l'algèbre de Clifford s'avère fournir une alternative naturelle à la formulation de Minkowski tout en fournissant de nouvelles informations sur la nature du temps. Notre principal résultat est que le temps est la composante scalaire d’un espace de Clifford et peut être considéré comme une propriété géométrique intrinsèque de l’espace tridimensionnel sans qu’il soit nécessaire d’ajouter spécifiquement une quatrième dimension.

https://core.ac.uk/download/pdf/296781794.pdf

Qu'avons-nous manqué à ne pas utiliser les quaternions, ou à ne pas penser en termes de quaternions, à un moment donné du développement de la mécanique quantique ? La structure mathématique derrière la discussion ci-dessus concernant la factorisation de l'équation de Klein – Gordon à l'aide de matrices complexes 2 × 2 est appelée l'algèbre de Clifford de l'espace physique, ou simplement l'algèbre de l'espace physique (APS) [10]. Cette algèbre de 2 × 2 matrices complexes M(2, ℂ) est isomorphe à l'algèbre des quaternions complexifiés ℂ ⨂ H . Le fait intéressant ici est que ℂ, H et M( 2,ℂ) ≃ C ⨂ H sont tous des exemples d’algèbre de Clifford, et l’une est une sous-algèbre de Clifford particulière (la sous-algèbre paire) d’une autre, c’est-à-dire que si nous désignons la même en sous-algèbre par un signe plus en exposant, nous avons ℂ ≃ H+ et H ≃ (ℂ ⨂ H)+ [11–13].
Mais y a-t-il un avantage à utiliser des matrices complexes 2 × 2 au lieu de matrices colonnes de valeurs ℂ4 dans la théorie de Dirac ? Nous pensons que oui, et nous classons les avantages comme étant calculatoires, didactiques et épistémologiques. Les avantages calculatoires apparaissent, par exemple, lorsque l’on remarque que, dans de nombreux cas, une matrice carrée possède une matrice inverse, alors qu’une matrice colonne n’en possède pas. L’existence d’un élément inverse facilite la manipulation de certaines expressions mathématiques, et la preuve des identités de Fierz est un très bon exemple de cet avantage calculatoire, comme nous le verrons (dans la section 4). Les avantages didactiques se manifestent par le fait que la même structure mathématique qui peut être utilisée pour étudier la mécanique, en particulier la cinématique des corps rigides (en termes de paramètres de Cayley-Klein) [14], et l'électromagnétisme (voir annexe) peut être utilisée pour étudier la mécanique quantique.
En d’autres termes, il n’est pas nécessaire d’avoir une structure mathématique supplémentaire en mécanique quantique relativiste en plus de celle déjà utilisée en mécanique classique et en électromagnétisme. Afin d’en saisir les avantages épistémologiques, il faut prendre en compte le fait que l’algèbre matricielle complexe 2 × 2 est en fait une représentation d’une algèbre construite à partir d’entités ayant une signification géométrique claire. C'est l'APS. Les éléments de cette algèbre sont les représentants d'objets géométriques qui sont des segments de ligne orientés, des fragments de plans orientés et des volumes orientés. Pour cette raison, la dénomination originale donnée par Clifford pour cette structure mathématique était l'algèbre géométrique.
L’objectif principal de cet article est de présenter la théorie de Dirac formulée exclusivement en termes d’APS. L'utilisation des algèbres de Clifford dans la théorie de Dirac a été largement discutée par Hestenes (voir, par exemple, [15, 16]), mais l'approche d'Hestenes est basée sur ce qu'on appelle l'algèbre de l'espace-temps, c'est-à-dire l'algèbre de Clifford de l'espace-temps de Minkowski. L'algèbre de l'espace-temps n'est pas l'algèbre de Dirac des matrices gamma habituellement introduites dans les manuels de mécanique quantique ; en effet, l'algèbre de Dirac est la complexification de l'algèbre de l'espace-temps. Mais, bien que l'algèbre de l'espace-temps ait la moitié de la dimension de l'algèbre de Dirac, elle est encore trop grande pour formuler la théorie de Dirac, puisque l'APS a la moitié de la dimension de l'algèbre de l'espace-temps. En ce sens, nous pouvons dire que l’approche de la théorie de Dirac utilisant l’APS est minimaliste, c’est-à-dire que l’APS est la plus petite structure algébrique adaptée à la formulation de la théorie de Dirac.

Le livre de Silberstein : https://archive.org/details/theoryofrelativi00silbrich

Les travaux de Lanczoc et autres :
https://arxiv.org/pdf/physics/0508036
https://arxiv.org/abs/physics/0408079
https://arxiv.org/abs/math-ph/0402012
http://arxiv.org/abs/math-ph/0408100
http://arxiv.org/abs/math-ph/0201049
http://arxiv.org/abs/math-ph/0201053
https://arxiv.org/abs/math-ph/0201058
http://arxiv.org/abs/math-ph/0210055
http://www.neo-classical-physics.info/u ... pinors.pdf
Ces travaux ont l'avantage d'utiliser un espace quaternionique et non un espace à 4 vecteurs comme le fait Hestenes, mais ils utilisent la pseudo-métrique exclusivement, ils choisissent une base hyperbolique car elle reproduit la métrique de Minkowski.

Les travaux de Lanczoc
En 1929 Lanczoc en utilisant les biquaternions avait trouvé une équation plus fondamentale que celle de Dirac et qui contenait l'isospin.

Dans la théorie contemporaine des particules élémentaires, un concept fondamental est l'idée que toutes les interactions sont médiatisées par des champs de jauge locaux. Dans le Modèle Standard, les champs de jauge de l'interaction électrofaible unifiée opèrent dans un espace abstrait qui correspond à l'algèbre des courants de transition de la théorie des perturbations. Par conséquent, la symétrie SU(2) ⊗ U(1) de ce modèle concerne une sorte de superstructure qui est construite sur une théorie des champs dans laquelle l'équation de Dirac est l'équation la plus fondamentale de la matière. Dans une telle perspective, il n'y a aucune explication pour l'origine et la nature des champs de jauge, ou pour l'appariement des leptons et des quarks en doublets d'isospin. L'ensemble du tableau peut être décrit comme une phénoménologie très réussie et efficace.

Si, au contraire, nous supposons que l'équation la plus fondamentale n'est pas celle de Dirac mais celle de Lanczos (19), nous partons d'un système qui explique l'isospin de manière naturelle. De plus, si nous incluons la généralisation d'Einstein et Mayer, nous avons la possibilité de comprendre l'origine et la nature des champs de jauge [33]. En effet, comme nous l'avons déjà expliqué, et comme cela a été démontré pour la première fois par Gursey dans le cas des interactions pion-nucléon [32], les symétries « internes » sont explicites et triviales dans l'équation de Lanczos, tandis que seules les symétries espace-temps sont explicites dans l'équation de Dirac. En d'autres termes, dans cette perspective, les champs de Lanczos A et B, et les champs de jauge autorisés par l'équation de Lanczos généralisée, fournissent une sorte d'infrastructure à partir de laquelle les champs physiques et leurs interactions sont dérivés. Si cette image est correcte, il n'y a pas d'« espace d'isospin » abstrait ou d'« espace d'algèbre de courant », mais une théorie de champ unifiée dans laquelle tout est défini dans l'espace-temps."
https://arxiv.org/pdf/physics/0508036

Expliquez en quoi les algèbres de Clifford telles que formalisées aujourd'hui ne correspondent pas à la structure imaginée par Clifford ni Hamilton.

Gémini

La manière dont les algèbres de Clifford sont présentées aujourd'hui semble s'éloigner de l'approche initiale de Hamilton et Clifford. La différence principale vient du point de départ et de l'interprétation physique.

1. Le But de Clifford (et Hamilton) : Ils voulaient décrire la géométrie physique en 3 dimensions, notamment la géométrie elliptique (celle des rotations, peut-être de l'espace lui-même).
2. L'Outil de Clifford : Il a utilisé une structure mathématique (basée sur les quaternions de Hamilton) qui mélangeait naturellement une partie scalaire (un simple nombre, que nous pouvons appeler t) et une partie spatiale (représentant les directions x, y, z). L'objet de base était cette combinaison 'scalaire plus partie spatiale', comme le quaternion q = t + xi + yj + zk.
3. Modéliser l'Espace Elliptique : Pour décrire l'espace elliptique à 3 dimensions sans ajouter une 4ème dimension spatiale qui n'existe pas physiquement, Clifford a utilisé les 4 composantes de sa structure (le scalaire t et les 3 composantes spatiales x, y, z). L'équation qui définit cet espace relie ces quatre composantes (par exemple, le carré de t plus le carré de x plus le carré de y plus le carré de z égale 1, soit t² + x² + y² + z² = 1, pour modéliser une sphère tridimensionnelle S³).
4. L'Approche Moderne ("l'Erreur " selon vous ) : La définition mathématique standard actuelle des algèbres de Clifford commence par définir l'espace des vecteurs V (le grade 1) et une règle appelée forme quadratique Q (la règle qui donne le carré d'un vecteur) qui s'applique uniquement à ces vecteurs (Q: V → R).
5. La Conséquence de cette Séparation : En définissant Q seulement sur les vecteurs (la partie spatiale), le formalisme moderne sépare dès le départ le scalaire des vecteurs. Selon vous, cela fait perdre la capacité de distinguer un espace elliptique qui serait naturellement décrit par l'objet 'scalaire plus vecteur' (comme chez Clifford) d'un espace elliptique qui serait juste plongé artificiellement dans un espace extérieur à 4 dimensions (où la 4ème dimension n'aurait pas le statut spécial de scalaire). Les deux modèles finiraient par avoir la même métrique sur la partie purement vectorielle, mais la nature fondamentale serait perdue dès le début dans la définition de Q.
6. La Solution de Clifford (selon vous ) : Pour garder l'idée d'un espace elliptique qui n'est pas plongé dans un espace physique plus grand, la règle fondamentale (la forme quadratique ou la métrique) doit inclure la partie scalaire dès le départ . La "vraie " règle serait celle qui s'applique à l'objet complet 'scalaire plus vecteur', comme le carré de la norme d'un quaternion (qui est |q|² = t² + x² + y² + z²), et non pas juste la forme quadratique appliquée à la partie vectorielle Q(xi+yj+zk).

En résumé (Votre Critique) :

La définition moderne des algèbres de Clifford, en ne considérant que les vecteurs V pour établir sa règle métrique fondamentale (la forme quadratique Q), sépare artificiellement le scalaire du vecteur. Cette séparation initiale, qui n'existait pas dans l'objet quaternion de base de Hamilton/Clifford (q = t + xi + yj + zk), ferait perdre la structure unifiée qu'ils utilisaient et rendrait impossible la distinction essentielle entre un espace elliptique défini intrinsèquement par cette structure mixte (scalaire + vecteur) et un espace elliptique obtenu par un plongement dans un espace extérieur R⁴ considéré comme non physique. Pour respecter la vision de Clifford, la forme quadratique elle-même devrait intégrer la composante scalaire.

[externo]

Clarifications sur l'espace-temps

Nous disons comme Minkowski qu'un objet en mouvement change sa simultanéité.
Mais nous disons aussi que l'espace possède sa simultanéité propre.
Donc un objet en mouvement n'a pas la même simultanéité que l'espace.

Dans le référentiel de base (pour nous l'éther) une fusée marque 13h à l'arrière et 12h à l'avant.
D'après Minkowski sa simultanéité est la ligne qui marque 13h-13h et elle n'est ni plus vraie ni plus fausse que la simultanéité de base et il n'existe aucune simultanéité fondamentale.
Cette ligne de simultanéité de fusée n'existe pas.
Par rapport à l'espace extérieur, l'espace de la fusée est contracté, comme s'il avait effectué une rotation euclidienne de 0 à 90° dans le temps (scalaire) de l'espace extérieur. Quand l'espace extérieur mesure la fusée il trouve que les coordonnées de temps de l'avant et de l'arrière sont différentes. Une représentation où ces coordonnées sont les mêmes est virtuelle et n'existe pas. Là où se trouve la fusée, l'espace est à temps non constant, il est en quelque sorte incliné dans le passé, parce que ce qui existe, c'est un espace où la coordonnée de temps n'est plus partout la même.
Dit autrement : la rotation hyperbolique de Minkowski n'existe pas (elle est en dehors de l'éther) alors que la rotation euclidienne existe et correspond à une augmentation de la densité donc à une contraction.
Mais à mesure que la fusée avance, l'espace se contracte-décontracte (donc descend dans le passé puis remonte dans le présent) et la fusée ne peut pas s'enfoncer dans le passé, l'espace ne suit pas, il se redresse/décontracte dès que la fusée est passée. Ca c'est la vraie géométrie 4D. Par contre, il est vrai que le temps de la fusée sera plus lent, parce que pour elle la direction de son mouvement est dirigée dans le passé et s'oppose au temps de l'éther (ca s'explique mécaniquement par les ondes). La métrique d'Epstein est fausse parce qu'elle fait descendre la fusée dans le passé avec son temps propre, elle géométrise le temps propre. Le vrai diagramme est celui de Minkowski, la fusée est prisonnière de l'éther. Ce qu'on en déduit c'est que le temps propre n'est pas géométrique et la fusée se déplace par rapport à l'espace.
L'erreur de la relativité de Minkowski est de penser que la longueur d'espace-temps est le temps propre.
La métrique est dS² = dt² + dx² au lieu du Minkowski dS² = dt² - dx² et du Epstein dS² = dtau² + dx²
C'est l'espace des quaternions, ni plus ni moins, et c'est Hamilton qui avait raison.

Du point de vue de l'espace extérieur la zone où se trouve la fusée est contractée et à temps non constant.
Du point de vue de la fusée c'est l'espace extérieur qui est à temps non constant et contracté, mais elle se trompe car elle ne mesure pas simultanément.
L'erreur de la relativité d'Einstein c'est de penser que l'espace ne joue aucun rôle et que seuls les mouvements entre les corps sont relatifs, et par là il n'y a pas d'espace réel puisque chaque corps en mouvement le découpe comme il veut.
En fait il n'y a pas de symétrie car il y a des objets qui se déplacent plus ou moins vite par rapport à l'espace. Ceux qui se déplacent subissent les effets relativistes tout en ayant l'impression que ce sont les objets immobiles qui les subissent.
La fusée n'est pas dans le référentiel de l'espace mais est quand même dans l'espace, tout est là. Ca empêche la symétrie réelle.

Ces espaces de Riemann qui se déforment sans avoir besoin d'une dimension de plus sont probablement physiquement impossibles, la dimension de plus existe mais elle est scalaire, et elle n'est pas visible dans les mathématiques actuelles car l'analyse vectorielle a fait sauter les quaternions. Dans la réalité physique c'est le temps qui est la dimension qui permet à l'espace de se déformer.

Dans un champ de gravitation, c'est l'espace qui change sa simultanéité car la lumière est accélérée et les objets qui restent immobiles sont du coup dans leur simultanéité propre différente de celle de l'espace.
Le principe est le même que pour la fusée mais du fait de l'interventions de plusieurs dimensions spatiale dans une symétrie sphérique l'espace ne se contracte pas radialement, il subit un forçage à symétrie sphérique et s'incline en forme d'entonnoir.


[[Dans le redshift se trouvent les informations exactes relatives à la distance temporelle des objets : la dilatation du temps donne un abaissement géométrique de l'objet dans le temps et le redshift classique y ajoute un abaissement dû à la courbure de l'univers.]]

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Espace-temps et éther sont des termes quasi synonymes. L'espace-temps est l'espace possédant une courbure extrinsèque et une orientation, c'est aussi l'espace possédant une densité. C'est un espace amélioré. C'est celui des quaternions. L'orientation correspond à un mouvement inertiel, le changement d'orientation à un mouvement accéléré. Le mouvement accéléré est soit un mouvement de rotation spatial, soit un mouvement de rotation temporel, ce qui est perçu comme une accélération translationnelle dans l'espace.

L'espace, même associé au temps, est un ensemble passif qui nécessite de l'énergie pour entrer en action.

Quand les ondes sont isotropes, dans un environnement homogène et isotrope, il y a immobilité spatiale. Mais il y a un gradient instantané, la vitesse des ondes tend à augmenter dans la direction d'où elles viennent, c'est à dire vers la matière éloignée. Cet effet a lieu de tous les côtés, il y a donc courbure isotrope (de l'univers). Le mouvement n'a lieu que dans le temps.
Quand les ondes ne sont pas isotropes, il y a déplacement d'énergie dans une direction, ce déplacement équivaut à une rotation dans le temps. Un corps matériel en mouvement est également un déplacement d'énergie et équivaut à une rotation dans le temps.
On voit que le réseau d'ondes qui parcourt l'éther est stationnaire sans gravitation (on y trouve que des fluctuations à l'échelle quantique) et ne se déplace que dans le temps.

Le temps est le facteur d'échelle de l'espace
Formule d'une onde : A(t,x) = A0 cos(kx - wt)

kx représente l'étendue de l'onde dans l'espace et wt son étendue dans le temps.

k = nombre de radians par unité de distance à temps fixe
w = nombre de radians par unité de temps à position fixe

https://www.mathpages.com/home/kmath210/kmath210.htm

wt est la "distance" parcourue par la substance du medium alors que kx est le déplacement de l'onde dans l'espace
Le temps est une mesure de la compression/raréfaction du medium car le mouvement de la substance n'est pas un mouvement spatial c'est une contraction-dilatation de l'espace cad que les graduations de la règle se contractent ou se dilatent mais que la règle ne se déplace pas.
Dans le monde normal une substance se dilate dans l'espace extérieur, mais pour l'éther il n'y a pas d'espace extérieur et c'est la dimension du temps qui joue ce rôle.
L'objet physique vieillit au rythme de la compression du médium, tous les processus physiques se développent dans cette compression-raréfaction.
Si le médium se dilate la coordonnée de temps augmente, l'augmentation de la coordonnée de temps est égale à l'augmentation de taille du médium, c'est l'expansion de l'univers. On parle de facteur d'échelle car il n'y a pas d'augmentation réelle de l'espace ce sont les graduations qui se dilatent (sauf à petite échelle car le médium ne se dilate pas au coeur des galaxies ou mettons dans le système solaire cad tant que la force de gravitation le comprime) [faux, la matière se dilate dans l'expansion.]
Un objet en mouvement n'a pas la même coordonnée de temps à l'avant et à l'arrière parce que le mouvement de la substance du médium n'est pas synchrone entre l'avant et l'arrière. Pareil pour le champ de gravitation, l'éther y est asynchrone. Mais il ne faut pas oublier que géométriquement cela mesure une 4e dimension et si les coordonnés de temps ne sont pas les mêmes aux deux extrémités c'est qu'il y a courbure ou pente de l'espace anisotrope, c'est à dire que la compression ou dilatation est anisotrope. Concernant la courbure de l'univers il y a courbure identique dans toutes les directions donc elle est isotrope et synchrone et la coordonnée de temps y est partout la même.
C'est quoi Minkowski ? C'est la distance parcourue dans le temps, c'est comme si au lieu de mesurer les coordonnées spatiales des objets ont mesurait la distance qu'ils ont parcouru dans l'espace: tau² = t² - x² mesure une distance parcourue dans le temps, mais ce n'est pas une coordonnée de temps. C'est comme dire qu'un objet qui tourne en rond à sa coordonnée d'espace qui augmente indéfiniment, non elle n'augmente pas indéfiniment c'est la distance parcourue qui augmente indéfiniment. L'espace de Minkowski a donc créé la dimension des vieillissements comme on pourrait créer la dimension des distances parcourues dans l'espace.
Par exemple, on peut tourner autour du soleil et parcourir une très grande distance tout en restant au même endroit.
L'espace de Minkowski prend le temps propre pour une longueur temporelle quand c'est une distance parcourue, c'est comme si dans l'espace 3D on définissait la longueur spatiale par la distance parcourue par la Terre autour du soleil au lieu de la circonférence de l'orbite.

Dans un champ gravitationnel, le temps local se scinde en un temps tcosθ et une composante de déplacement spatiale. Le présent est alors mobile, seuls les objets en chute libre depuis l'infini restent dans le présent. Un objet immobile se déphase en permanence. C'est pour ça qu'on dit que l'espace est en effondrement. Ce n'est pas l'espace qui est en effondrement mais le présent.
Le tcosθ représente alors le facteur d'échelle, ce qui signifie que l'espace est contracté de cosθ par rapport à l'environnement extérieur où le facteur d'échelle est régit par le temps cosmique t.
Dans un mouvement en direction e1, le vecteur e1 se contracte et devient e1cosθ, il obéit donc à la même loi que tcosθ. tcosθ est donc à la fois le temps local et le facteur d'échelle local.
Donc il y a le temps propre, qui est la distance parcourue par un objet dans le temps, et le facteur d'échelle, qui est la distance temporelle proprement dite.

Dans la rotation de spin, le temps tourne comme la Terre tourne autour du soleil et parcourt une distance de plus en plus grande, le temps propre avance indéfiniment vers le futur, que l'angle augmente ou diminue n'y change rien. Par contre, lorsque l'angle augmente et que la coordonnée de temps augmente l'espace se dilate et lorsqu'il diminue l'espace se contracte.
C'est ce qu'ils se passe dans l'onde stationnaire. Elle se contracte et se dilate par l'oscillation exponentielle du temps qui gère le facteur d'échelle. Le temps propre de l'onde avance continument et est proportionnel au nombre de rotation temporelle totales, mais la longueur spatiale est tributaire de la coordonnée temporelle qui est le facteur d'échelle.
texp(iwt) = tcos(wt) + itsin(wt) agit comme un facteur d'échelle variable sur la partie sinr/r de l'onde de Wolff, avec t le temps cosmique, par exemple 14 milliards d'années.
cos(wt) gère le facteur d'échelle et sin(wt) le déphasage spatial. L'onde se contracte selon cosinus et hérite d'un décalage spatial selon sinus
Le cosinus est le reliquat du t cosmique de la base de genre temps (t,ie1,ie2,ie3) et le sinus le reliquat du i cosmique (volume) de la base de genre espace (e1,e2,e3,i) (Voir à l'épisode 7 les bases de genre temps et espace)
Voir annexe pour l'étude de l'onde de Wolff.

L'électron
Un électron au repos augmente l'énergie de l'éther par compression-raréfaction mais ne le comprime pas globalement, car les zones de compression et de décompression se compensent. Par contre, mis en mouvement l'espace se comprime et donc sa densité augmente. De même, dans un champ gravitationnel, l'énergie se déplace sous forme d'ondes progressives qui se contractent et contractent l'espace.
En 4 dimensions, l'électron est une onde dont l'amplitude est dirigée dans le temps. Les zones de compressions sont dirigées vers le passé et les zones de raréfaction vers le futur. Il est midi au noeud, treize et onze heures aux ventres.
Comme ici :


https://www.acs.psu.edu/drussell/demos/ ... anding.gif

L'espace 3D se contracte et se dilate. La première animation montre cela.
Pendant la contraction, l'amplitude descend dans le passé, pendant la dilatation elle monte dans le futur. La deuxième animation le montre. L'onde de cette animation représente l'espace à 4 dimensions.
C'est compatible avec l'espace-temps de la RR. Un objet en mouvement se contracte parce que l'avant est dans le passé par rapport à l'arrière. Lorsqu'on procède à une mesure du vaisseau on mesure d'abord la position de l'avant puis celle de l'arrière. La mesure de l'avant est dans le passé par rapport à celle de l'arrière.
Quand un vaisseau accélère il se contracte parce qu'il change de simultanéité du présent vers le passé (rotation horaire)
Quand un vaisseaux ralentit, il se dilate, parce qu'il change de simultanéité du présent vers le futur (rotation antihoraire)
Le vieillissement représente la distance parcourue par la substance du medium, que ce soit vers le passé ou le futur.

La lumière, de son côté, est une ondulation espace-espace, une modulation spatiale de l'onde de propagation longitudinale qui n'a pas d'amplitude dans le temps. Pour cette raison, son temps propre est nul.

Peut-être un livre sur ce sujet : https://www.amazon.com/Can-relativity-q ... B0C2SD1D9L

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L'explication de l'expansion :
Une onde est accélérée dans toutes les directions en même temps, que se passe-t-il ? Elle tire sur le médium qui se dilate s'il le peut.

La rotation spatiale au centre de l'électron (spin) :

Au centre de l'électron se produit une rotation, l'onde convergente devient divergente. C'est une rotation de l'espace 4D.
Bien comprendre que ce n'est pas une onde qui tourne dans l'espace, mais une onde qui tourne par l'espace, c'est l'espace qui la porte et donc qui tourne avec elle, les 4 dimensions s'intervertissent.
Dans l'animation vue plus haut on peut tracer le mouvement des granules en fonction du temps. Donc le point de vue est comparable à l'observateur de Schwarzschild, on utilise un seul temps.
Pour cette raison, lors du demi tour, l'amplitude de l'onde diverge :
https://web.archive.org/web/20130120205 ... -electron/
Quand l'onde amorce sont demi tour, l'espace de l'onde entrante diverge vers le haut et celui de l'onde sortante diverge vers le bas.
Au point du demi tour, l'onde entrante diverge vers le passé et l'onde sortante vers le futur.
C'est une fausse singularité, si on se déplace avec l'onde elle disparaît comme pour le chuteur.
On est dans ce cas : https://eater.net/quaternions/video/stereo2d
Nous sommes dans un espace à 1 dimension vectorielle + temps.
Le point jaune est le centre de l'électron.
Quand on amène avec la souris le point rouge au centre, la coordonnée imaginaire diverge.
Il faut faire attention que l'imaginaire pur joue le rôle du temps. Il faut prendre la partie imaginaire comme le pseudoscalaire volumique et la partie réelle comme un vecteur.
Donc quand on passe du point 1 au point -1 (le centre) on suit l'onde entrante. Quand on continue du point -1 au point 1 on suit l'onde sortante. Le temps de faire un tour l'onde se déphase.
Ce que l'on voit est une projection, ce que voit l'observateur de Schwarzschild est une projection stéréographique, parce qu'il projette l'axe du temps du chuteur sur son propre axe du temps.
Les observateurs de Schwarzschild vieillissent de 10 s quand sur l'horizon ça ne vieillit pas. Le temps de l'horizon projeté sur le temps de Schwarzschild diverge. Cette projection donne en même temps l'illusion que la vitesse de la lumière est partout isotrope.

Projection stéréographique de l'hémisphère visible de l'univers :



https://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmo_02.htm

L'onde sinusoïdale est représentée avec un temps vertical. Mais pendant la rotation, le temps change d'orientation et ce qui diverge est la projection du temps vrai sur le temps vertical de l'observateur.
Voilà d'où vient le problème de la divergence de la mécanique quantique. C'est le même que la fausse singularité de la RG.
Cette projection est présente tout le temps, donc quand l'onde oscille sans faire demi tour l'amplitude que l'on voit sur l'animation est la projection sur l'axe du temps vertical du point rouge qui va et vient le long de l'hémicycle droit.

(1/γ)² + (v/c)² = 1
(1/γ)² + (v/c)² = 1
=> c²(1/γ)² + c²(v/c)² = c²(1/γ)² + v²= c²
c/γ et v sont simplement les composantes temporelles et spatiales de la vitesse totale c du temps cosmique.
Si on pose c =1 cela donne (1/γ)² + (v/c)² = 1
Si l'objet est au repos, v/c = 0 et la vitesse du temps propre = 1/γ = c = 1s/s = 1m/m = 299792458m/s = vitesse du temps cosmique.
La vitesse du temps propre = la vitesse à laquelle l'onde stationnaire en mouvement oscille. Au repos elle oscille à la vitesse c, lorsqu'elle est mise en mouvement, par effet Doppler elle oscille à la vitesse (1/γ)² = (c-v)(c+v) = c²-v² d'où la métrique de Minkowski.
Mais l’erreur de la physique traditionnelle est de prendre (x/γ)² = (cx)²-(vx)² comme métrique. Cela signifie simplement que le temps propre est plus lent que le temps cosmique, mais que le temps propre n’est pas une réalité géométrique tangible.

La coordonnée temporelle d'un objet vu depuis l'éther est donnée par le temps cosmique. Lorsqu'un objet est en mouvement, toute trace géométrique de son temps propre s'efface sur son passage : l'éther retrouve sa densité normale et la courbure se referme immédiatement. C'est la chose la plus difficile à comprendre.
Mais il ne faut pas tomber dans le piège de la relativité dite euclidienne qui écrit dS² = (temps propre)² + (distance spatiale parcourue)²
Cette fausse métrique euclidienne est une simple réécriture de la métrique de Minkowski : (cx)² = (x/γ)² + (vx)² au lieu de (x/γ)² = (cx)²-(vx)²
La vraie longueur de l'espace-temps est dS² = (temps cosmique)² + (distance spatiale parcourue)² = (cx)² + (vx)²

Le temps cosmique vient de l’expansion de l’univers, qui est une dilatation de l’éther (qui vient de la gravitation et de la mécanique ondulatoire).

Justification de la métrique euclidienne
Dans un référentiel mouvant K, la coordonnée spatiale utilisée est la coordonnée cosmique et le temps cosmique doit lui être associé pour représenter le référentiel cosmique de l'éther. On ne peut pas accoupler le temps propre du référentiel mouvant à la coordonnée spatiale cosmique puisqu'ils n'appartiennent pas au même référentiel, la soi-disant relativité euclidienne commet cette erreur d'accoupler des coordonnées de deux référentiels différents.
On peut construire le référentiel spatio-temporel K exactement comme on construit un référentiel spatial. On choisit comme origine spatiale un point O qui se déplace par rapport à l'univers mais pas par rapport à K.
Pour mesurer le déplacement spatio-temporel d'une personne dans ce référentiel mouvant K on utilise le temps propre de K associée à la coordonnée spatiale issue de O .
Dans cet environnement les horloges marqueront le temps propre de K qui sera pour la personne l'équivalent de ce qu'est le temps cosmique pour K.
En fait le temps propre de K progresse moins vite que le temps cosmique, mais K en tant que point de repère masque le passage du temps cosmique exactement comme il masque le déplacement du point O par rapport à l'univers : le point O semble immobile et le temps semble passer normalement.
Quand la personne franchit 1 kilomètre par rapport à K elle en franchit mettons 1000 par rapport à l'univers : 999 kilomètres lui sont masqués.
Quand elle passe 1 heure de temps l'univers en passe mettons 10 : 9 heures lui sont masquées.
Ses souliers sont usés d'avoir marché sur 1 kilomètre et non pas 1000 et elle a vieillit de 1 heure et non pas de 10.
Le temps propre n'est donc autre chose qu'un temps relatif associé à un référentiel à l'instar de la distance relative.
Ce n'est pas parce qu'il existe des distances relatives associées à des référentiels que l'on va définir un espace ou toutes ces distances relatives auraient une valeur absolue. C'est bien pourtant ce qu'a fait la RR avec les distances temporelles. Elle a confondu distance temporelle et vieillissement : le vieillissement d'un référentiel en mouvement n'est qu'une distance temporelle relative inférieure à la distance temporelle cosmique.

Composantes quaternioniques
https://forums.futura-sciences.com/phys ... dirac.html
L'énergie est un quaternion.
E = 1/γ * mc² + β * pc (Voir épisode 2)
E = cos(α) * mc² + sin(α) * γmvc
avec v vecteur de l'espace à 3 dimensions.
Il s'agit d'une rotation. La partie scalaire diminue avec la vitesse. Ce phénomène résulte de la physique des ondes stationnaire mobiles.
Lorsque le vecteur v est nul la particule est au repos, l'angle α est nul, mais les composantes de v ne sont pas nulles et constituent le spin. L'espace y tourne sur lui-même et les ondes entrantes y sont transformées en ondes sortantes.
Comprendre la projection stéréographique de l'équation de Dirac :
https://iopscience.iop.org/article/10.1 ... acdb0e/pdf

Quand la particule est en mouvement la densité ambiante augmente et la composante scalaire diminue et le temps propre aussi. On peut dire que les oscillations de la particule ralentissent parce que la densité ressentie par la particule est plus grande quand elle est en mouvement.

Synthèse avec Gémini

Qu'est-ce que la phase ?

La phase , dans le contexte des ondes et des oscillations, décrit la position d'un point dans son cycle de répétition . C'est une mesure de l'état d'avancement d'un phénomène périodique (qui se répète à l'identique).

Imaginez quelques analogies :

1. L'Aiguille d'une Horloge : La position de la grande aiguille vous indique où elle en est dans son cycle de 60 minutes. Sa "phase" pourrait être l'angle qu'elle fait avec la position "12". 15 minutes après l'heure, elle est dans une phase différente de 30 minutes après l'heure.
2. Une Balançoire : Sa phase décrit où elle se trouve dans son mouvement aller-retour : à l'extrême arrière, en train de passer au point le plus bas, à l'extrême avant, etc.
3. Une Vague sur l'Eau : Si vous prenez une photo, la phase en un point donné vous dit si ce point est au sommet de la crête, au creux, ou quelque part entre les deux. Tous les points sur une même crête ont la même phase (à des multiples de 2π près).

Mathématiquement :

* Pour une oscillation simple décrite par `A cos(ωt + φ₀)` ou `A sin(ωt + φ₀)` :
* L'argument entier de la fonction trigonométrique, `(ωt + φ₀)`, est appelé la phase totale (ou simplement la phase) à l'instant `t`.
* `ωt` représente la partie de la phase qui évolue avec le temps (`ω` est la pulsation).
* `φ₀` est la phase initiale (ou constante de phase), qui indique la position dans le cycle à l'instant `t=0`.
* Pour une onde plane progressive, souvent écrite sous forme complexe `Ψ = A exp[i(k⋅r - ωt + φ₀)]` :
* L'argument de l'exponentielle (multiplié par `i`), **`Φ = k⋅r - ωt + φ₀`**, est la phase (scalaire) de l'onde à la position `r` et au temps `t`.
* Cette phase détermine la valeur de l'onde à cet endroit et à cet instant. Tous les points `(r, t)` ayant la même valeur de `Φ` (modulo 2π) sont dans le même état d'oscillation (par exemple, au sommet d'une crête).
* `k⋅r` représente la variation spatiale de la phase le long de la direction de propagation `k`.
* `-ωt` représente la variation temporelle de la phase.
* `φ₀` est la phase initiale à `r=0, t=0`.

Importance de la Phase :

* Interférence : La différence de phase entre deux ondes qui se superposent détermine si elles interfèrent de manière constructive (addition des amplitudes, si en phase, différence de phase = 0, 2π, 4π...) ou destructive (soustraction des amplitudes, si en opposition de phase, différence = π, 3π...).
* Information : Dans de nombreuses applications (télécommunications, etc.), l'information est codée dans la phase d'une onde porteuse (modulation de phase).

Unités : La phase est fondamentalement un angle . Elle est généralement mesurée en radians (unité standard en physique) ou en degrés. C'est une quantité sans dimension physique (longueur, temps, masse).

En résumé, la phase vous dit "où en est" une onde ou une oscillation dans son cycle répétitif à un moment et en un lieu donnés. C'est l'argument des fonctions trigonométriques ou des exponentielles complexes utilisées pour décrire ces phénomènes.

Ca montre que l'oscillation diminue comme le temps propre du fait du mouvement.

Oui, votre intuition est tout à fait correcte et pointe vers une conséquence directe de la relation `Φ = ω₀ τ` dans le cadre de la relativité restreinte. Voici comment on peut le voir :

1. Rappel :
* `Φ = ωt - k⋅r` est la phase de l'onde (invariant de Lorentz).
* `τ` est le temps propre de la particule (invariant de Lorentz).
* `ω₀ = mc²/ħ` est la pulsation (fréquence angulaire) de la particule dans son référentiel propre (au repos).
* La relation est `Φ = ω₀ τ` .

2. Temps Propre et Mouvement :
* Le temps propre `τ` s'écoule plus lentement pour un observateur en mouvement par rapport à un observateur au repos. La relation avec le temps coordonnée `t` de l'observateur au repos est `τ = t / γ`, où `γ = 1 / √(1 - v²/c²) ≥ 1`.
* Le taux d'écoulement du temps propre par rapport au temps coordonnée est `dτ/dt = 1/γ`. Ce taux diminue lorsque la vitesse `v` augmente (car `γ` augmente).

3. Phase et Mouvement :
* Considérons comment la phase `Φ` de l'onde associée à la particule évolue pour un observateur au repos (qui mesure le temps `t`). Le taux de variation de la phase que cet observateur mesure le long de la trajectoire de la particule est `dΦ/dt`.
* En utilisant la relation `Φ = ω₀ τ`, on a `dΦ = ω₀ dτ`.
* Donc, `dΦ/dt = ω₀ (dτ/dt)`.
* En substituant `dτ/dt = 1/γ`, on obtient :
`dΦ/dt = ω₀ / γ`

4. Interprétation :
* `dΦ/dt` représente le "rythme" de l'oscillation de la phase tel que perçu par l'observateur externe (combien de radians de phase s'accumulent par seconde de temps `t`).
* `ω₀` est le rythme "naturel" de l'oscillation dans le référentiel propre de la particule (radians par seconde de temps propre).
* L'équation `dΦ/dt = ω₀ / γ` montre que le rythme de l'oscillation observé diminue lorsque la vitesse `v` augmente (car `γ` augmente). L'oscillation apparaît plus lente à l'observateur externe.

Conclusion :

Vous avez raison. Le rythme de l'oscillation de la phase (`dΦ/dt`) diminue avec le mouvement (facteur `1/γ`) exactement de la même manière que le taux d'écoulement du temps propre (`dτ/dt`) diminue avec le mouvement (facteur `1/γ`) , lorsqu'on compare ces taux à la fréquence au repos `ω₀` et au taux "normal" de 1 s/s respectivement.

Votre phrase "l'oscillation diminue comme le temps propre du fait du mouvement" capture bien cette idée : le ralentissement de l'oscillation (vu de l'extérieur) et le ralentissement de l'horloge interne (temps propre) sont deux manifestations corrélées du même facteur relativiste `γ` lié au mouvement.

La fréquence/impulsion temporelle est imposée par le champ de Higgs de même que dans les gouttes marcheuses la fréquence est imposée par la vibration du bain. Wolff écrit : "mass is proportional to frequency of the electron's space resonance oscillator" Donc si l'éectron entre en mouvement sa masse diminue avec sa fréquence mais il s'y rajoute l'énergie cinétique.
L'ensemble obéit à la relation mc² cos θ + tanθ mvc ou c cos θ + tanθ v
Détails :
Or E = Mc² = M(c²-v²) + Mv² = mc²/γ + Mv² = 1/γ * mc² + v/c * pc
or (1/γ)² + (v/c)² = 1 donc on peut écrire : E = cos θ * mc² + sin θ * pc = cos θ * mc² + sin θ * γmvc
θ est l'angle d'aberration et vaut 0 au repos, c'est aussi l'angle qui permet de passer à la rapidité par la fonction de Gudermann.
En outre, Φ = (Et - p⋅r)/ħ = ω₀τ = ω₀t cos θ

Analysons cela :

1. Fréquence/Impulsion Temporelle Imposée (Champ de Higgs / Bain Vibrant) :
* L'idée qu'une fréquence fondamentale (et donc une masse via E=ħω, E=mc²) soit imposée à une particule par une interaction avec un champ environnant (comme le champ de Higgs dans le Modèle Standard, ou le bain vibrant pour les gouttes marcheuses) est un concept physique discuté. Cela fournit un mécanisme pour l'origine de la masse/inertie.
* Vous semblez adopter cette idée pour l'origine de `ω` dans votre exp(Iwt).

2. Masse, Fréquence et Mouvement (Wolff et votre interprétation) :
* Vous citez Wolff : "mass is proportional to frequency ". C'est cohérent avec E=mc²=ħω, donc m = ħω/c² ∝ ω.
* Votre affirmation : "...si l'électron entre en mouvement sa masse diminue avec sa fréquence..." Ceci semble contredire m ∝ ω et E=γmc² (où E=ħω augmente avec la vitesse). Peut-être vouliez-vous dire que la contribution de l'énergie de repos à l'énergie totale (mc²/γ) diminue ? Ou que la fréquence propre (ω₀) reste constante mais que la fréquence observée ω change ? Votre formulation initiale est ambiguë ou semble contradictoire.
* "...mais il s'y rajoute l'énergie cinétique." Ceci est qualitativement correct, l'énergie totale augmente à cause du mouvement.

3. Relation Énergie-Impulsion Proposée :
* Vous proposez E = mc² cos θ + tanθ mvc.
* Avec cosθ = 1/γ, sinθ = β = v/c (donc tanθ = sinθ/cosθ = βγ), et p = γmv (impulsion relativiste standard), votre première formule devient :
E = mc²(1/γ) + (βγ) mvc = mc²/γ + (v/c)γ mc (v/c) = mc²/γ + γmv²
* Fait important : Comme nous l'avons vu en aparté, mc²/γ + γmv² est mathématiquement identique à γmc², l'énergie relativiste totale standard ! γmc² = γm(c² - v² + v²) = γm(c²/γ²) + γmv² = mc²/γ + γmv².
* Interprétation : Bien que mathématiquement équivalente à E=γmc², votre écriture E = mc² cos θ + sin θ pc (si on utilise p=γmv) décompose l'énergie totale en deux termes : mc²/γ (partie "énergie de repos modifiée") et γmv² (partie "énergie cinétique modifiée", différente de la définition standard K=(γ-1)mc²). Vous semblez donner une signification physique particulière à cette décomposition dans votre modèle de "transfert d'impulsion".

4. Angle `θ`, Aberration, Rapidité et Gudermannien :
* Vous identifiez `θ` (défini par cosθ=1/γ, sinθ=β) à l'angle d'aberration de la lumière, ce qui est correct.
* Vous le reliez à la rapidité `φ` (où β = tanh φ, γ = cosh φ) via la fonction de Gudermann : θ = gd(φ). Ceci est une relation mathématique exacte et élégante (gd(φ) = 2 arctan(tanh(φ/2)), et on peut montrer que si cosθ=1/coshφ et sinθ=tanhφ, alors θ=gd(φ)).

5. Relation Finale pour la Phase `Φ = ω₀t cos θ` :
* Nous avions établi `Φ = ω₀ τ`.
* Puisque `τ = t/γ` et `cos θ = 1/γ`, on a bien `τ = t cos θ`.
* En substituant, on obtient `Φ = ω₀ (t cos θ) = ω₀t cos θ` . Cette relation est donc une conséquence directe et correcte de la relativité restreinte et de la relation phase-temps propre.

Synthèse et Conclusion :

Vous construisez un édifice interprétatif cohérent où :
* La masse/fréquence est potentiellement liée à un champ externe.
* L'énergie relativiste E=γmc² est décomposée d'une manière particulière (mc²/γ + γmv²) liée à un angle θ = gd(φ).
* La phase de l'onde Φ est correctement reliée au temps et à cet angle via Φ = ω₀t cos θ.

Quelle est la vitesse d'une onde exp[i(kx - ωt)]

L'expression `exp[i(kx - ωt)]` représente une onde plane monochromatique (une seule fréquence `ω` et un seul nombre d'onde `k` dans la direction x). Pour une telle onde, on peut définir deux types de vitesses :

1. Vitesse de Phase (v_φ) :
* Définition : C'est la vitesse à laquelle un point de phase constante (par exemple, le sommet d'une crête) se propage. La phase est donnée par Φ = kx - ωt. On cherche la vitesse dx/dt pour laquelle Φ reste constant (dΦ = 0).
* Calcul : dΦ = k dx - ω dt = 0 ⇒ k dx = ω dt ⇒ dx/dt = ω / k.
* Formule : v_φ = ω / k
* Signification : C'est la vitesse de propagation des fronts d'onde individuels. Pour une onde de matière non relativiste (ω = ħk²/2m), v_φ = (ħk²/2m) / k = ħk/2m = p/2m = v/2, soit la moitié de la vitesse classique de la particule. Pour une onde électromagnétique dans le vide, ω = ck, donc v_φ = ck/k = c.

2. Vitesse de Groupe (v_g) :
* Définition : Cette vitesse n'est strictement définie que pour un paquet d'ondes , qui est une superposition d'ondes planes avec des k et ω légèrement différents (ψ(x, t) = ∫ A(k) exp[i(kx - ω(k)t)] dk). La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'enveloppe de ce paquet d'ondes, c'est-à-dire la vitesse de la "bosse" principale où l'amplitude est significative.
* Calcul : Elle est donnée par la dérivée de la pulsation ω par rapport au nombre d'onde k, évaluée au centre du paquet : v_g = dω / dk. La relation ω(k) est appelée la relation de dispersion .
* Formule : v_g = dω / dk
* Signification : C'est la vitesse à laquelle l'énergie et l'information transportées par le paquet d'ondes se propagent. En mécanique quantique, pour un paquet d'ondes représentant une particule, la vitesse de groupe est égale à la vitesse classique v de la particule .
* Non-relativiste (ω = ħk²/2m) : v_g = d/dk (ħk²/2m) = ħk/m = p/m = v.
* Relativiste (E² = (pc)² + (mc²)² ⇒ ω = √(c²k² + (mc²/ħ)²)) : v_g = dω/dk = c²k/ω = c²(p/ħ)/(E/ħ) = c²p/E. En utilisant E=γmc² et p=γmv, on retrouve v_g = c²(γmv)/(γmc²) = v.

Conclusion :
Pour une onde exp[i(kx - ωt)] :
* Sa vitesse de phase est v_φ = ω/k.
* Sa vitesse de groupe (qui est la vitesse pertinente pour la particule associée) est v_g = dω/dk, dont la valeur dépend de la relation de dispersion ω(k) du système physique décrit par l'onde (par exemple, v_g = v pour une particule libre).

Il est crucial de distinguer ces deux vitesses, car elles ne sont pas égales en général (sauf pour les ondes électromagnétiques dans le vide). C'est la vitesse de groupe qui correspond à la vitesse de déplacement de la particule.

Est-ce que ses vitesses de phase et de groupe de l'onde Wolffvalent c ?

Pour déterminer les vitesses de phase (v_φ) et de groupe (v_g) de l'onde sortante de Wolff, Ψ_OUT = (A / r) * exp[i(ωt - kr)], nous devons connaître la relation de dispersion ω(k) que ces ondes suivent.

1. Équation d'Onde Utilisée par Wolff :
Wolff base son modèle sur les solutions de l'équation d'onde scalaire standard [src: 44, 180] :
`∇²Ψ - (1/c²) ∂²Ψ/∂t² = 0`
Il affirme que c est la vitesse de ces ondes quantiques dans l'espace [src: 173] et que les ondes IN et OUT voyagent à cette vitesse [src: 1071].
2. Relation de Dispersion :
En substituant une solution de type onde plane exp[i(k⋅r - ωt)] (ou une onde sphérique pour la dépendance k, ω) dans cette équation d'onde, on obtient la relation de dispersion :
ω² / c² - k² = 0
Ce qui donne :
ω = ck (en considérant la fréquence positive).
3. Calcul de la Vitesse de Phase (v_φ) :
Par définition, v_φ = ω / k.
En utilisant ω = ck :
v_φ = (ck) / k = c
La vitesse de phase des ondes IN et OUT de Wolff est égale à c .
4. Calcul de la Vitesse de Groupe (v_g) :
Par définition, v_g = dω / dk.
En utilisant ω(k) = ck :
v_g = d/dk (ck) = c
La vitesse de groupe associée à ces ondes fondamentales est également égale à c .

Note Importante (Contexte WSM) : Cela peut sembler paradoxal car ces ondes constituent une particule massive (comme l'électron, E=mc²=ħω₀) qui, elle, se déplace à une vitesse v < c. Dans le modèle de Wolff :
* c est la vitesse de propagation des ondes de phase IN et OUT dans le "médium spatial".
* La masse m est liée à la fréquence ω₀ de la résonance stationnaire au repos.
* La vitesse v < c de la particule (observée macroscopiquement) est interprétée comme la vitesse de groupe des modulations ou des battements résultant de l'effet Doppler sur les ondes IN et OUT lorsque la structure résonante est en mouvement.

Donc, bien que les ondes constituantes aient des vitesses de phase et de groupe égales à c, le phénomène "particule" localisé qui émerge de leur superposition se déplace à v < c.

La particule massive est constituée de la différence des deux ondes (erreur de signe dans et texte de Wolff) quand la partie sin x apparaît qui contient l'énergie à impulsion nulle qui constitue la particule.

`
1. Particule Massive = Différence des Ondes : Vous suggérez que la structure massive n'est pas simplement la superposition, mais spécifiquement la différence entre les ondes IN et OUT (`Ψ_IN - Ψ_OUT`).
* Mathématiquement : Comme nous l'avons vu, `Ψ_IN - Ψ_OUT` (en ignorant `A/r` et en utilisant `i` complexe) est proportionnel à `i * exp(iωt) * sin(kr)`. Cette différence fait bien apparaître le terme spatial `sin(kr)` . (Alors que la somme `Ψ_IN + Ψ_OUT` donnerait `exp(iωt) * cos(kr)`).
2. Partie `sin(kr)` = Énergie à Impulsion Nulle (Masse au Repos) :
* Onde Stationnaire : La combinaison d'une onde entrante et d'une onde sortante de même fréquence et amplitude crée une onde stationnaire . Une onde stationnaire ne propage pas d'énergie nette dans une direction ; elle représente une énergie localisée.
* Impulsion Nulle : Une onde stationnaire pure correspond à un état d'impulsion nette nulle (`p=0`) .
* Masse au Repos : L'énergie `E` associée à cette onde stationnaire (liée à sa fréquence `ω` par `E=ħω`) est donc l'énergie au repos de la particule, c'est-à-dire sa masse (`E = mc²`).
* Votre Point : Vous identifiez donc correctement la structure d'onde stationnaire (caractérisée ici par `sin(kr)`) comme l'entité qui porte l'énergie de masse au repos (`mc²`) et qui a une impulsion nette nulle.

Conclusion et Résolution du Paradoxe :
Votre explication clarifie comment le modèle de Wolff peut réconcilier l'idée d'une particule massive (m > 0 , qui doit se déplacer à v < c ) avec le fait qu'elle soit composée d'ondes fondamentales (IN et OUT) dont les vitesses de phase et de groupe sont c .

* Les ondes constituantes IN et OUT se propagent individuellement à la vitesse c .
* Leur superposition (spécifiquement, peut-être leur différence, menant à `sin(kr)`) crée une onde stationnaire localisée autour du centre.
* Cette onde stationnaire représente la particule au repos . Elle a une énergie E = ħω = mc² mais une impulsion nette nulle (p=0 ).
* Ce n'est que lorsque cette structure est mise en mouvement (via l'effet Doppler modifiant les ondes IN et OUT de manière déséquilibrée) que la particule acquiert une impulsion nette p = γmv et une vitesse de groupe v = dE/dp < c .

Quand l'onde est plane et que k = r, le temps propre est nul, mais quand les deux ondes IN et OUT sont associées k <> r et la vitesse de groupe <c alors que la vitesse de phase est > c. Si a vitesse est nulle, le temps propre est maximal puis il diminue avec la vitesse

1. "Quand l'onde est plane et que k = r, le temps propre est nul"
* Interprétation : Vous semblez associer l'onde plane `exp[i(kr - ωt)]` (où `k=r` à une propagation à la vitesse de la lumière `c`, comme pour un photon ou une onde électromagnétique dans le vide.
* Vitesse c et Temps Propre : C'est correct. Pour une particule ou une onde se déplaçant à la vitesse `c`, l'intervalle d'espace-temps `ds² = (cdt)² - dx² - dy² - dz²` est nul. Puisque le temps propre est défini par `dτ² = ds²/c²`, un déplacement à la vitesse `c` correspond à un incrément de temps propre nul (`dτ = 0`) . Les photons, par exemple, n'expérimentent pas le passage du temps dans leur propre "référentiel".
* Vitesses pour `ω=ck` : Pour une telle onde (massless), la relation de dispersion est `ω = ck`, ce qui conduit bien à `v_φ = ω/k = c` et `v_g = dω/dk = c`.
2. "mais quand les deux ondes IN et OUT sont associées [...] la vitesse de groupe < c alors que la vitesse de phase est > c"
* Interprétation : Vous associez maintenant la superposition des ondes IN et OUT (le modèle de Wolff pour une particule massive comme l'électron) au comportement attendu pour une particule massive en relativité.
* Vitesses pour Particule Massive : C'est tout à fait exact. Pour une particule massive, dont la relation de dispersion est gouvernée par `E² = (pc)² + (mc²)²` (ou `ω = √(c²k² + ω₀²)`), on trouve :
* Vitesse de groupe : `v_g = dE/dp = v` (la vitesse de la particule), qui est strictement inférieure à `c` (`v < c`) .
* Vitesse de phase : `v_φ = E/p = γmc²/γmv = c²/v`. Puisque `v < c`, alors `c/v > 1`, donc `v_φ = c * (c/v)` est strictement supérieure à `c` (`v_φ > c`) .
* Votre affirmation sur les vitesses `v_g < c` et `v_φ > c` pour la structure massive est donc correcte et correspond bien à la description relativiste standard (et à ce que le modèle de Wolff doit reproduire).
3. "Si a vitesse est nulle, le temps propre est maximal puis il diminue avec la vitesse."
* Temps Propre et Vitesse : C'est également exact. La relation entre le temps propre `τ` et le temps coordonnée `t` est `τ = t / γ = t * √(1 - v²/c²)`.
* Quand la vitesse `v = 0`, le facteur de Lorentz `γ = 1`, et `τ = t`. C'est la valeur maximale possible pour `τ` par rapport à `t`.
* Quand la vitesse `v` augmente (vers `c`), `γ` augmente (vers l'infini), et le rapport `τ/t = 1/γ` diminue (vers zéro). L'écoulement du temps propre ralentit par rapport au temps coordonnée. Votre description est correcte.

[externo]

Si la géométrie physique est celle des quaternions l'univers est forcément sphérique.

https://catalogimages.wiley.com/images/ ... xcerpt.pdf

Dans l'annexe B, nous avons examiné les racines d'équations de nombres complexes telles que z² + 1 = 0 dans l'espace 2D et avons trouvé que les racines étaient i et −i. En utilisant l'équation analogue dans l'espace 4D, nous considérerions Q² + 1 = 0 et trouverions un nombre infini de solutions. Nous pourrions dessiner le lieu géométrique de ces solutions dans l'espace 3D lorsqu'il n'y avait pas de partie réelle (a = 0) pour le quaternion sans partie réelle, Q = ib + jc + kd et b² + c² + d² = 1. Ces solutions forment une sphère unitaire centrée sur zéro dans le sous-espace imaginaire pur 3D des quaternions. Nous pourrions alors dire que le lieu géométrique des solutions dans l'espace 3D pour une partie réelle fixe (a1 = cΔt) était une sphère plus grande de rayon au carré b² + c² + d² = 1 + c² Δt² dans l'espace 3D. Ainsi, le rayon de la sphère de solutions croît avec le temps à une vitesse de cΔt. Séquencer la valeur de a à des valeurs successivement plus grandes correspondrait à des sphères séquentielles de rayon plus grand. On peut voir l'intérêt de dire que les solutions dans l'espace des quaternions sont un film de solutions avec des sphères de rayon croissant comme l'expansion d'un potentiel sphérique à vitesse constante, c, dans l'espace 3D (la dimension scalaire correspondant à un multiple de c fois le temps).

Le fait que i²=j²=k² = -1 fait que Q² + 1 = 0, ce qui impose que l'espace soit sphérique. Si la géométrie de l'univers est quaternionique il est forcément sphérique.


La densité (facteur d'échelle)
Dans les quaternions les vecteurs i, j, k sont des bivecteurs, c'est à dire des plans orientés. e1,e2,e3 sont des vecteurs de bases, mais concrètement tout élément construit avec e1,e2,e3 possède une "épaisseur" qui est sa densité. Le vecteur e1 est en fait un plan "d'aire" |i| * densité. Si la partie scalaire du paravecteur est nulle c'est que la coordonnée de densité (temps) est la même aux deux extrémités du vecteur. Pour un objet en mouvement ou pour l'éther dans un champ de gravitation, la partie scalaire n'est pas nulle. La densité est une réalité physique qui semble être négligée dans la RG actuelle quand on traite des métriques, c'est pourtant la vraie 4e dimension.
Note : t + xi + yj + zk est un quaternion tandis que t + xe1 + xe2 + xe3 est un paravecteur. xi + yj + zk a été appelé par Hamilton la partie vectorielle par quiproquo, c'est plutôt la partie planaire. On pourrait utiliser i, j, k comme des vecteurs mais cela obscurcirait le sens physique des objets manipulés.

A mesure que l'espace se dilate la densité diminue et le temps augmente, la densité est donc l'inverse du temps.

https://forums.futura-sciences.com/disc ... ry-uk.html

La coordonnée T de temps cosmique représente l'inverse de la densité, elle croît parce que la densité de l'espace diminue.
Le carré de la distance entre deux évènements est (T2²-T1²) + (X2²-X1²) parce que la densité diminue entre T1 et T2
Si la densité restait la même le temps ne passerait plus. Elle doit soit augmenter soit diminuer.
Dans un champ de gravitation la formule de la distance est plus compliquée car la densité varie en fonction de la position (donc l'écoulement du temps), sans compter qu'il faut aussi tenir compte de la courbure de l'espace.

Apports de l'algèbre géométrique
1 est un cube éleméntaire d'éther. S'il grandit il peut devenir 2 etc...
C'est le temps lui-même.

e1,e2,e3 sont des files de tels cubes.
1e1,1e2,1e3 sont des vecteurs avec densité incluse.

masse = densité * volume fait penser que la densité peut être le temps.
(Voir Physique Online "Et si la métrique de Minkowski n’était pas bonne ?", 3e message. Cette idée avait été rejetée au 16e message).
Ca laisse à penser que le scalaire temporel agir comme un facteur d'échelle spatial.

Les bivecteurs 1e1, 1e2, 1e3 sont des plans orientés d'espace-temps, c'est à dire des vecteurs de l'espace qui ont une épaisseur de temps qui n'est rien d'autre qu'un cube d'éther.

La masse correspond au volume 4D, cad à la quantité d'éther. Masse = densité x volume 3D = temps x volume 3D.
Les quaternions traitent des objets physiques qui appartiennent à l'espace-temps et non d'objets de l'espace mathématique à 3 dimensions.
Si la partie scalaire du quadrivecteur quaternionique n'est pas nulle c'est qu'il est orienté dans la dimension de la densité (temps). C'est ce qui se passe en RR : les objets en mouvement s'orientent dans la dimension de la densité.
C'est comme si on avait un plan e1e2 et que le vecteur e2 pivotait et s'orientait dans la direction du vecteur e1. Le vecteur e2 à la base était orienté dans la direction du mouvement mais avec la vitesse il s'oriente vers e1 qui est un "vecteur temps", ce qui fait diminuer l'aire du plan. Cette diminution est compensée par la coordonnée selon e1 de e2. Le vecteur e2 possède en effet à présent une longueur selon e1, sa coordonnée dans le temps due à sa rotation. Le volume 4D de l'objet ne change pas, il est juste orienté autrement. Dans les faits il faut remplacer le "vecteur temps" par une partie scalaire et le vecteur espace par un bivecteur.
Il est peut-être plus simple et plus vrai d'imaginer un vecteur courbe qui serait incliné en plus d'être courbe, c'est à dire que le point de départ n'a pas la même coordonnée de temps que le point d'arrivée, ce qui constitue le décalage de simultanéité. Dans l'univers tous les objets sont courbes de la courbure liée à leur propre densité, mais s'ils entrent en mouvement cette courbure s'incline. L'éther possède sa courbure cosmique, elle est accentuée en présence de matière sous la forme d'une cuvette. Cette cuvette mise en mouvement s'incline, ce qui revient à accentuer la courbure dans le sens du mouvement.

Approfondissement
On part d'un point B sur la sphère cosmique. A sa gauche (plus bas) se trouve A et à sa droite C (plus bas également). Ils sont équidistants. La longueur AC est un vecteur spatial courbe. Dans la suite on néglige la courbure dans la longueur et on approxime par un vecteur classique qui relie les point A au point C et pareil pour les autres. Le vecteur de densité qui lui associé possède d'après B une partie scalaire nulle, sa norme est (AB + AC) * densité = 2AB*densité. Par contre les vecteurs AB et BC vu du point B ont une partie scalaire car leur longueur est inclinée, et la norme des vecteurs de densité qui leur sont associés est rac(AB'² + scalaire²)*densité et rac(BC'² + scalaire²)*densité. Elles sont égales et 2AB * densité = 2*rac(AB'² + scalaire²)*densité, autrement dit AB² = AB'²+scalaire². On retrouve la formule longueur propre² = longueur contractée² + décalage temporel²
Si A et C se trouvent sur l'équateur et O est le centre de la sphère cosmique (toujours en négligeant les courbures), AB² = AC² = AO² + OB² avec OB = décalage temporel, qui est un scalaire = temps cosmique.
Poser densité = 1 revient à poser facteur d'échelle = 1. En fait densité = 1/facteur d'échelle.
Aussi bien le décalage temporel que le temps cosmique sont la partie scalaire du quaternion. Le temps est donc la partie scalaire du quaternion. L'intuition d'Hamilton était bonne.

γ²(longueur contractée)² = (longueur contractée)² + (décalage de temps)²
γ² = 1 + (décalage de temps)²/(longueur contractée)²
1/cos² x = 1 +tan² x

(densité² -1) * longueur contractée² = décalage de temps²
γ = 1/vitesse dans le temps = t/τ
β = vitesse dans l'espace = x/t
Densité = inverse de la vitesse dans le temps = temps cosmique/temps local

Quelques raisonnements spatiaux-temporels :

La "courbure" temps/espace de l'éther qui provoque la contraction est sa densité.
C'est aussi la distance dans le temps. On va raisonner là-dessus.
Il faut utiliser la coordonnée de temps comme une coordonnées d'espace, sans s'occuper du temps propre. Il faut définir un repère et s'y tenir pour faire les mesures, quitte à dire que les objets loin de nous sont dans le passé. La différence de coordonnée temporelle mesurée avec notre repère local entre les objets loin de nous et nous est une distance temporelle qui est aussi la densité de l'éther.
Par exemple,1 parsec dans l'espace tel que mesuré aujourd'hui est moins loin dans le temps que par le passé car alors cette distance aurait été plus longue à franchir puisque la vitesse des photons était plus lente. La distance dans le temps diminue quand la densité diminue. C'est que la courbure le long de ce parsec est aujourd'hui plus faible que par le passé. (Courbure plus faible = distance dans le temps plus courte)
Plus la densité est petite plus les distances temporelles sont petites pour une même distance spatiale et plus le temps semble passer vite.
Note : La distance en année-lumière est à éviter car portant à confusion puisque cette vitesse varie tout en étant toujours mesurée à c.
Ce qu'il en ressort c'est que la longueur d'une portion courbe de l'univers mesurée avec nos étalons locaux n'est pas une longueur d'espace mais une longueur d'espace-temps. Seule la longueur propre mesurée par un arpenteur mesurant la distance est une longueur d'espace pur et courbe.
Par contre, dans un champ de gravitation, la longueur propre mesurée par les arpenteurs est une longueur d'espace-temps et non d'espace. Quel que soit le référentiel de mesure on trouve cette longueur mais la proportion d'espace et de temps/densité diffère.

Si on mesure les deux extrémités au même instant toute la longueur est spatiale, sinon c'est un mélange.
Si je regarde un relief et que je tourne la tête il reste identique à lui-même. Si je le mesure il aura toujours la même longueur même si je prends pour la longueur ce qui est la hauteur etc. Changer de système de coordonnées ne change pas la géométrie etc..
Celui qui mesure peut utiliser un autre système de coordonnées et retrouvera les mêmes dimensions d'espace-temps. Entendu qu'il s'agit de dimensions "spatiales". La distance temporelle entre deux points n'est que le degré de désynchronisation mesuré entre les deux points et elle dépend de la vitesse de la lumière supposée dans le référentiel de mesure.
-Un objet au repos mesure que les objet en mouvement sont spatialement contractés, mais longueur espace-temps² = longueur contracté² + longueur temporelle²
-Un objet en mouvement mesure que tout l'univers est spatialement contracté et que toutes les distances spatiales sont non synchrones à ses yeux, on retrouve exactement la même relation que ci-dessus. Quels que soient les systèmes de coordonnées et l'état de mouvement de l'observateur on retrouve les mêmes dimensions. Le changement de système de coordonnées n'affecte pas les mesures spatiales mais affecte bel et bien la perception de l'écoulement du temps propre. Les objets en mouvement, en raison de leur système de coordonnées particulier, sont portés à croire que l'univers extérieur vieillit moins qu'eux. C'est simplement parce qu'ils se servent du temps pour mesurer de l'espace et vice versa et qu'ils prennent au sens littéral l'espace pour du temps et du temps pour de l'espace, de même que si on mesure en inversant la longueur et la largeur on prendra la longueur pour la largeur et vice versa et on dira que tel objet est plus long que large quand en fait c'est le contraire. Car l'objet mesuré possède bien une hauteur et une largeur vraies et de même les objets mesurés en relativité possèdent bien une longueur d'espace vraie et une longueur de temps vraie tout en ayant de tous les points de vues la même longueur d'espace-temps. Un objet en mouvement est vraiment contracté dans l'espace ce qui ne l'empêche pas de conserver sa longueur 4D. Le juge de paix pour savoir quelle est la longueur spatiale et quelle est la longueur temporelle c'est la vitesse de la lumière. Si la lumière est physiquement isotrope de l'objet la longueur temporelle de l'objet est nulle.

Même les longueurs d'espace pur contiennent un facteur d'échelle temporel qui constitue leur norme et qui évolue avec l'expansion de l'univers. De même qu'un bivecteur est constitué de deux vecteurs, un vecteur est constitué d'un vecteur de base et d'un scalaire temporel qui définit sa densité. Comme c'est un vecteur pur et non un paravecteur il n'a pas de partie scalaire pour le déphaser et lui donner une composante de longueur dans le temps, mais le temps se manifeste tout de même dans sa longueur propre.

Le temps d'après le mouvement (temps d'Aristote)
Le mouvement de dilatation de l'espace, qui est un mouvement en quelque sorte physique sans en être un, est le mouvement par rapport auquel il faut mesurer le passage du temps. Il faut remplacer l'avant et l'après par l'augmentation des dimensions de l'espace.
Le temps est la dimension qui gère l'écartement entre les granules de l'éther. Par exemple prenons une longueur spatiale de longueur 1 à la date 1. Au bout d'un certain temps elle se sera dilatée et la longueur sera 2 et sa coordonnée de temps sera également 2, mais le nombre de granules d'éther sur toute sa longueur sera resté le même. Le nombre de granules d'éther est la longueur comobile et c'est l'augmentation de l'écartement entre chaque granule qui est le passage du temps.

Maintenant prenons cette longueur d'espace à la date 10 et mettons là en mouvement de sorte qu'elle se contracte d'un facteur de Lorentz de 2. Sa longueur sera de 5, et il va en résulter que la coordonnée de temps ne sera plus la même sur toute sa longueur, ce ne sera plus 10, mais un peu plus à l'arrière et un peu moins à l'avant, il y aura un décalage, de sorte que 5² + décalage de temps² = 10²
https://forum-sceptique.com/viewtopic.p ... 25#p649914

Orientation du temps dans l'espace
Ce qui suit n'est pas correct, l'expansion provient vraisemmablement du champ de Higgs.
On prend les équations de la RG avec une distribution de masse isotrope dans l'espace, et on comprend qu'un objet massif est attiré dans toutes les directions à la fois avec la même force et que la courbure produite est en sens inverse, au lieu d'être un puits c'est une bosse et l'objet se dilate dans toutes les directions du fait de cette attraction. C'est le mécanisme de l'expansion de l'éther. Elle explique bien entendu la matière noire qui vient de ce que les étoiles des galaxies s'éloignent les unes des autres à la vitesse d'expansion.
Il faut représenter la courbure des mailles spatiales en sens inverse. La Terre est attirée par les masses de tout l'univers et se dilate car rien n'empêche cette dilatation.
Chaque point de l'espace se dilate avec ou sans masse présente.

Le champ gravitationnel d'un astre produit une contraction de l'espace 3D vers un point central. Ca créé spatialement une cuvette. On voit que les mailles de l'espace sont courbées en forme de cuvette autour de la masse. On découpe une part de gâteau d'une rondelle de papier et on joint le bout. La lumière va plus vite vers l'astre central donc le temps va vers le futur vers l'astre central.
Les lignes d'univers vont vers le futur, donc si l'éther n'est pas synchrone la ligne d'univers déteint dans l'espace, le chuteur ne fait que suivre la ligne d'univers synchrone, les immobiles prennent du retard en restant sur place puisqu'ils ne profitent pas de la partie du temps qui déteint dans l'espace. C'est parce que les impulsions ne s'annulent plus quand on fait du sur place or le temps passe quand les impulsions s'annulent, c'est un déplacement spatial où les impulsions s'annulent. Pour les annuler à nouveau et ne pas ralentir son vieillissement il faut se laisser entraîner par la gravitation.
Le centre d'un grand vide se dilate. Ca créé spatialement un bombement. On écarte sur une tranche une rondelle de papier et on y insère une part de gateau. La lumière va plus vite en s'éloignant donc le temps va vers le futur quand on s'éloigne du point.
Les lignes d'univers déteignent ici aussi dans l'espace mais au lieu de se rapprocher vers un corps central elles divergent vers les masses lointaines.

Détails :
Regardons l'image de la courbure autour de la Terre. On voit que l'espace se courbe en forme de cuvettes tout autour de la Terre.
La distance radiale se contracte, ce qui courbe les lignes orthrodiales et rapproche du coup les lignes radiales, qui convergent.
L'espace est courbé orthoradialement et ce qui reproduit le paraboloide dans l'espace physique à 3 dimensions.
Les lignes radiales qui convergent constituent une courbure spatiale qui mime la contraction des longueurs. Elle a en fait la même valeur numérique que la contraction radiale.
La distance orthoradiale correspondant à la profondeur de cette courbure est le décalage temporel associé à la courbure spatiale, et on voit donc que les lignes orthoradiales tirent vers le futur. Plus on approche de la Terre plus on est dans le futur.
Dans une représentation en 2D la Terre est au fond de la cuvette, ici c'est pareil.
Ce qu'il y a de remarquable c'est que le paraboloide a normalement le temps en ordonnée et l'espace en abscisse et qu'il ne s'agit que d'une contraction spatiale avec changement de simultanéité sur la longueur contractée, mais on voit ici que la chose est reproduite parfaitement dans l'espace 3D par la courbure de l'espace. C'est la symétrie sphérique qui fait ça.
Donc le paraboloide prend corps spatialement.
De même la dilatation spatiale due aux masses lointaines n'est a priori qu'une dilatation radiale (mais sans changement de simultanéité car l'espace est libre de se dilater, il est comme le chuteur, il reste isotrope de la lumière). Mais la symétrie sphérique de l'attraction des masses lointaines convertit cette dilatation radiale de l'espace en un véritable espace courbe qui prend la forme globale à grande échelle d'une sphère en 3 dimensions dont le rayon vaut le temps cosmique.

Orthogonalité du temps et de l'espace
Lorsque la vitesse de la lumière est isotrope le temps et l'espace sont orthogonaux, donc ils ne le sont pas dans un champ de gravitation. Loin du champ de gravitation dans un vide, l'éther est entraîné par l'expansion et la vitesse de la lumière reste isotrope dans son référentiel, par conséquent le temps et l'espace restent orthogonaux. Le bombement conserve donc l'orthogonalité tandis que la cuvette le perd. De ce fait, dans un bombement du vide, l'espace radialement s'incline avec le temps et dessine la courbure générale de l'univers. Dans un champ gravitationnel, au contraire, l'espace radialement se contracte et ne se courbe pas, la courbure spatiale extrinsèque ne se produit que dans la direction orthogonale à l'attraction. L'immobilité de l'éther associée à une courbure du temps fait donc perdre l'orthogonalité entre les deux.

Comprendre le temps
Le vieillissement a une origine mécanique. Au repos, les phénomènes électromagnétiques se déplacent à la vitesse de la lumière et ne sont pas entravés. Il y a convergence entre le vieillissement et la coordonnée de temps scalaire. En mouvement, la vitesse dérobe une partie du vieillissement. On le voit par exemple en remarquant que la durée d'aller-retour est plus lente du facteur gamma. C'est en ce sens qu'on peut dire que la vitesse totale = c et que la vitesse dans l'espace fait diminuer la vitesse dans le temps.

Le temps est responsable des changements incombant aux processus physiques, et la vitesse à laquelle évoluent ces processus dépend de la vitesse de la lumière, et cette vitesse de la lumière dépend de la densité du champ gravitationnel, qui correspond à la densité des ondes quantiques parcourant l'éther. Elle dépend aussi de la vitesse par rapport à l'éther car si on se déplace vite on augmente la densité des ondes relativement à nous et on réduit la vitesse de la lumière, c'est le vent d'éther. Plus la densité est grande, plus la vitesse de la lumière est faible et plus le temps évolue lentement.
Bref, le temps, c'est la densité de l'éther (en fait le facteur d'échelle), partie scalaire de l'espace des quaternions et 4e dimension euclidienne.

Quand l'éther se contracte, il ne fait qu'augmenter sa courbure, la longueur 4D, qui est sa longueur fois sa densité, ne change pas.
Les grands vides sont des zones où la courbure est moins importante que la moyenne et où les ondes sont un peu plus dilatées donc l'espace est dilaté par rapport à la moyenne. En outre la lumière reste isotrope et son aller-retour dure toujours aussi longtemps donc le temps y passe au même rythme que le temps cosmique.

Quand l'éther se dilate, il réduit sa courbure. Son volume 4D, c'est à dire sa masse, ne change pas, la réduction de sa densité compense son augmentation de longueur.
Ca se comprend très bien, sur la sphère de l'univers une règle qui se dilate avec l'univers s'allonge.
Elle s'allonge et il faut noter que ses coordonnées de temps restent les mêmes sur toute sa longueur, il n'y a pas de rotation de l'espace dans le temps.

La rotation d'un objet sur lui-même est sa rotation espace-espace, cad une inversion de ses dimensions d'espace.
En RR ça n'affecte pas l'espace extérieur, mais par la gravitation ça fait tourner aussi un peu l'espace extérieur.
L'accélération translationnelle d'un objet est sa rotation espace-temps, cad entre une dimension d'espace et le temps (l'espace se densifie). Cela correspond à un basculement de l'objet (de son plan orthogonal au mouvement) de l'angle d'aberration dans la coordonnée de temps.

La courbure de l'espace par la gravitation :
quand une feuille de papier est pliée en rond, le papier est fripé dans toutes les directions.
Si on prend une feuille de papier et qu'on en découpe une tranche de gâteau, si on rejoint les bords coupés, on obtient un espèce d'entonnoir. On remarque que la longueur dans le sens radial n'est pas réduite, c'est la longueur circonférentielle qui est réduite.
C'est la partie scalaire (le temps) qui permet à l'éther de se contracter sans baigner dans une dimension vectorielle supplémentaire, c'est une modification de son échelle (dilatation contraction).

L'éther se dilate partout, même au coeur des galaxies, même dans la matière. La matière se dilate donc avec l'univers et l'expansion n'est pas perceptible, le redshift cosmologique vient de la dilatation du temps passé.

Synthèse
L'espace-temps de Minkowski possède 5 dimensions, 4 vectorielles et une scalaire.
La dimension avec signature négative n'est pas physique (d'ailleurs elle ne prend pas en compte la partie scalaire dans sa formulation), elle permet de tracer le temps propre. C'est une excroissance greffée sur l'espace-temps physique qui fait 4 dimensions, 3 vectorielles et une scalaire.
L'algèbre de l'espace-temps est cette structure à 5 dimensions tandis que l'algèbre de l'espace physique est la structure à 4 dimensions (biquaternions (algèbre de Clifford) cad quaternions auxquels on a rajouté les vecteurs et le pseudoscalaire).
Dans le découpage de Painlevé le choix du temps coïncide avec la dimension scalaire et donc la courbure du paraboloïde est à la fois dans la dimension w scalaire et dans le temps vectoriel. Il s'agit du découpage physique qui permet d'obtenir les observations de temps propre physique à l'aide de la métrique de Minkowski.
Donc l'espace 4D vectoriel est courbé dans la dimension w, mais physiquement c'est l'espace 3D seul qui est courbé et cette dimension w c'est la vraie dimension t.

[externo]

D'où vient la métrique de Minkowski ?

Exposition :
Supposer qu'un l'objet contracté est à temps constant en se fiant au temps propre de l'observateur n'a pas de sens.
C'est un mélange des coordonnées, c'est un reliquat du temps universel de Newton.
Le décalage de temps de l'objet mouvant est donné par ses horloges, il n'est pas nul dans le référentiel de l'observateur.
Il faut donc associer ce décalage de temps, qui représente sa "longueur" temporelle de temps dt, à sa longueur contractée dx.
On trouve alors que sa longueur propre est conservée selon dx² + dt²
Ca correspond à faire du temps un scalaire au sein de l'espace, et le dt témoigne de l'anisotropie de la vitesse de la lumière par rapport à l'objet mouvant telle que mesurée depuis le référentiel de l'observateur.

Une rotation euclidienne c'est :

x' = (x/γ) + βt
t' = (t/γ) - βx
avec 1/γ = cos et β = sin

Un objet au repos a pour dimensions dt et dx avec dt = 0.

L'objet accélère, il subit la transformation active :
x' = x cos(θ) + t sin(θ)
t' = x sin(θ) - t cos(θ)

x' = (x/γ) + βt
t' = (t/γ) - βx
A l'arrivée nous avons dt' <>0

Ensuite nous pouvons effectuer la transformation passive qui change de système de coordonnées :
x'' = (x'/γ) - βt' = x
t'' = (t'/γ) + βx' = t
car
x'' = (x/γ + βt)/γ) - β (t/γ - βx) = x(1/γ² + β²) = x
t'' = (t/γ - βx)/γ) + β (x/γ + βt) = t (1/γ² + β²) = t

Dans ce nouveau système de coordonnées l'objet retrouve les mêmes coordonnées qu'il avait quand il était au repos dans le système de coordonnées de l'éther, avec longueur temps de l'objet = dt'' = dt = 0. C'est le propre d'une transformation passive qui suit la transformation active de donner à l'objet transformé l'impression qu'il ne s'est pas transformé. Par exemple, un objet qui effectue une rotation spatiale n'aura pas conscience d'avoir effectué cette rotation s'il emporte avec lui dans sa rotation son propre système de coordonnées

Si dans la transformation active on isole x (ou x'') et t (ou t'') :
x''= x = γ(x' - βt)
t'' = t = γ(t' + βx)
on trouve une relation qui ressemble aux transformations de Lorentz.
Il s'agit d'une transformation passive.
(t',x' ) sont les coordonnées dans le référentiel de départ et (t'',x'') = (t,x) sont les coordonnées dans le référentiel d'arrivée.
Nous avons dt = 0 et dt'<> 0, mais nous avons aussi dt'' = dt = 0. dt est la longueur temps de l'objet avant son accélération dans le référentiel de l'éther et dt'' est sa longueur temps après son accélération dans son nouveau référentiel. Dans le référentiel de l'éther la longueur temps de l'objet transformé est dt'<>0, mais la tradition n'est pas de raisonner ainsi, elle est de prétendre que l'objet avait des coordonnées de temps constantes dans le référentiel de départ même s'il était en mouvement, car on utlise traditionnellement les coordonnées de temps de l'observateur et on les applique à l'objet observé. C'est ainsi que dt' se retrouve = 0, cela revient à inverser dt et dt' puisque dt = dt''.
Inversons dt et dt', on obtient :
x''= x = γ(x' - βt')
t'' = t' = γ(t + βx)
et du coup t = γ(t' - βx') puisque t est le résultat de la transformation inverse de t'
Démonstration :
t' = γ(t + βx) => t = (t'/γ) - βx = (t'/γ) - β (γ(x' - βt')) = γ(t'/γ²) - βx' + β²t') = γ(t' (1/γ² + β²) - βx' = γ(t' - βx')

Nous avons donc :
x = γ(x' - βt')
t = γ(t' - βx')
ce qui sont les transformations de Lorentz.

Les transformations de Lorentz consistent donc à utiliser les étalons de temps de l'observateur et à les appliquer à l'objet mesuré.
Objection : L'observateur a tout à fait le droit dans son système de coordonnées de se déclarer dt = 0 et d'affirmer que la vitesse de la lumière est isotrope, mais à condition de ne pas oublier que cela ne représente pas la coordonnée de temps des objets mouvants.
Ainsi chacun est comme immobile dans l'éther mais sans utiliser son temps comme un temps absolu.
Il y a deux choses
1-Le fait de se croire immobile dans l'éther grâce à son système de coordonnées, ce qui est légitime.
2-Le fait de mesurer le temps de tout le monde avec sa simultanéité, ce qui est illégitime.
Quand un objet s'éloigne sa coordonnée de temps s'éloigne aussi dans le passé au rythme de la dilatation du temps observationnelle de l'objet. C'est symétrique, l'objet qui s'éloigne vraiment a l'impression que l'objet immobile subit la dilatation du temps et que sa coordonnée de temps avance moins vite et prend du retard, mais s'il fait demi tour l'objet immobile saute dans le futur et il faut le compter comme un vrai saut dans le futur, par contre du point de vue de l'objet immobile l'objet qui fait demi tour ne saute pas dans le futur. Cela indique que toute accélération de soi même modifie la coordonnée temporelle des objets autour de soi. Les objets qui se déplaçaient avec soi changent d'époque, ceux qui étaient immobiles aussi. Ca correspond à la modification de la synchronisation et au changement du repère de coordonnées. L'accélération change le système de référence utilisé et donc modifie les coordonnées de tout l'univers pour l'accéléré.
La transformation euclidienne qui se trouve à la base de cette façon de faire n'est pas symétrique, elle impose donc un référentiel absolu caché, mais il est inutile de le connaître car chacun peut très bien faire ses mesures dans son référentiel personnel, et même s'il était connu on continuerait de faire nos mesures de cette façon car le système de coordonnée attaché ainsi est réel, il est associé aux transformations subies par la matière.

Exemple d'inversion : L'objet en mouvement à un décalage de temps de 10 dans le référentiel de départ dt = 10, c'est ce qui devrait entrer dans les coordonnées de départ. Mais en fait on entre 0 car on considère que l'objet même en mouvement est à temps constant dans le référentiel de départ alors que c'est dans le référentiel d'arrivée où il est immobile qu'il est à temps constant.
L'image temporelle t' sera donc la coordonnée de temps de l'ancien référentiel dans le nouveau référentiel, ce qui est une complète inversion de ce que devrait être la coordonnée de temps de l'objet mesuré.
Ou alors on cherche à mesurer en prenant deux intervalles de temps distants de 10 pour l'observateur, pour correspondre à deux instants simultanés pour l'objet movant, et on obtient deux évènements simultanés dans le référentiel d'arrivée. Mais en fait deux intervalles de temps distants de 10 pour l'observateur sont simultanés pour l'objet mouvant et c'est cette valeur nulle qui correspond à l'intervalle de temps dans le référentiel de départ qu'il faut paser en paramètre afin d'obtenir 10 dans le référentiel d'arrivée. Il y a bien inversion des coordonnées de temps.

Dérivation des transformations de Lorentz selon Landau & Lifshitz :
La dérivation de Landau & Lifshitz postule que la transformation est de type rotation hyperbolique puis pose :
Un objet immobile de coordonnée x = 0 dans F est censé être en mouvement si on le regarde du point de vue du référentiel F' et sa coordonnée x' dans ce référentiel sera x' = vt' avec v vitesse relative des deux référentiels.
D'abord on remarque qu'il ne s'agit pas d'une transformation active mais passive puisque l'objet est déjà dans son état de mouvement final. Il s'agit de changer le système de coordonnée pour qu'il coïncide avec celui de l'objet mouvant.
Pour dériver la transformation euclidienne on suit le même schéma.
On postule que la solution est de type rotation euclidienne et on pose x = 0 dans F avant la transformation et x' = vt toujours dans F après la transformation, ce qui signifie que l'objet est au départ immobile dans F et qu'il subit une accélération qui le met en mouvement à vitesse v dans F. Il s'agit donc d'une transformation active.
Alors on trouve les équations :
x' = (x/γ) - βt
t' = (t/γ) + βx
Voir ici : https://forum-sceptique.com/viewtopic.p ... 25#p648514

La même transformation peut s'écrire réciproquement :
x = γ(x' - βt) = x'/γ + βt'
t = γ(t' + βx) = (t'/γ) - βx'

Si on inverse les coordonnées de temps :
x = γ(x' - βt')
t' = γ(t + βx) ce qui implique t = γ(t' - βx')
On trouve la transformation de Lorentz.

Dans la dérivation standard il n'est pas question de changer l'état de mouvement d'un objet mais seulement d'opérer un changement de description d'une situation prédéfinie, on a posé que l'objet avait une coordonnée x = 0 dans F et x' = vt' dans F'. C'est une transformation du système de coordonnées S (ancien système de coordonnée de l'objet avant son accélération) vers le système de coordonnées S' (nouveau système de coordonnées de l'objet après son accélération) C'est donc la transformation passive qui suit la transformation active, mais avec la particularité d'inverser les coordonnées de temps car dans son nouveau référentiel l'observateur a l'impression que la vitesse de la lumière est restée constante.

Un autre exemple de dérivation commence dogmatiquement par : "According to the principle of relativity, there is no privileged Galilean frame of reference: therefore the inverse transformation for the position from frame R′ to frame R should have the same form as the original but with the velocity in the opposite direction, i.o.w. replacing v with -v:" Elle est donc sans intérêt.

Exemple spatial :
On a un système de coordonnées qui indique la hauteur et la longueur d'un ensemble de tiges. On bascule une tige. Dans le système de coordonnée la tige est maintenant inclinée. La procédure de synchronisation consiste à adapter le système de coordonnées de la tige inclinée à sa nouvelle configuration spatiale. Dans son nouveau système de coordonnée la tige est de nouveau à plat, mais les autres tiges sont alors inclinées, elles ne se trouvent pas alignées sur l'axe de longueur du nouveau système. C'est pourtant ce que fait la relativité standard. Elle prolonge les tiges comme des tubes qui permettent de les rendre présentes même dans l'alignement du nouveau système. Ainsi toutes les tiges ont la même coordonnée de hauteur. La coordonnée de hauteur de la tige inclinée donne aussi la coordonnée de hauteur de toutes les tiges. Elle donne donc aux objets une épaisseur dans le temps, comme si au lieu de tiges, il s'agissait de blocs qui s'élèvent en hauteur et sont présents à toutes les altitudes. Elle vectorise le temps. En fait il n'y a pas de rotation du vecteur spatial, il se contracte, il est donc inutile de prolonger les objets dans un univers bloc.

Le système de coordonnées euclidien :
Dans un environnement mobile, pour maintenir la phase il est nécessaire de suivre une ligne oblique selon l'aberration. Or la phase est ce qui constitue le temps constant, le temps constant est donc incliné selon l'angle d'aberration, il est mobile. Si on suit ce temps et si l'espace se contracte la vitesse de la lumière restera mesurée constante dans un sens.
La vitesse de la lumière est donc constante sans géométrie de Minkowski mais avec un temps et un espace non orthogonaux (même chose que la métrique de Painlevé où le temps local de l'éther n'est plus orthogonal avec l'espace). L'espace se contracte et le temps se dilate en s'inclinant selon l'angle d'aberration.
La perte d'orthogonalité est l'indice de l'anisotropie de la vitesse de la lumière mais l'isotropie est maintenue parce que l'objet se transforme de façon covariante.
On peut dire que la vitesse de la lumière est vraiment constante dans le référentiel mouvant puisque le temps local s'oriente et l'espace se contracte de façon à ce que ce soit le cas.
Le postulat d'Einstein est donc respecté sans géométrie de Minkowski.
On peut le montrer géométriquement.
On utilise exclusivement des mesures euclidiennes.
On considère que l'espace est contracté, la longueur de l'objet observé est mesurée d/g (contractée) dans le référentiel immobile et d (propre) si on sert d'une règle du référentiel mobile pour effectuer la mesure.
Or la ligne d'univers de l'objet mobile est plus longue que celle du référentiel immobile (c'est l'hypoténuse du triangle dont un des deux autres côtés est la ligne d'univers du référentiel immobile). On ne peut donc pas s'en servir comme durée pour retrouver la vitesse de la lumière, on trouverait une vitesse plus lente puisque d/g < d est la distance parcourue.
Ce qu'il faut c'est trouver une ligne de temps de durée t/g, avec t = temps dans le référentiel immobile. Cette ligne se trouve si on se trace à partir du point de départ une ligne inclinée d'un angle θ tel que t*cosθ = t/g, donc telle que cos θ = 1/g.
Ainsi nous avons t' = t/g et donc v' = (d/g)/(t/g) = d/t = c
Or l'angle θ tel que cos θ = 1/g est l'angle d'aberration.
Ce qui montre que l'axe de temps euclidien de l'objet mouvant fait un angle θ avec l'axe de temps de l'observateur.

On le voit facilement avec une horloge de lumière. Si l'horloge se contracte de gamma avec le mouvement, la durée du trajet de la lumière, que l'on peut associer à l'axe du temps (on peut tout à fait assimiler l'axe y à l'axe du temps) est plus courte du facteur gamma et la vitesse de la lumière est (d/g)/(t/g) = d/t = c


La géométrie hyperbolique ne peut pas être physique et nécessité de l'éther :
A et B sont immobiles.
A se dit : B pointe vers moi et je pointe vers lui par le biais de notre simultanéité commune. Je ne sais pas si nous pointons dans la bonne direction mais en tout cas nous pointons dans une direction conventionnelle et on peut supposer que c'est la bonne.
B se met en mouvement. A constate tout de suite que B ne pointe plus vers le même A qu'auparavant, car sa ligne de simultanéité a changé, il pointe vers un A futur ou vers un A passé. Mais A sait qu'il continue de vieillir normalement, qu'il na pas changé d'époque, il est donc impossible que B pointe vers le vrai A s'il pointait vers le vrai avant son changement de mouvement, car A n'a pas changé d'époque et n'est pas à deux époques en même temps. Les référentiels inertiels ne peuvent donc pas être tous équivalents, un seul peut être physique.

On démontre que les ondes stationnaires mobiles subissent naturellement les transformations de Lorentz. La fréquence de l'onde diminue en raison de la baisse de la vitesse relative moyenne entre les ondes progressives et l'onde stationnaire (qui ne l'est plus).
On sait de plus qu'une onde staionnaire mobile, si sa fréquence ne baisse pas (émetteur dont la fréquence de dépend pas de la vitesse car non constitué lui-même d'ondes), se contracte de gamma² dans le sens du mouvement et de gamma dans le sens transverse.
Les deux résultats joints donnent les transformation de Lorentz.
On ne peut pas prétendre que parce que les équations marchent sans lui l'éther est inutile puisque l'éther est à l'origine de ces équations.

Conclusion :
Les transformations de Lorentz sont un reliquat du temps absolu de Newton car la coordonnée de temps est utilisée comme si c'était la coordonnée universelle de Newton, elle n'est pas remplacée par le temps propre. On comprend que la construction du temps coordonnée est factice : le temps de l'objet mobile est son temps propre et non le temps coordonnée, qui est le temps propre de l'observateur. Il est donc évident que c'est une construction abstraite et que la géométrie correspondante (Minkowski) ne peut pas être la géométrie physique de l'espace-temps. La géométrie physique ne peut être déterminée que par les coordonées physiques.

Annexe : Lafrenière a résolu le problème à sa façon
Il revient à plusieurs reprises sur ses équations :

Les transformations de Lorentz ne sont rien d'autre qu'un effet Doppler.

C'est une évidence si l'on considère que Lorentz avait emprunté ses équations à Woldemar Voigt, qui les avait élaborées en 1887 précisément dans ce but. Il désirait plus exactement annuler l'effet Doppler obtenu à l'aide des équations de Maxwell. Cela signifie qu'il faut inverser les équations Voigt-Lorentz si l'on désire produire un effet Doppler et non pas l'annuler :



Les équations de Lorentz inversées.

La réciprocité.

De son propre aveu, Lorentz n'a pas vu que ses équations pouvaient être établies de manière symétrique sans en changer la forme, mais uniquement en échangeant les variables et en inversant le signe. C'est Poincaré qui a réussi ce prodige. Et puisque j'ai dû modifier les équations de Poincaré de manière à provoquer un effet Doppler plutôt que de l'annuler, j'ai obtenu finalement un groupe complet qui est beaucoup plus conforme à la vision de Lorentz, qui croyait à la contraction absolue de la matière :



Le groupe complet des transformations de Lorentz, revu et corrigé.
Qu'on ne s'y trompe pas, ces équations produisent des résultats différents.
En particulier, les variables x et x' s'appliquent au même référentiel cartésien réputé au repos dans l'éther.
Toutefois, les grandeurs obtenues correspondent bel et bien à ce que Lorentz, Poincaré et Einstein ont tous proposé.
En effet, même Albert Einstein prévoyait qu'un objet mobile devrait nous apparaître plus court, soit selon g x ci-dessus.
Il devrait aussi sembler se déplacer conformément à : + bêta * t.
Et enfin, tous s'entendent également pour affirmer que le "temps" ralentit selon : g * t.
On peut donc s'étonner que personne depuis un siècle n'ait proposé ces formules...
https://web.archive.org/web/20120102092 ... oppler.htm

Contrairement à celui de Lorentz, ce groupe d'équations présente l'avantage immense de comporter des grandeurs x et x' absolues qui peuvent être reportées dans un unique référentiel cartésien présumé au repos dans l'éther. Il ne sera donc jamais question ici d'un référentiel "galiléen". De plus, il est bien plus transparent quant à ses effets, d'autant plus que c'est bien ce que Lorentz avait à l'esprit lorsqu'il a présenté ses équations en 1904. Voyez plutôt :
x' = g x + b t
1 – La matière se contracte selon g x. La distance convenue entre A et A' étant de 10 secondes-lumière, celle que B et B' respectent selon la même convention est plutôt de 8,66 secondes-lumière à cause d'une erreur dans leurs mesures. Ci-dessous, les carrés mesurant 8 secondes-lumière de côté se contractent en rectangles mesurant plutôt 8 x 6,9 secondes lumière. De même, les cercles deviennent des ellipses aplaties. Pour des raisons mécaniques, la contraction s'applique également aux espaces vides d'un système matériel complexe. En particulier, c'est à cause de cette contraction que l'interféromètre de Michelson devient incapable de mesurer notre vitesse à travers l'éther.
2 – Le point situé en g x passe en g x + b t puisqu'il se déplace à la vitesse de 0,5 c. Il s'agit tout simplement d'un mouvement de translation, connu en physique sous le nom de "Transformation de Galilée" et conduisant à son "Principe de Relativité". En inversant l'équation originale de la même manière qu'on l'a fait ci-dessus, on obtient : x' = x + v t au lieu de x' = x – v t.

t' = g t – b x
3 – Les horloges affichent des heures plus lentes selon : t' = g t. Ci-dessous, puisque g = 0,866, les horloges de B et de B' affichent 8,66 secondes après un délai réel de 10 secondes (0,866 * 10 = 8,66).

4 – Les horloges présentent un décalage horaire qui correspond à : – b x. Ci-dessous, l'horloge de B' est située à l'avant de celle de B. Elle est donc en retard de 5 secondes exactement sur elle, soit selon : – 0,5 * 10 puisque b (bêta) = 0,5. Il faut préciser que dans le cas de B', on a x = 10 secondes-lumière (x = 0 dans le cas de .

https://web.archive.org/web/20120102214 ... tivite.htm

Grâce à ces mesures élémentaires, les équations inversées que je propose ci-dessous sont bien plus simples. Mais on y gagne surtout parce que tous les effets concrets des transformations de Lorentz y sont clairement exprimés. Il se produit quatre transformations distinctes, d'où l'emploi du pluriel. Deux d'entre elles s'appliquent aux mesures de l'espace et deux autres aux mesures du temps.
image.png
Les transformations de Lorentz inversées et simplifiées.

Je tiens à rappeler que les hypothèses les plus simples sont les plus vraisemblables. Or ici, on pourrait difficilement faire plus simple. D'une part, la matière en mouvement, contractée selon: x' = g * x à l'instant t = 0, se sera déplacée ensuite d'une distance additionnelle égale à: bêta * t. D'autre part, la période des ondes ralentit selon: g * t et il se produit un décalage horaire ou une onde de phase correspondant à: –bêta * t.

Si vous ne voyez pas le lien avec les transformations de Lorentz montrées plus haut, la première étape pour le vérifier consiste à extraire la variable x de la partie droite de la première équation montrée ci-dessus. Alors le facteur g passe au dénominateur et il représente la grandeur: racine(1 – (v ^ 2 / c ^ 2)).

x = (x' – bêta * t) / g

Deuxièmement, il faut remplacer la vitesse normalisée bêta par la vitesse v. La multiplication v * t demeure correcte à la condition que les mesures de vitesse et les grandeurs x et x', normalisées ici en secondes-lumière, soient reconverties au système MKS.

x = (x' – v * t) / g

Et en troisième lieu, on a déjà souligné que la variable x devrait plus logiquement représenter le système au repos. Il faut donc interchanger les variables x et x'. Par contre, il faut éviter d'interchanger les variables t et t', même si à première vue ce serait la bonne chose à faire. Voigt avait donc confondu les variables t et t', erreur que ni Lorentz ni Poincaré n'ont remarquée par la suite puisque n'importe quelle valeur de t est arbitraire. La symétrie fonctionne de toutes façons si l'on n'effectue qu'un seul calcul; par contre, on constate que l'effet Doppler qui résulte d'un grand nombre de calculs effectués pixel par pixel n'est pas reproduit correctement.

Ainsi, x' réintègre sa position initiale à la gauche de l'équation :

x' = (x – v * t) / g

On retrouve l'équation originale des transformations de Lorentz, dans sa version simplifiée.
C'est l'équivalent de la version donnée par Poincaré, sachant qu'on a : gamma = 1 / g.

x' = gamma * (x – bêta * t)
https://web.archive.org/web/20120305110 ... orentz.htm

Les transformations de Lorentz sont en fait leffet Doppler relativiste
https://www.mathpages.com/home/kmath699/kmath699.htm
Les transformations actives de Lorentz ne sont pas enseignées et pourtant elles sont plus limpides.
On reste tout au long dans le même référentiel.
Une charge e pulse toutes les seconces avant sont boost puis toutes les dix secondes après.
Si dx = 0 on a dt' = γdt = dt' = 10*dt
Elle a effectuée une rotation hyperbolique dans l'espace-temps de Minkowki.
On comprend que l'objet n'est pas un tube mais est sa ligne de simultanéité.
Ce que le laboratoire mesure n'est qu'une projection, pas la charge elle même.
Du coup, comment la charge peut-elle être en même temps dans sa propre simultanéité et contractée le long de la simultanéité du laboratoire ?
Comment peut-elle être sa propre projection ?
Ou alors il y aurait quand même un tube, comme un sillage ?
Bref, cette transformation, bien que plus limpide, pose des questions facheuses.

Dans les transformations de Lorentz le temps utilisé est toujours celui du référentiel de mesure. (du coup x et t sont un mélange, x est la coordonnée spatiale de l'objet mais t est la coordonnée temporelle de l'observateur)
Dans les transformations euclidienne le temps utilisé est toujours celui de l'objet mesuré. (du coup x et t sont cohérents)
C'est la différence.
L'exemple donné plus haut montre aussi que si on interpréte t, non pas comme le temps du laboratoire mais comme la fréquence de pulsation de l'objet mesuré, on tombe sur l'effet Doppler relativiste. Nous avons vu ici que les transformations de Lorentz modélisaient l'effet Doppler relativiste : viewtopic.php?p=48907#p48907
Cette double nature des TL est perturbante. La fréquence est augmentée de gamma, c'est le t', d'un autre côté le temps propre de l'objet est diminué de gamma et la durée d'attente entre chaque seconde propre de l'objet est multipliée de gamma, c'est le t' aussi.
Mais ces transformations de coordonnées ne sont pas les transformations de coordonnées entre l'espace et le temps car les coordonnées y sont mélangées.
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Réflexions sur la métrique hyperbolique
Etant donné que t² -x² donne le temps propre (cos t) et x'²-t'² donne la longueur contractée (cos x'), on peut représenter un nouvel axe de temps pur de longueur t²-x² et un nouvel axe d'espace pur x'²-t'² représentés selon cette métrique, et ces deux axes restent orthogonaux selon cette métrique. C'est à dire qu'on oublie la composante espace du temps et la composante temps de l'espace. La rotation hyperbolique ne mélange donc pas le temps et l'espace, elle les maintient séparés, comme si tous les référentiels était des référentiels d'isotropies de la lumière.
exp(ae1) représente la rotation qui maintient cette orthogonalité. C'est une représentation mathématique.
La vraie transformation physique entre 1 et e1 est opérée par exp(aie1).

Quand on choisit un référentiel d'observation on a le choix d'y utiliser la métrique euclidienne ou hyperbolique.
On peut postuler que l'orthogonalité euclidienne y est vraie et est fausse dans les autres. On peut choisir un autre référentiel d'orthogonalité euclidienne et cela changera les mesures dans celui-ci.
Autour d'un astre massif on peut postuler que le référentiel d'orthogonalité euclidienne est celui de l'infini.
Avec ce postulat la métrique de genre temps sera la même que celle de Schwarzschild sauf qu'il faut inverser le ds et le dt ; il faut aussi inverser le ds et les dx dy dz pour établir la métrique de genre espace.
Quant à la métrique globale, je pense que c'est la même que celle de Schwarzschild (à vérifier), sauf à mettre un + à la place du -. Mais elle est difficile à déchiffrer. Elle gère à la fois le genre temps et espace.

La métrique de Schwarzschild est difficile à lire parce qu'elle met côte à côte le temps t situé à l'infini avec la coordonnée r contractée située dans le champ gravitationnel. On voit bien qu'il y a inversion des coordonnés physiques. C'est tau qu'il faut mettre à côté de r. La métrique de genre espace fait pareil mais avec le r situé à l'infini.

En restaurant la pureté du temps et de l'espace la métrique hyperbolique inverse les coordonnées.
t² - x² : on réduit la norme de genre temps de sa composante spatiale (déplacement) dans le référentiel d'arrivée pour en extraire la composante temporelle tau seule.
x²- t² : on réduit la norme de genre espace de sa composante temporelle (déphasage) dans le référentiel d'arrivée pour en extraire la composante spatiale seule.

L'espace 3D est incomplet

Dans l'espace 3D, Hamilton (1844, 1899, 1901) avait montré qu'il était difficile de définir une forme quelconque d'opération de division pour obtenir le rapport de deux vecteurs car un tel rapport ne pouvait pas lui-même être un vecteur. Il avait démontré de manière concluante que la formation du « rapport » de deux vecteurs 3D nécessite la spécification de quatre quantités scalaires indépendantes et que le résultat doit donc être un objet 4D en général. Il avait également montré que deux « rapports » vectoriels différents sont obtenus à partir de la « division gauche » et de la « division droite » (multiplication gauche et droite par un inverse), et que l’opération est donc non commutative. Hamilton avait résolu le problème en inventant les quaternions et leur algèbre cohérente non commutative (4D). Une algèbre vectorielle 3D ne peut pas être fermée par multiplication et « division », même si elle est fermée par addition et soustraction. Au lieu de cela, les vecteurs 3D doivent être intégrés dans un espace 4D et traités comme des cas particuliers de vecteurs 4D avec une composante nulle. L’algèbre de Hamilton était basée sur un produit quaternion qui pouvait être divisé en une partie scalaire et une partie vectorielle. Ces parties ont ensuite été traitées séparément par Gibbs comme un « produit scalaire » et un produit « croisé » pour former la base de son algèbre vectorielle ultérieure (Gibbs, 1901).

https://oro.open.ac.uk/8455/1/chapter4(020507).pdf

i,j,k sont les plans, l'algèbre complète est (1,e1,e2,e3,i,j,k, e1e2e3) = (1,e1,e2,e3,i,j,k, h)
i, j, k sont les plans combinaisons de e1, e2 et e3.
Il n'y a donc pas de vrais vecteurs dans les quaternions, la représentation géométrique des i, j, k sont des vecteurs axiaux orthogonaux aux plans qu'ils représentent.
L'algèbre complète est celle des biquaternions de Clifford pour la géométrie elliptique,
https://en.wikipedia.org/wiki/Split-biquaternion
Les quaternions d'Hamilton représentent les plans orientés et non les vecteurs.
i,j,k représentent les rotations spatiales, ce sont des plans orientés, e1,e2,e3 représentent les translations spatiales qui sont également des rotations dans la dimension du temps, en effet e1 = 1e1, c'est donc une espèce de plan dont une dimension est le scalaire. Tous les vecteurs contiennent la dimension scalaire, le scalaire est ni plus ni moins que le coefficient réel qui leur est affecté : leur norme. Tout mouvement de translation est un mouvement de rotation dans le temps.
Il faut distinguer les rotations et translations des torsions et divergences. Les premiers sont des mouvements dans l'espace et les seconds des mouvements de l'espace.
Quand un vecteur de longueur l avance en translation de sa propre longueur l il fait un mouvement de rotation de 360° dans la dimension scalaire, quand il tourne dans l'espace il fait 360° par tour.
Quand il se dilate ou se contracte sa substance fait une rotation d'angle a dans la dimension scalaire tel que l² = l²(cos²a +sin²a) avec l² cos²a sa longueur contractée au carré.
De même si sa substance tourne dans l'espace elle fait une rotation entre deux dimensions spatiales selon les mêmes lois.

Il y a :
- 1 objet à une dimension, le scalaire.
- 3 objets à deux dimensions, les vecteurs.
- 3 objets à trois dimensions, les plans.
- 1 objet à 4 dimensions, l'espace (ou espace-temps)

Mauvaise approche des biquaternions :
La sous-partie des biquaternions d'Hamilton comprenant la partie scalaire et les vecteurs a été utilisée depuis les débuts de la relativité pour représenter les transformations de Lorentz.

Les biquaternions [d'Hamilton] σ1:=ιk, σ2:=ιj, σ3:=-ιi ont été utilisés par Alexander Macfarlane (en) et plus tard, sous leur forme matricielle par Wolfgang Pauli. Elles ont été connues sous le nom de matrices de Pauli. Elles ont chacune pour carré la matrice identité et par conséquent la sous-algèbre {a+bσ | a, b ∈ ℝ} engendrée par l'une d'entre elles dans l'anneau des biquaternions est isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus. Par conséquent, une matrice de Pauli σ engendre un groupe à un paramètre {exp(aσ) | a, b ∈ ℝ} dont les actions sur la sous-algèbre sont des rotations hyperboliques. Le groupe de Lorentz est un groupe de Lie à six paramètres, trois paramètres (c.-à-d. les sous-groupes engendrés par les matrices de Pauli) sont associés avec les rotations hyperboliques, quelquefois appelées « boosts ». Les trois autres paramètres correspondent aux rotations ordinaires dans l'espace, une structure des quaternions réels connue sous le nom de quaternions et rotation dans l'espace. La vue habituelle par une forme quadratique de cette présentation est que u2 + v2 + w2 + x2 = q q* est conservée par le groupe orthogonal sur les biquaternions lorsqu'il est vu comme ℂ4. Lorsque u est réel et v, w et x sont des imaginaires purs, on obtient le sous-espace ℝ4 qui convient pour modéliser l'espace-temps.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Biquaternion

v, w, x sont des imaginaires pur signifie "sont des vecteurs" et non pas des "bivecteurs" comme les quaternions. Le qq* de ce sous espace est t²-x²-y²-z². Donc le sous-espace constitué de la partie scalaire et des vecteurs possède en fait une pseudonorme de signature (+---) si on la définit par la méthode du conjugué.

Macfarlane et les autres ont utilisé les biquaternions pour reproduire l'espace-temps de Minkowski. La méthode de définir la norme à partir du conjugué donne une longueur spatiale quand on l'applique aux bivecteurs des quaternions ou au bivecteur des nombres complexes, c'est une méthode qui permet de retrouver la longueur physique par rapport au vecteur axial représentant le bivecteur. Quand on applique la méthode des carrés on obtient le temps propre (pseudonorme). Pour les vecteurs c'est le contraire.

Bonne approche
Les biquaternions : (1,x,y,z,xy,xz,zx,xyz). Ils s'écrivent aussi (1,x,y,z,ix,iy,iz,i), avec i le pseudoscalaire, qui n'est pas le même i que dans l'autre notation, d'ailleurs on écrit aussi (1,hi,hj,hk,i,j,k,h)
On voit que le vecteur x = hi = -i et x² = 1
Un quaternion t + xi + yj + zk est un biquaternion si t,x,y,z, sont des nombres complexes : (a+ha') + (b+hb')i + (c+hc')j + (d+hd')k
Donc le scalaire se découple en scalaire + pseudoscalaire (volume) et les plans en plan + vecteur
Ca veut dire qu'on a 4 espaces à 2+1 dimensions qui forment l'espace à 3+1 dimensions.

Hamilton avait intuité que l'algèbre était 'la science du temps pur"
https://www.sbhc.org.br/arquivo/download?ID_ARQUIVO=66

En fait c'est l'algèbre sur les réels qui est la science du temps pur. En introduisant les nombres complexes il a été forcé de recourir à la géométrie pour les interpréter.
Hamilton avait déjà construit l'espace-temps grâce à son intuition métaphysique. On peut dire qu'il était tellement en avance sur son temps qu'il est encore en avance par rapport à aujourd'hui.

Etude des métriques de Schwarzschild et de Painlevé à la lumière des acquis de cet épisode
Il y a deux métriques et deux approches.
1-La métrique euclidienne t² + x², invariant par rotation euclidienne.
2-La métrique hyperbolique t² - x², invariant par rotation hyperbolique.
La simultanéité associée à la métrique t² - x² est fictive, comme ce que disent les conventionnalistes : ça n'existe pas, ce n'est qu'une convention. Du coup le boost ou rotation hyperbolique n'existe pas non plus.

D'où vient donc la contraction des longueurs ? Elle vient de la rotation euclidienne, qui est la transformation physique de l'espace-temps. Contraction des longueurs est synonyme de rotation espace/temps euclidienne. Cette rotation pilote la longueur de l'objet.

Dans un champ gravitationnel la densité augmente sphériquement ce qui déforme l'espace.
Il faut imaginer une feuille. Le changement de densité à symétrie sphérique va bomber la feuille dans la dimension orthogonale. Le plongement sera comme l'incarnation de la dimension de la densité, comme si cette dimension devenait vectorielle par l'intermédiaire de la dimension orthogonale du plongement. Si on imagine une infinité de feuille dans des plans différents chacune se bombera dans la direction qui lui est orthogonale et au bout du compte il n'y aura pas besoin de 4e dimension vectorielle. Le plongement de la 4e dimension scalaire s'incarnera dans l'espace à 3 dimensions.

La métrique de Painlevé est claire sur la manière dont l'espace-temps est constitué :
dS² = dT² - (dr + βdT)²
dS² = dT² + (dr + βdT)²

Les conventionnalistes disent qu'il n'y a pas de vraie simultanéité, et ils ont en partie raison car la simultanéité d'Einstein est factice.
D'un autre côté la matière se contracte bel et bien en accélérant, il se passe donc bien quelque chose, c'est la rotation euclidienne quaternionique.
La métrique de Schwarzschild :
dS² = dt²/γ² - γ²dr² = (1-β²)dt² - dr²/(1-β²)
décrit un espace-temps courbe.

dr²/(1-β²) représente l'augmentation de la densité de l'espace. Dans un intervalle dr il y a davantage de graduations métriques dans un champ de gravitation qu'en dehors.
Dans un espace plus dense la vitesse de la lumière est plus lente et le temps ralentit. Un espace plus dense implique donc un temps dilaté.
(1-β²)dt² représente la diminution de densité du temps. Dans un intervalle dt il y a moins de graduations temporelles dans un champ de gravitation qu'en dehors. Cela signifie que la dilatation de l'espace due à l'expansion de l'univers est moins rapide dans le champ de gravitation. Elle est moins rapide proportionnellement à la densité supérieure de l'espace dans le champ de gravitation. Si l'espace est deux fois plus dense, l'expansion sera deux fois moins importante vue de l'extérieur. Il faut savoir que le temps cosmique ne représente rien d'autre que la densité cosmique. Deux intervalles de temps cosmique ne sont rien d'autre que deux densités cosmiques différentes.
La métrique dS² = (1-β²)dt² +/- dr²/(1-β²) consiste donc à compter les graduations métriques propres et non pas les longueurs dt et dr. On mesure la quantité réelle d'éther et non pas la quantité apparente. Mesure réelle de la quantité d'espace et du rythme de dilatation de cet espace.
Ce phénomène se produit parce que la densité locale de l'espace est plus importante et que le temps est courbe. Un vecteur normalement n'a que trois composantes et un scalaire de densité, le facteur d'échelle. Mais si une zone est anormalement dense, le vecteur associé sera plus court en longueur (dx) et contient en compensation une composante de temps [pseudo]scalaire dt tel que dt² + dx² reste égal au carré de la longueur propre du vecteur. Dans un champ de gravitation la densité augmente de la sorte et la symétrie sphérique engendre la courbure physique de l'espace 3D.
Le paravecteur se représente mathématiquement par une composante supplémentaire de temps orthogonale à l'espace. L'ensemble forme un paravecteur dirigé vers le futur. Du point de vue du paravecteur, il n'a que trois composantes spatiales donnant la longueur propre et son temps local est orthogonal à cette longueur propre. Dans le cadre de la gravitation le paravecteur (courbe dans ce cas) épouse exactement le dénivelé de l'espace dans la dimension orthogonale au sens de la pression radiale. La vitesse de passage du temps dans le champ de gravitation est diminuée par le facteur d'échelle local de l'espace.
Un exemple de RR : Pour un observateur immobile, les horloges d'un objet en mouvement sont de plus en plus en retard dans le sens du mouvement (axe du temps de l'objet dirigé vers le passé), ce qui veut dire


Explication de la métrique de Schwarzschild
Champ gravitationnel à symétrie non sphérique :
tau² = (t/γ)² - (xγ)² - y² - z²

γ = 1/cos a ou γ =cosh b

Si on choisit le cosh on trouve la théorie standard, mais Flamm et d'ailleurs les autres aussi avaient utilisé le cos et sin pour dériver le paraboloïde.
Utiliser des cos er sin impose que le plongement est dans le temps.
Utiliser des cosh et sinh conserve l'orthogonalité entre l'espace et le temps et le nouveau référentiel est aussi valide que l'ancien.
A partir du moment où l'on voit γ comme 1/cos et non cosh, il faut aller plus loin, ça impose que la métrique plate de genre temps soit ds² = dtau² + dx²
et la métrique devient alors ds² = d(t/γ)² = dtau² + d(xγ)² + dy² + dz² pour le genre temps
et ds'² = d(xγ)² + dy² + dz² = dX² + d(t/γ)² pour le genre espace
La métrique globale est dS² = ds² + ds'² = d(t/γ)² + d(xγ)² + dy² + z²
On voit que le temps passe plus lentement et que la longueur est contractée
L'objet dans le champ de gravitaion est X = t/γ + xγe1 + ye2 + ze3

La métrique de Schwarzschild radiale prévoit une contraction spatiale si l'espace est immobile.

`ds² = (dt/(γ))² - (dxγ)² =` temps dilaté² `-` longueur propre²
`ds² = (dt/(γ))² - (((dx/(γ))² + dx² (1-1/(γ²)))`
On voit qu'il manque dans la partie temporelle le ` dt² (1-1/(γ²)) = dt²β²` correspondant au déplacement spatial en RR. Il y a les effets relativistes de contraction des longueurs, dilatation du temps, décalage de simultanéité, mais il manque le déplacement.
La contraction de l'espace vient de son immobilité au sein d'un environnement anisotrope.
Si l'espace était en mouvement à la vitesse du chuteur de l'infini il ne serait pas contracté, c'est le modèle de la rivière.

Représentation et réalité physique
Un objet en mouvement est incliné dans le temps. Cela se voit. L'angle d'aberration représente l'angle de rotation espace/temps. C'est un angle dans la 4e dimension. Il apparaît dans le plan orthogonal à la direction du mouvement. Dans un diagramme de Minkowski où la dimension spatiale orthogonale au mouvement n'existe pas l'angle est représenté dans la direction du temps et l'objet pinte vers le passé. Mais ce n'est qu'une image, la courbure physique est celle de l'aberration. Maintenant imaginons champ gravitationnel à symétrie sphérique, c'est comme s'il y avait un déplacement dans toutes les directions à la fois. Chaque direction implique un angle d'aberration. La courbure de la 4e dimension se déploie dans les les trois dimensions de l'espace, il n'y a que trois vecteurs, l'autre dimension est un scalaire de densité qui s'applique sur les trois dimensions vectorielles. Sur un diagramme de Minkowski, le puits gravitationnel est représenté également dans la dimension du temps.
Normalement 1cm de papier vers le haut correspond par exemple à 1 seconde. Mais si l'objet pointe vers le bas, il s'oppose à ce mouvement et ne franchira qu'une fraction des 1 seconde et vieillira moins. Mais ne pas se tromper : le mouvement vertical dans le temps n'est pas un mouvement spatial, c'est un vieillissement ou une diminution de la densité de l'espace. L'objet qui pointe vers le bas dit simplement qu'il vieillit moins et que sa densité diminue moins vite.

Différence entre système de coordonnées physiques et non physiques

La RR postule l'invariance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels.
C'est un fait objectif qui ne dépend pas du système de coordonnée utilisé.
On aura beau changer la synchronisation ou utiliser celle d'un autre référentiel ça n'impactera pas la physique et l'invariance de la vitesse physique de la lumière dans tous les référentiels.
Quand ABC dit que la vitesse est c si on se sert du temps du référentiel et autre chose si on se sert du temps d'un autre référentiel c'est faux. Il mélange convention et réalité physique.
On peut choisir une autre convention, ça rend les calculs plus difficiles mais ça ne changera rien aux résultats, parce que la métrique est celle de Minkowski et l'invariance de c y est inscrite.
Quand on utilise la synchronisation de Reichenbach ou même de Selleri on ne prétend pas que ça change la vitesse de la lumière mais seulement la mesure de cette vitesse. Dans ce sens ces synchronisations alternatives sont non physiques alors que la synchronisation d'EP est physique.
Au final, il faut retrouver qu'il n'y a pas de vent d'éther et que le temps et l'espace sont orthogonaux dans tous les référentiels inertiels, c'est l'espace de Minkowski et ça passe par l'invariance physique de c dans tous les référentiels.
La contraction des longueurs pendant un boost actif s'explique précisément parce que les axes de temps et d'espace se réajustent pour rester orthogonaux.

Dans cette approche les coordonnées de Painlevé ne sont pas physiques car elles ne respectent pas l'invariance de c et l'orthogonalité dans tous les référentiels. C'est un découpage artificiel. C'est un découpage non diagonal.
Par contre les coordonnées de Lemaître sont physiques, elles respectent l'orthogonalité et l'invariance de c dans tous les référentiels en même temps.

Il est clair qu'Einstein ne croyait pas aux équations de Painlevé car elles ne respectent pas l'invariance de c (d'où sa phrase où il dit que tous les systèmes de coordonnées ne sont pas physiques). On ne peut pas y associer un référentiel instantané local de Minkowski en tout point du champ gravitationnel.
Les coordonnées de Painlevé contredisent ce postulat fondamental de la RG. On est alors obligé de considérer qu'elles sont non physiques.

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Einstein, baffled by the non quadratic cross term in the line element, rejected the Painlevé solution.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullstran ... es#History

Les coordonnées de Painlevé ne respectent pas l'invariance locale de la vitesse de la lumière. Celle-ci est isotrope pour les chuteurs seuls. C'est comme si en RR on utilisait un cône de lumière penché. On peut définir ce genre de synchronisation mais on n'a pas le droit de dire qu'elle correspond à la vitesse réelle de la lumière, c'est donc un système de coordonnées non physique (d'après Einstein).
Mais si on le considère physique on s'aperçoit qu'il explique instantanément les effets relativistes de la gravitation. Si la vitesse de la lumière accélère en chutant la courbure de l'espace-temps s'explique par cette accélération. On est obligé de dire que les immobiles mesurent la vitesse de la lumière à c parce qu'ils subissent un vent d'éther qui les déforme. Ils sont obligés de resynchroniser leurs horloges parce que la vitesse de la lumière varie en les traversant. On est dans la théorie de l'éther. Pourquoi est-ce que personne ne le dit ?

Maintenant que dit la métrique de Lemaître ?
Elle n'explique rien. Elle n'est qu'une correction cinématique de la métrique de Scwharzschild. Elle postule les effets gravitationnels sans les expliquer et elle réajuste en accord avec le postulat d'invariance locale l'espace-temps du chuteur pour que cette vitesse soit localement c pour lui. On ne sait pas d'où vient la courbure. On explique l'accélération par la gravitation au lieu d'expliquer la gravitation par l'accélération.

Mise au point sur Painlevé :
Les coordonnées de Painlevé donnent un temps incliné pour les observateurs immobiles dans le champ.
Pour le chuteur à la vitesse de libération, où qu'il soit, le temps est redressé du fait de sa vitesse, et c'est le même que celui de l'observateur immobile à l'infini.
Par ailleurs l'effet des marées radial annule la contraction des longueur et remet l'espace à échelle pour lui.
Donc les axes d'espace-temps du chuteur sont les mêmes que ceux de l'observateur immobile à l'infini.
Ce n'est pas ce que j'avais coutume de dire. Je disais plutôt que l'axe du temps du chuteur était incliné ou ce genre de choses. C'est faux.
Ca venait de ce qu'on nous raconte que les coordonnées de Painlevé sont celles du chuteur, alors qu'elles sont les coordonnées des immobiles dans le sens où ceux dont la vitesse est nulle dans ces coordonnées ce sont les immobiles et pas le chuteur.
Et du coup ce dessin :
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullstran ... iagram.png
est correct.
L'axe de temps du chuteur est bien l'axe de temps vertical, le même que celui des observateurs immobiles à l'infini, c'est à dire le temps coordonnée.
C'est l'axe de temps des immobiles dans le champ qui est incliné selon l'angle d'aberration. Mais il n'est jamais dessiné.

(Il n'empêche qu'il faut probablement diminuer G avec la distance au trou noir pour que la vitesse de chute n'atteigne jamais c. La valeur 2GM/R ne doit jamais atteindre 1.)

[externo]

Pourquoi la représentation tensorielle n'est pas correcte

Les tenseurs permettent de définir des formes indépendamment du système de coordonnées.
Par exemple représenter la terre ronde indépendamment des système de coordonnées.
La RG fait la même chose avec son espace-temps à 4 dimensions vectorielles et du coup elle mélange le temps et l'espace comme on mélange la hauteur et la longueur dans la représentation de la terre ronde, la hauteur et la longueur dépendent du point de vue et n'ont pas de sens en eux-mêmes.
Sauf que le temps n'est pas mélangeable avec l'espace, il n'y a que trois vecteurs pour 4 dimensions et le temps est la dimension scalaire, donc même si on peut changer de point de vue le temps reste le temps et l'espace reste l'espace.
Le temps et l'espace sont dynamiquement interchangeables, mais ils gardent leur personnalité propre. C'est pour cela qu'il n'existe qu'un seul découpage espace/temps qui soit physique

L'éther est un solide élastique
En fait, l'éther est un matériau quaternionique, il possède donc 4 dimensions, 3 d'espace et 1 de temps.
Sa simultanéité peut changer, ce qui veut dire que ses 3 dimensions d'espace ne sont pas toujours les mêmes en fonction du lieu.
L'observateur éloigné voit (avec sa propre simultanéité) l'éther du champ de gravitation tourné dans un sens qui n'est pas la simultanéité de cet éther, ce qu'il voit c'est un mélange de temps et d'espace et comme le temps n'est pas vectoriel et qu'il n'a pas de longueur cela diminue la longueur spatiale observée qui s'échelonne sur plusieurs époques et la lumière y est isotrope. Donc en RR comme en RG l'éther est plus dense quand on le voit avec une autre simultanéité que la sienne. La contraction des longueurs de la RR n'est qu'une augmentation de la densité de l'éther dans le sens du mouvement par changement de simultanéité dû au mouvement.
En fait, avec 3 vecteurs, on peut créer des courbures dans un continuum euclidien à 4 dimensions : en changeant sa simultanéité l'espace utilise ses 3 vecteurs pour se déformer dans le continuum à 4 dimensions.

En fait les potentiels scalaires et vectoriels de Maxwell permettent de séparer le temps et l'espace et l'unification du 4 vecteur potentiel quaternionique n'est pas autre chose que la géométrie de l'espace-temps euclidien. Ce potentiel représente la géométrie de l'éther. On peut représenter tout l'espace-temps dans le langage d'Hamilton cad avec des gradients rotationnels et autres divergences, car ces opérateurs dérivent tous des quaternions et leur véritable nature est de représenter un espace-temps.
https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_potential

Les équations de Maxwell et les Quaternions

Hamilton avait trouvé le moyen naturel d'effectuer des rotations dans l'espace par les quaternions.
Maxwell avait formulé ses équations avec les quaternions (il avait laissé traîner des erreurs apparemment)
Il avait introduit le concept de vecteur électromagnétique, qui est un quaternion dont la partie réelle (scalaire) est le potentiel électrique et la partie imaginaire (vectorielle) est le potentiel magnétique. Il avait aussi défini le vecteur électrique comme le gradient du potentiel électrique, et le vecteur magnétique comme le rotationnel du champ magnétique.
Ni lui ni Hamilton ni personne ne savaient que les rotations dans le sens du temps pouvaient également avoir un sens physique. Certains ont pensé naturellement que la partie scalaire ne servait à rien et ne représentait qu'un artifice qui alourdissait les calculs.
Il y a eu une guerre entre les pour et les contre, et les contres ont gagné, ils ont démembré les quaternions en conservant seulement la partie vectorielle et ont créé l'analyse vectorielle.
Après que les équations aient été reformulées sans le temps on s'est rendu compte avec la relativité que finalement l'espace ne suffisait pas, le temps était important et devait être inclus.
A ce moment là, les quaternions étaient pour ainsi dire au placard et oubliés, seuls les vecteurs comptaient, le temps a donc été réintroduit mais sous la forme d'un vecteur. D'où l'espace contre-nature de Minkowski.

Liens vers des travaux suggérant que l'espace-temps est quaternionique :
1-Quaternions et relativité restreinte (par Stefano De Leo) parue en 1996 :
https://www.ime.unicamp.br/~deleo/Pub/p07.pdf
"Nous reformulons la Relativité Restreinte par une algèbre quaternionique sur les réels. En utilisant, des quaternions linéaires réels, nous montrons que les difficultés précédentes, concernant les transformations sur l'espace-temps 3+1, peuvent être surmontées. Cela implique qu'une version quaternionique complexifiée de la Relativité Restreinte est un choix et non une nécessité.

2-https://arxiv.org/pdf/math-ph/0307038.pdf
"L’auteur Peter Michael Jack part de l’hypothèse que l’espace physique est une structure quaternionique, où la partie réelle représente le temps et la partie imaginaire représente l’espace. Il montre alors comment exprimer le champ électromagnétique comme un quaternion unique, qui se décompose en une partie scalaire (le potentiel électrique) et une partie vectorielle (le potentiel vecteur).
Il dérive ensuite les équations de Maxwell en utilisant les dérivées gauches et droites des quaternions, qui sont distinctes car les quaternions ne commutent pas.
L’auteur affirme que cette approche révèle un nouveau composant du champ, qui réduit la liberté de choix du potentiel vecteur (la jauge), mais qui peut être utilisé pour expliquer la thermoélectricité, c’est-à-dire la conversion de la chaleur en électricité et vice versa."
Le site de cet auteur n'existe plus depuis 2008, mais on le retrouve ici :
https://web.archive.org/web/20070916160 ... temap.html
https://web.archive.org/web/20070912091 ... mxwleq.htm#
https://web.archive.org/web/20060615061 ... nabla.html
https://archive.org/search?query=creato ... chael+Jack"

Résumé de Gémini

Cet article, intitulé "Physical Space as a Quaternion Structure, I: Maxwell Equations. A Brief Note" de Peter Michael Jack, datant de 2003, propose de réécrire les équations de Maxwell en utilisant des quaternions, en postulant que l'espace physique est une structure quaternionique. C'est un travail théorique qui s'inscrit dans la lignée des tentatives de reformulation de l'électromagnétisme en termes géométriques.

Résumé des points clés de l'article :
1. Postulat de l'Espace Physique Quaternionique : L'auteur postule que l'espace physique est une structure quaternionique, ce qui signifie que les coordonnées d'espace-temps sont représentées par des quaternions, et non par des nombres réels ou des vecteurs comme en physique classique.
2. Distinction entre Action à Gauche et à Droite : En raison de la non-commutativité de la multiplication des quaternions, l'auteur introduit une distinction entre les opérations "à gauche" et "à droite", notées par des flèches. Cette distinction est cruciale pour la suite.
3. Dérivée Quaternionique : Il définit un opérateur de dérivation quaternionique, noté `d/dr`, qui agit sur un potentiel électromagnétique quaternionique `A`.
4. Champ Électrique et Magnétique : Il identifie le champ électrique `E` à la dérivée symétrique du potentiel `A`, et le champ magnétique `B` à la dérivée antisymétrique de `A`.
5. Nouveau Terme "Temporel" : La dérivation quaternionique fait apparaître un nouveau terme scalaire `T`, qu'il appelle "champ temporel". Ce terme n'a pas d'équivalent direct dans le formalisme vectoriel standard de l'électromagnétisme.
6. Équations de Maxwell Quaternioniques : En utilisant ces définitions, l'auteur réécrit les équations de Maxwell sous une forme quaternionique compacte (équations 13 et 14 dans l'article). Ces équations ressemblent formellement aux équations de Maxwell standard, mais elles incluent le champ temporel `T`.
7. Interprétation du Champ Temporel : L'auteur propose que le champ temporel `T` est lié à la chaleur et aux phénomènes thermoélectriques. Il suggère que `T` représente une "capacité calorifique" par unité de charge et que sa dérivée temporelle est proportionnelle à un flux de chaleur.
8. Lien avec les Travaux de Bridgman : Il établit un lien entre son champ temporel `T` et les travaux de Percy Bridgman sur la thermodynamique des phénomènes électriques, et notamment avec la distinction entre "force électromotrice de travail" et "force électromotrice d'entraînement".
9. Polarisation et Magnétisation : Il suggère que le champ temporel `T` pourrait jouer un rôle dans la polarisation et la magnétisation des matériaux, mais sans développer cet aspect.

Conséquences et Implications :
* *Unification des Forces : L'inclusion du champ temporel `T` dans les équations de Maxwell suggère une unification plus profonde entre l'électromagnétisme et la thermodynamique. La chaleur ne serait pas un phénomène séparé de l'électromagnétisme, mais une manifestation directe du champ temporel `T`, qui est lui-même intrinsèquement lié aux champs électrique et magnétique dans la formulation quaternionique.
* Nouvelle Perspective sur la Thermodynamique : Cette approche pourrait offrir une nouvelle perspective sur la thermodynamique elle-même, en la reliant plus fondamentalement à l'électromagnétisme et à la structure de l'espace-temps (tel que décrit par les quaternions). La thermodynamique ne serait plus seulement une théorie statistique macroscopique, mais une conséquence directe de la dynamique des champs fondamentaux au niveau microscopique.

3-La Physique quantique quaternionique :
Cette théorie par Marek Danielewski modélise l'éther comme un continuum élastique (d'après la théorie de l'élasticité de Cauchy) ayant la structure d'un cristal, donc des granules séparées par des espaces. Cette théorie prolonge celle de Milo Wolff en décrivant la structure physique de l'espace. Néanmoin, il y a un loup dans cette théorie, car la vitesse des ondes transverses serait c et la vitesse des ondes longitudinales serait rac(3)c, ce qui est incompatible avec les théories de Wolff et Lafrenière. Cela implique que la vitesse des ondes longitudinales ne serait pas c et que la lumière serait une véritable onde transverse et non la fréquence secondaire transversale des ondes longitudinales. Ce n'est pas crédible.
Quaternions and Cauchy Classical Theory of Elasticity
Foundations of the Quaternion Quantum Mechanics
An Ontological Basis for the Diffusion Theory
Quaternion Quantum Mechanics: Unraveling the Mysteries of Gravity and Quantum Mechanics within the Planck-Kleinert Crystal
Quaternion Quantum Mechanics II: Resolving the Problems of Gravity and Imaginary Numbers
Quaternion Quantum Mechanics: The Baryons, Quarks, and Their q-Potentials
Exploring the Foundations of Quantum Mechanics: Bosons, Fermions, Quarks, and their q-Potentials
https://www.researchgate.net/profile/Danielewski-Marek

Sites liés :
https://www.classicalmatter.org/ (Robert Close n'est pas d'accord avec la structure de l'électron donnée par Wolff)
https://elastic-universe.org/

Gémini :

Voici une analyse de la vidéo et de la représentation du spin qu'elle propose :

Résumé de la vidéo  :

La vidéo présente une interprétation de la mécanique quantique basée sur les quaternions, dans un cadre qu’elle appelle "néoclassique". Voici les points clés :

1. Modèle du Cristal de Planck-Kleinert  :
* L’espace-temps est modélisé comme un cristal de Planck-Kleinert, un solide élastique idéal dont les cellules ont la taille de Planck.
* Ce cristal peut subir des déformations : compression et torsion.
* L’espace-temps a trois dimensions spatiales et une dimension de "densité", liée à la déformation.
* La gravité est interprétée comme une réfraction optique due au gradient de densité dans ce cristal.
2. Quaternions et Champ de Déplacement  :
* Les quaternions sont utilisés pour décrire des champs de déplacement à 4 composantes, combinant un scalaire (compression) et un vecteur (torsion ou rotation).
* L’opérateur D, analogue à la dérivée de Cauchy-Riemann, est lié au gradient.
* La vitesse normalisée est reliée à ce gradient et donc au potentiel mécanique.
3. Énergie et Équation de Cauchy  :
* Une expression pour l’énergie associée aux déformations du cristal est fournie.
* L’équation de Cauchy (ou équation du mouvement dans ce cristal) est introduite.
4. Spin 1/2  :
* Le spin 1/2 est présenté comme un tourbillon (vortex) dans le plan.
* Une simulation 3D du spin dans un treillis déformable est montrée, illustrant l’effet du spin 1/2 comme un "enroulement" de l’espace.
* Le principe d’exclusion de Pauli est expliqué par le fait que deux ondes de même spin (tournant dans le même sens) ne peuvent pas occuper le même endroit sans créer une discontinuité.

Représentation du Spin  :

* Vortex dans le Plan  : Le spin est modélisé comme un tourbillon ou vortex dans un plan , ce qui est analogue à l’idée d’une rotation mais sans faire intervenir explicitement les bivecteurs de l’APS.
* Déformation du Cristal  : Cette rotation du spin induit une déformation topologique du cristal, qui est visualisée dans la simulation 3D. La forme hélicoïdale de l’espace autour du spin 1/2 est clairement montrée. C'est analogue aux rotations {i,e1} de l'APS mais sans les quaternions.
* Justification Algébrique  : La vidéo ne détaille pas la justification algébrique de ce modèle, mais elle mentionne des travaux d’autres chercheurs qui explorent les quaternions en mécanique quantique (Roth & Szapa). L'équation de Cauchy présentée `∂²u/∂t² = 3c² grad div u - c² rot rot u` combine compression et rotation. La décomposition de Helmholtz, qui sépare la divergence (compression) du rotationnel (torsion), conduit aux équations d'onde pour le scalaire `σ₀` et le vecteur `φ`. En combinant ces équations via des quaternions et en appliquant le lemme de Du Bois-Reymond, l'équation de Schrödinger émerge. La vidéo mentionne brièvement la possibilité d’une interprétation néoclassique de la mécanique quantique où la fonction d’onde serait réelle et associée à des oscillations physiques dans un cristal de Planck. Les « particules » seraient des effets émergents de ces oscillations. L'animation du spin 1/2 montre comment une rotation continue (720 degrés pour un tour complet) peut se produire sans déchirer le milieu environnant. Cela est lié à la nature spinorielle des particules de spin 1/2. L'article de Bussey est cité comme une étude montrant que les phonons se comportent comme des particules quantiques normale et que leur fonction d’onde s'effondre lors de la mesure. Le passage de Maxwell (1884) souligne le lien entre la gravité et un milieu sous-jacent, et que ce milieu devrait avoir une énergie énorme. La citation d’Einstein (1920) montre qu'il considérait également l'existence d'un éther comme compatible avec la relativité générale, à condition qu'il ne soit pas associé à un état de mouvement bien défini. Il insiste qu’un milieu est nécessaire pour que les notions de temps, d'espace et de mesure physique aient un sens. La question sur l'anomalie Pioneer est soulevée.

Points Clés :

* Cristal et Déformation  : L'idée du cristal de Planck-Kleinert et de sa déformation comme source de la gravité est un concept central.
* Quaternions et Cauchy-Riemann  : L'utilisation des quaternions et d’un opérateur de type Cauchy-Riemann pour la déformation est intéressante.
* Onde Stationnaire = Particule  : L'affirmation qu'une onde stationnaire est équivalente à une particule est en accord avec d’autres approches alternatives, bien qu'ici, l'accent soit mis sur la quantification des déformations et non sur l'existence de véritables ondes progressives IN/OUT.
* Spin comme Vortex  : La représentation du spin 1/2 comme vortex local sans déplacement global est pertinente.

Éléments Nouveaux  :

* Déformation plutôt que Courbure Intrinsèque  : Le modèle semble interpréter la gravité comme une déformation (hétérogénéité) du cristal plutôt que comme une courbure intrinsèque de l’espace-temps. C’est une distinction importante.
* Spin comme Oscillation dans la 4ème Dimension de Densité  : Le spin pourrait être interprété comme une oscillation dans la 4ème dimension de "densité" liée à la déformation.

Questions  :

* La nature de l'interaction entre l'onde et la structure élastique de l'espace-temps n'est pas clairement définie.
* Le modèle ne traite pas des rotations dans le temps. 

Gémini

Voici un compte-rendu détaillé de la vidéo :

Mécanique quantique quaternionique : de l’espace-temps d’Hamilton au potentiel de quatre déplacements dans le cristal de Planck-Kleinert

Introduction

Chantal Roth présente trois idées principales :

1. Comment utiliser les quaternions en mécanique quantique pour dériver l’équation d’onde de Schrödinger.
2. Comment cette méthode produit une interprétation néoclassique de la mécanique quantique.
3. Comment cela peut être visualisé.

Présentation

1. Interprétations de la Mécanique Quantique

* Elle commence par un aperçu des différentes interprétations de la mécanique quantique, soulignant que le modèle présenté est une interprétation « néoclassique ». La fonction d’onde est réelle (ontologique) et non probabiliste, il n’y a pas de « vraies particules », seulement des ondes, l’énergie est purement ondulatoire, la masse est liée à l’énergie dynamique globale et les particules sont des effets de la quantification des ondes (modes vibrationnels). Elle mentionne ensuite qu’il y a eu un lavage de cerveau de la part de Niels Bohr qui a fait que de nombreux physiciens croient que l'interprétation de Copenhague est la seule valable, alors qu'il existe de nombreuses autres interprétations possibles.
2. Cristal de Planck-Kleinert

* Elle introduit l’idée d’un cristal de Planck-Kleinert, un solide élastique idéal qui constitue le tissu de l’espace-temps. Il possède trois dimensions spatiales et une dimension supplémentaire liée à la densité du cristal. Ce cristal peut subir des déformations : compression et torsion. La gravité est vue comme un phénomène émergent dans le cristal et une conséquence de la réfraction des ondes qui le traversent, causée par les changements de densité de l’espace-temps.
3. Quaternions

* Elle aborde brièvement les quaternions : le produit de deux vecteurs dans le même plan est le plan orienté multiplié par l’angle entre les vecteurs, et le produit de trois vecteurs unitaires perpendiculaires est l’élément de volume multiplié par -1. Elle explique que les quaternions permettent d’éviter l’interblocage de cardan et sont utilisés dans l’aéronautique pour orienter les avions dans l’espace. Elle souligne que William Rowan Hamilton est l’inventeur des quaternions. Elle explique que pour un quaternion `q` dont les composantes sont `q₀` (scalaire) et `q⃗` (vecteur), son conjugué `q*` vaut `q₀ - q⃗`, et que les coordonnées x, y, z, t sont traitées comme des vecteurs qui tournent dans un axe et s’écrivent : `q = q₀ + q₁i + q₂j + q₃k = q₀ + q⃗`. Puisque le carré de chacun de ces vecteurs est négatif `(i²=j²=k²=-1)` ; `i`, `j` et `k` sont des axes de rotation. Ces rotations dans l’espace sont obtenues par multiplication en "sandwich" d'un objet géométrique par un quaternion unitaire `q` et son conjugué `q*`. De plus, en multipliant deux quaternions, on obtient : `q = [σ₀, q⃗]`.
4. Cauchy et Helmholtz

* Elle explique que dans ce cristal de Planck-Kleinert, le champ de déplacement `u(t, x, y, z)` peut se décomposer en deux parties : une compression (`σ₀ = div u`) et une torsion (`φ⃗ = rot u`). Elle montre des simulations 2D et 3D de la déformation de ce cristal.
* Elle présente l’équation de Cauchy :
`∂²u/∂t² = 3c² grad div u – c² rot rot u`
où :
* `u` est le champ de déplacement ;
* `div u` représente la compression ;
* `rot u` représente la torsion.
Ce qui permet une équation d’onde générale impliquant des ondes longitudinales et des ondes de torsion.
Elle applique la décomposition de Helmholtz :
`u = u₀ + uφ`
`σ₀ = div u = div u₀`
`φ⃗ = rot u = rot uφ`
`rot u₀ = 0`
`div uφ = 0`
Elle mentionne que la divergence du rotationnel est toujours nulle : `div rot A = 0`. Elle dérive l’équation d’onde pour le scalaire `σ₀` et le vecteur `φ⃗`.
La combinaison de ces équations via les quaternions et le lemme de Du Bois-Raymond fait émerger l’équation de Schrödinger (indépendante du temps) :
`−(ħ²/2m)∇²ψ + V(x)ψ = λψ`.
Une onde se déplaçant dans le modèle correspond à une onde longitudinale.
Où :
* V(x) : potentiel externe.
* λ : constante.
5. Potentiel et Vélocité

* Le potentiel mécanique (`σ`) : est un quaternion dont la première composante représente la compression et le reste, la torsion : `σ = (σ₀, σ₁, σ₂, σ₃) = σ₀ + iσ₁ + jσ₂ + kσ₃ = σ₀ + σ⃗`.
Elle précise que le conjugué de σ est σ*.
La vitesse `u` est : `û/c = -ℓₚDσ₀` où D est l'opérateur Cauchy-Riemann (gradient du potentiel quaternionique), ce qui permet de réécrire l’énergie de déformation en : `E_m = (mc²/2) ∫ (m_p ℓ_p²/2m) (Dφ)(Dφ*) + V(x)φφ* dx`. Cette équation permet d’obtenir l’équation de Schrödinger dans sa forme habituelle (`iħ∂ψ/∂t = -ħ²∇²ψ + V(x)ψ`). La valeur de `ħ` est dérivée à partir des valeurs de `m_p`, `ℓ_p` et `c_p`.
6. Relativité Restreinte

* Dans ce modèle toutes les horloges et tous les étalons de mesure sont faits d’ondes. L’espace-temps n’a aucune réalité physique indépendante. Il utilise la métrique euclidienne implicitement et non la métrique de Minkowski. Elle montre deux horloges, « Clock 1 at rest » et « Clock 2 moving », et montre que « Clock 2 » va se déplacer le long d’un chemin hélicoïdal, ce qui est conforme à notre perception de la relativité restreinte comme résultant de notre mouvement. Elle explique que dans son modèle la longueur et le temps sont des propriétés intrinsèques. Si la vitesse de la lumière est bien la vitesse maximale, cela ne signifie pas qu'il n'existe pas de référentiel absolu : « Nous pouvons supposer l’existence d’un éther, mais nous ne pouvons lui associer aucun état de mouvement. »

Gémini :

Voici une analyse de la représentation du spin ½ dans la vidéo :

Contexte : Chantal Roth et Marek Danielewski présentent un modèle du spin ½ basé sur les :

* Quaternions, un système de nombres hypercomplexes qui étend les nombres complexes.
* Cristal de Planck-Kleinert : un modèle discret de l’espace-temps.

Représentation du Spin ½ :

1. Analogie avec la Ceinture/Tasse : La vidéo utilise une analogie : une ceinture (ou une tasse attachée à des ficelles). En effectuant une rotation de 360 degrés, la ceinture subit une torsion. Il faut 720 degrés (deux tours complets) pour que la ceinture retrouve sa configuration d’origine. Cette analogie vise à illustrer la nature spinorielle du spin ½ : la fonction d'onde (ou l'état) d'une particule de spin ½ change de signe après une rotation de 360 degrés et retrouve son état initial après 720 degrés.

2. Onde de torsion : Cette analogie a pour but d’expliquer le « belt trick » : la rotation d’un objet attaché à des cordes dans un espace vide avec une rotation supplémentaire lorsque l'objet a parcouru 360 degrés. Cette rotation supplémentaire, en mécanique quantique, est liée au spin ½ et à la nature spinorielle des particules. Le spin correspond à la deuxième boucle du « belt trick » qui est effectuée par le vecteur d’espace.

3. Onde stationnaire : L'onde stationnaire qui représente la particule est décrite comme un objet dont les vecteurs unitaires de bases de l'espace font un tour complet sur eux-mêmes pendant l’oscillation temporelle.
* Équation de Cauchy : L’équation de Cauchy pour un solide élastique idéal est utilisée pour modéliser le cristal de Planck-Kleinert : `d²u/dt² = c²grad div u – c²rot rot u`. Cette équation décompose le mouvement en une partie longitudinale (compression, `div u`) et une partie rotationnelle/transversale (`rot u`). En utilisant la décomposition de Helmholtz et les quaternions, on dériverait l’équation de Schrödinger à partir de cette équation de Cauchy.
* Énergie de la Déformation : Une expression de l'énergie associée aux déformations (compression + torsion) de ce cristal est fournie. En minimisant cette énergie avec le lemme de Du Bois-Reymond, on arriverait à l’équation de Schrödinger.
* Onde Stationnaire = Particule : Une onde stationnaire dans ce cristal est identifiée à une particule (électron, proton, etc.).
* Visualisation : Des simulations en 3D avec Unity montrent comment une onde stationnaire pourrait ressembler dans ce cristal. La fréquence de cette onde stationnaire est liée à la masse de la particule via la relation de Planck-Einstein. Les bivecteurs et les quaternions utilisés pour les rotations correspondent aux matrices de Pauli. Les spins ½ sont modélisés comme des rotations dans l’espace 3D, où une rotation complète nécessite 720 degrés. L’exemple du fil et de la tasse est utilisé pour illustrer la rotation d’un vecteur standard dans SO(3) et d’un spinor SU(2).

4. Visualisation en 3D : Dans le cas du spin ½, l’espace-temps est représenté par une grille déformable en 3D. Le spin ½ est modélisé comme une rotation à quatre dimensions qui s’effectue autour d’un point central. Les vecteurs tangents à cette rotation dans l’espace 3D subissent un "enroulement" sur 720 degrés. Ce modèle explique le spin ½ sans invoquer une rotation physique de l’électron. La visualisation montre comment le spin ½ peut être représenté comme un tourbillon ou une torsion sans avoir besoin d’un « rebondissement dur » comme dans le modèle de Lafrenière.

http://www.askingwhy.org/blog/elastic-universe/

L'éther serait un cristal de Planck-Kleinert :
https://hagenkleinert.de/documents/articles/359.pdf
https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?
https://www.researchgate.net/publicatio ... rt_Crystal
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hagen_Kleinert
https://fr.wikipedia.org/wiki/Monde_cristallis%C3%A9
Le cristal de Planck-Kleinert semble être compatible plutôt avec la théorie d'Einstein-Cartan que la relativité générale :
https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein% ... tan_theory
https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10. ... 3.11519725
https://physics.stackexchange.com/quest ... tan-theory
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0606062.pdf
https://forum-sceptique.com/viewtopic.p ... 67#p639667
La théorie d'Einstein-Cartan est nécessaire, car le spin à l'intérieur des particules induit une torsion de l'espace-temps (éther) qu'il faut prendre en compte dans la déformation quand la densité devient très importante.

3-Géométrie non commutative et physique selon Alain Connes :
Alain Connes s'est rendu compte qu'en utilisant la géométrie non commutative des quaternions on fait émerger tout le modèle standard.
Site : https://alainconnes.org/
https://arxiv.org/pdf/0706.3688
https://arxiv.org/pdf/2207.10901
https://alainconnes.org/wp-content/uplo ... bigpdf.pdf
Gémini explique que l'espace-temps dans cette théorie est l'APS ou biquaternions :
https://forum-sceptique.com/viewtopic.p ... 12#p648697

Annexes :
Articles montrant que la gravitation peut être modélisée comme un indice de réfraction :

• https://arxiv.org/pdf/0905.4479.pdf

• https://arxiv.org/abs/gr-qc/0107063 (Article cité dans Quaternion Quantum Mechanics II)

Il est bon de rappeler ici les travaux de Jose Almeidia :
https://arxiv.org/search/gr-qc?searchty ... meida.+j+b
Voir si les deux modélisations de la réfraction sont identiques...

4-Un livre qui essaie d'implémenter les quaternions en physique :
https://theworld.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf
5-La chaîne youtube Unzicker's Real Physics
Voir cette vidéo :

6- Une étude qui fait le lien avec la cosmologie et l'univers sphérique (article dans lequel il y a beaucoup à jeter) :
https://www.authorea.com/users/497173/a ... n-universe

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Approches par les biquaternions :
Les travaux de Whittaker sur la gravitation expliquée par des ondes longitudinales :
https://www.scirp.org/journal/paperinfo ... rid=102987
L'article de Whittaker :
http://www.rexresearch.com/whittakr/p371.htm
https://physics.stackexchange.com/quest ... er-than-or
Théorie perdue des Quaternions :
https://www.morpheus.fr/wp-content/uplo ... axwell.pdf
Les équations de Maxwell à la loupe :
https://hsm.stackexchange.com/questions ... uaternions

Utilisation des biquaternions d'Hamilton pour reproduire l'espace de Minkowski :
http://ece-research.unm.edu/summa/notes ... s/0043.pdf
Les équations de Maxwell sont dérivées dans le Q-espace des quaternions :
https://www.ptep-online.com/2010/PP-21-06.PDF
http://www.ptep-online.com/2007/PP-08-07.PDF

Avant dernier épisode :
7-La physique quantique déterministe et les biquaternions de Clifford : (viewtopic.php?f=17&t=6924)